다이애드 그린 함수(Dyadic Green's Function)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "다이애드 그린 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 전자기장 파동 방정식
2. 포텐셜 기반 파동 방정식
3. 미분 방정식의 만병통치약: 그린 함수
4. MNL 함수를 이용한 전자장 표현식

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포텐셜 기반 파동 방정식(potential based wave equation), 그린 함수(Green's function), MNL 함수까지만 공부해도 전자파와 연결된 다양한 수학적 개념이 우리 머릿속을 어지럽힌다. 하지만 단언컨데 이 상태가 끝이 아니다. 우리가 어색하게 마주하는 다이애드 그린 함수(dyadic Green's function)가 있기 때문에, 우리는 수학적으로 한 단계를 더 기어올라가야 한다. 하지만 두려워하지 말자. 다이애드(dyad)란 생소한 개념이 있지만 쉽게 보면 다이애드는 단순한 표기법이다. 그래서 다이애드 그린 함수는 스칼라 그린 함수를 더 쉽게 사용하게 해주고, 벡터로 확장되었을 때 표기를 더 간단하게 해주는 매우 유용한 도구이다. 다이애드가 단순 표기법이라고 해서 유용하지 않고 번거롭다는 뜻은 아니다. 맥스웰 방정식(Maxwell's equations)은 표기법의 발전에 의해 우리같은 평범한 사람도 도전해서 이해하고 활용할 수 있다. 원래 맥스웰 방정식은 사원수(quaternion)를 이용해 20개의 편미분 방정식으로 표현되었다. 이 방정식이 너무 복잡했기 때문에, 헤비사이드Oliver Heaviside(1850–1925)는 사원수를 좌표계 기반 벡터(vector)로 바꾸고 델(del) 혹은 나블라(nabla) 연산자($\bar \nabla$)를 적용해 20개의 편미분 방정식을 4개의 벡터 편미분 방정식으로 줄였다. 맥스웰James Clerk Maxwell(1831–1879)이 제안한 20개의 편미분 방정식과 본질적으로는 같지만, 헤비사이드가 바꾼 4개의 벡터 편미분 방정식은 범인이 천재의 생각을 더 쉽게 보도록 했다. 여기서 한 걸음 더 나가서 벡터를 다이애드로 바꾼다면 맥스웰 방정식의 해를 더 간편하게 찾을 수 있다. 물론 본질적으로는 이전의 벡터 연산과 차이가 거의 없지만, 다이애드 표기법으로 인해 벡터 연산을 더 자유롭게 적용할 수 있다. 다이애드는 더 편리하게 파동 방정식의 해법을 제시할 수 있게 하고, 파동 방정식을 쓸 때 더 짧게 쓰도록 해준다.
다이애드 표기법의 유용성을 느끼기 위해 전기장(electric field) $\bar E (\bar r)$에 대한 파동 방정식(wave equation)에서 시작해보자.

                  (1)

여기서 원천으로 전류 밀도(electric current density) $\bar J(\bar r)$만 있다고 가정한다. 통상적인 경우라면 식 (1)에 있는 이중 회전 연산자(double curl operator)를 풀어서 쓰겠지만, 다이애드 그린 함수를 유도하기 위해 식을 그대로 두고 그린 함수의 방법론을 도입하자. 만약 전기장이 다음처럼 표현된다고 가정하자.

                  (2)

그러면 전기장에 대한 다이애드 그린 함수 $\bar{\bar{G}}_E^e (\bar r, \bar r')$는 다음 파동 방정식을 만족해야 한다.

                  (3)

여기서 $\bar J (\bar r) = \int_{v'} \bar{\bar{I}} \delta(\bar r - \bar r')\cdot \bar J (\bar r') \,dv'$. 식 (3)에 대한 해를 어떻게 구해야 할까? 그대로 풀기는 어렵고 더 쉬운 파동 방정식과 연결해야 한다. 어딘가 기시감(旣視感, déjà vu)이 든다. 바로 전자기장과 벡터 포텐셜(vector potential)을 연결할 때 썼던 논리이다. 사실 기시감은 당연하다. 다이애드 그린 함수는 단순 표기법이므로 새로운 개념이나 논리는 없다. 전자기장이 풀기 어려워서 벡터 포텐셜을 사용했듯이, 식 (3)을 풀기 어려워서 자기 벡터 포텐셜 $\bar A (\bar r)$에 대한 다이애드 그린 함수를 도입한다. 전형적인 그린 함수 적용은 아래와 같다.

                          (4)

                          (5)

식 (4)는 라플라시안(Laplacian) 대신 이중 회전 연산자로 바꿀 수 있다.

