2011년 7월 16일 토요일

텐서를 이용한 맥스웰 방정식(Maxwell's equations using tensor)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "텐서 맥스웰 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 텐서
2. 텐서와 좌표 변환
4. 맥스웰 방정식


[그림 1] 일반 좌표계의 모양(출처: wikipedia.org)

좌표 불변성(coordinate independent or coordinate invariant)을 특징으로 하는 텐서(tensor)를 이용하면 맥스웰 방정식(Maxwell's equations)을 임의의 좌표계에서 기술할 수 있다. 상식적으로 생각해도 전기(electricity)와 자기(magnetism)의 특성을 기술하는 맥스웰 방정식은 좌표계 선택과는 관계없이 성립할 것 같다. 왜냐하면 좌표계는 우리가 방정식을 쓰기 위해 도입한 개념이기 때문이다. 이 상식을 수학적으로 절묘하게 아름답게 표현한 것이 텐서 이론이다.
먼저 벡터 함수(vector function)를 표현하기 위해 공변 벡터(共變, covariant vector)와 반변 벡터(反變, contravariant vector)를 정의하자.

                          (1: 공변 벡터)

                         (2: 반변 벡터)

벡터 함수 $F$는 텐서 이론을 이용하여 [그림 1]과 같은 일반 좌표계(generalized or curvilinear coordinate system) $U$에서 정의할 수 있다.

                       (3)

여기서 $f^i, f_i$는 각각 공변과 반변 벡터가 기저 벡터(basis vector)인 경우의 좌표값이다.
텐서 미적분학(tensor calculus)에서 도입한 공변 도함수(covariant derivative)를 이용하면 반변 벡터와 공변 벡터를 미분할 수 있다.

        (4: 반변 벡터의 공변 도함수)

        (5: 공변 벡터의 공변 도함수)


                  (6)

새롭게 정의한 식 (6)을 아래의 맥스웰 방정식에 대입하자.

                                (7: 쿨롱의 법칙)

               (8: 패러데이의 법칙)

                                (9: 비오-사바르의 법칙)

                  (10: 변위 전류 포함 암페어의 법칙)

그러면, 공변 도함수를 이용해 발산과 회전 연산자를 일반 좌표계에 적용한 맥스웰 방정식을 얻을 수 있다.

                  (11)

여기서 $\varepsilon_{ijk}$는 레비-치비타 기호(Levi-Civita symbol)이며 $\mathcal{G}$는 계량 텐서(metric tensor)의 행렬식(determinant)이다. 텐서 미적분학에서 소개한 복잡한 계산을 이용하면 식 (11)은 아래의 텐서 기반 맥스웰 방정식(tensor based Maxwell's equations)으로 변환할 수 있다.

                  (12)

                  (13)

                  (14)

                  (15)

위의 텐서 기반 맥스웰 방정식에서 공변 벡터와 반변 벡터가 섞여있는 것을 눈여겨 봐야 한다. 만약 공변 벡터와 반변 벡터를 상호 교환하려면 아래 식을 사용하면 된다.

                       (16)

식 (12)에서 (15)는 다소 복잡해 보이지만 좌표계에 관계없이 성립하는 가장 일반화된 맥스웰 방정식이다.

[다음 읽을거리]
1. 변환 전자기학
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댓글 4개 :

  1. 안녕하세요. 혹시 궁금한게 생겨서 그런데 전자기파는 몇차 랭크 텐서인가요??

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    답글
    1. 전자기파는 벡터로만 표현해도 충분합니다. 텐서 관점에서는 1차입니다.

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  2. 텐서에 대해서 공부하던 중에 오아시스 같은 곳을 발견해서 많이 공부가 되었습니다.
    자꾸 질문드려서 죄송한데, 식 (11)에서 (12)로 넘어갈 때 (델 Ejak에서요..) 제2형 크리스토펠 기호가 없는게 왜 그렇죠?... 텐서가 너무 어려워서 자꾸 질문만 드리네요..

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    1. 아래 링크에서 회전 연산자를 일반화한 부분을 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/07/tensor-calculus.html

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