                          (6)

식 (5)에 의해 전류 밀도와 동일한 방향으로 자기 벡터 포텐셜이 생긴다. 여기서 그린 함수는 각 방향별로 동일하다. 이를 더 일반화하면 전류 밀도의 각 방향별로 그린 함수가 달라질 수도 있어야 한다. 따라서 식 (5)를 일반화한 다이애드 그린 함수는 다음처럼 표현된다.

                          (7)

식 (7)을 식 (4)에 대입해 다이애드 그린 함수 $\bar{\bar{G}}_A (\bar r, \bar r')$에 대한 파동 방정식은 다음과 같다.

                          (8)

식 (7)을 식 (6)에 대입하면 새로운 파동 방정식을 얻을 수도 있다.

                          (9)

식 (9)의 좌변에서 발산(divergence) 연산 후에 구배(gradient) 연산을 해야 하지만, 다이애드 개념을 집어 넣어서 이를 다이애드 구배(dyad gradient) $\bar \nabla \bar \nabla$로 바꾸자.

                          (10)

다음으로 전기장을 자기 벡터 포텐셜로 표현해보자.

                          (11)

식 (11)에 식 (2)와 (7)을 대입해 정리해보자.

                          (12)

따라서 전기장에 대한 다이애드 그린 함수는 다음처럼 구할 수 있다.

                          (13)

자기장도 다이애드 그린 함수로 표현하자.

                          (14)

자속 밀도와 자기 벡터 포텐셜의 관계에 식 (14)를 대입하면 자기장에 대한 다이애드 그린 함수의 관계식을 얻을 수 있다.

                          (15)

식 (8)에 의해 자기 벡터 포텐셜에 대한 다이애드 그린 함수는 대각 성분만 가지므로, 내적을 이용해 식 (15)를 다음처럼 표현할 수도 있다.

                          (16)

또한 자기장이 만족하는 파동 방정식은 다음과 같다.

                          (17)

식 (17)에 식 (14)를 대입하면, $\bar{\bar{G}}_H^e (\bar r, \bar r')$가 만족하는 파동 방정식은 다음과 같다.

                          (18)

맥스웰 방정식에 식 (2)와 (14)를 대입해 전자기장에 대한 다이애드 그린 함수의 관계를 얻자.

                          (19)

식 (19)의 둘째식은 식 (15)로 증명할 수도 있다.

                          (20)

이상의 엄밀한 유도를 바탕으로 다이애드 그린 함수가 가진 장점을 다음처럼 표현할 수 있다.

• 벡터 연산의 편리성

다이애드의 내적과 외적 연산은 결합 법칙이 잘 성립한다. 그래서 괄호 없이 연산을 쉽게 적용할 수 있다. 예를 들어 아래와 같은 항등식이 성립한다.

                         (21)

                         (22)

비슷하게 델 연산자도 다이애드 개념을 이용하면 괄호를 없앨 수 있다. 이 특성을 극명하게 보여주는 공식이 식 (10)이다. 원래는 발산 연산을 적용한 후 구배를 적용해야 하지만, 다이애드 개념을 쓰기 때문에 구배를 두 번 적용한다고 생각할 수도 있다.

• 그린 함수가 바로 전자기장 공식

우리가 편하게 벡터 포텐셜을 쓰지만 이 개념은 전자기장이 아니고 포텐셜이다. 그래서 경계 조건을 적용할 때나 전자기장을 직접 다루려 할 때는 불편하다. 이 약점을 쉽게 해결하려면 다이애드를 쓰면 된다. 식 (19)의 공식처럼 다이애드 그린 함수는 전자기장을 직접 표현할 수 있다. 벡터 포텐셜에 대한 다이애드 그린 함수를 구한 후 식 (13)과 (16)을 쓰면 전기장과 자기장에 대한 다이애드 그린 함수를 쉽게 계산할 수 있다. 이 결과는 식 (2)와 (14)를 통해 전기장과 자기장으로 변환된다. 따라서 다이애드 그린 함수는 파동 방정식의 각종 특성을 사용하기 편한 하나의 공식으로 쉽게 바꾸어준다.

지금까지는 전류 밀도만 다루었지만, 맥스웰 방정식의 쌍대성(duality of Maxwell's equations)을 쓰면 자류 밀도에 대한 다이애드 그린 함수도 쉽게 얻을 수 있다. 자기 원천에 대한 전기 벡터 포텐셜 $\bar F (\bar r)$의 관계식은 다음과 같다.

                         (23)

                          (24)

                         (25)

자기장에 대한 다이애드 그린 함수 $\bar{\bar{G}}_H^m (\bar r, \bar r')$는 다음을 만족한다.

                         (26)

                         (27)

                         (28)

                         (29)

동일한 과정으로 전기장에 대한 다이애드 그린 함수 $\bar{\bar{G}}_E^m (\bar r, \bar r')$도 얻는다.

                         (30)

                         (31)

                         (32)

                         (33)

[다음 읽을거리]

1. 텐서를 이용한 맥스웰 방정식