데카르트 좌표계의 MNL 함수(MNL Functions in Cartesian Coordinates)

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1. 데카르트 좌표계의 전자장 표현식
2. MNL 함수를 이용한 전자장 표현식

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기계적으로 전자장 표현식(electromagnetic field representations)을 만들어 주는 획기적인 도구인 MNL 함수 개념을 이용해서 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system)의 MNL 함수 표현식을 만들어 보자.

                      (1)

                       (2)

식 (1)과 (2)에서 MNL 함수의 생성 함수(generating function) $\psi$는 아래 식을 만족한다.

                      (3)

다만 식 (2)에 있는 안내 벡터(piloting vector) $\bar p$는 다음 관계식을 반드시 만족해야 한다.

                      (4)

편하게 안내 벡터 $\bar p = \hat z$라고 가정하자. 그러면 $\bar p = \hat z$는 식 (4)를 쉽게 만족한다. 이 경우 식 (1)은 다음처럼 간략화될 수 있다.

                      (5)

                      (6)

 

[그림 1] 구형 도파관의 구조(출처: wikipedia.org)

위 내용을 가지고 구형 혹은 사각 도파관(矩形 導波管, rectangular waveguide)의 전자장을 표현해 보자. 먼저 생성 함수는 다음처럼 두 가지로 정의한다.

                      (7)

식 (7)의 첫째식에서 위첨자 $H$는 자기장 경계 조건을 의미한다. 따라서 생성 함수와 안내 벡터 $\bar p = \hat z$를 동시에 고려하면 위첨자 $H$는 $z$방향에 대한 TE(Transverse Electric) 모드(mode)를 표현한다. 마찬가지로 위첨자 $E$는 전기장 경계 조건을 의미하며 $z$방향에 대한 TM(Transverse Magnetic) 모드를 나타낸다.

MNL 함수의 유용성은 구형 도파관 내부의 전자장을 구할 때 나타난다. 식 (7)은 단순한 스칼라 함수를 나타내지만 식 (5)와 (6)에 대입하면 구형 도파관에 존재하는 모든 전자장을 쉽게 나타낼 수 있다.

                      (8)

                      (9)

                      (10)

                      (11)

따라서 구형 도파관의 모든 전기장은 다음처럼 간단히 표현된다.

                      (12)

여기서 $A_{mn}$과 $B_{mn}$은 각각 TE$_{mn}$과 TM$_{mn}$ 모드의 계수이다. 식 (12)에 회전(curl)을 취하고 식 (1)과 (13)을 적용하면 자기장도 식 (14)처럼 얻을 수 있다.

                       (13)

                       (14)

여기서 $\eta$[= $\sqrt{\mu/\epsilon}$]는 고유 임피던스(intrinsic impedance)이다.

MNL 함수에서 $\bar M$과 $\bar N$ 함수는 위에서 사용했지만 $\bar L$ 함수는 쓰지 않았다. $\bar L$ 함수가 없더라도 도파관 내부의 모든 전자장을 표현할 수 있었다. 이 특성은 왜 성립할까? 이를 이해하기 위해 $\bar L$ 함수를 다음처럼 구해보자.

        (15)

        (16)

위에 제시한 $\bar L$ 함수에 발산(divergence)을 취하면 다음 관계를 만족한다.

                       (17)

즉, 생성 함수 $\psi$는 0이 아니기 때문에 $\bar L$ 함수의 발산도 0이 아니다. $\bar L$이 식 (12)나 (14)처럼 전기장이나 자기장을 표현한다면 전하(electric charge)나 자하(magnetic charge)가 없는 전기장과 자기장의 발산은 반드시 0이 되어야 하므로 $\bar L$은 구형 도파관의 전자장 표현식에 사용되면 안된다.

식 (5)를 이용하면 함수 $\bar M$과 $\bar L$은 항상 수직임을 보일 수 있다.

                      (18)

식 (6)의 마지막식에 $\bar M$의 내적을 취하면  $\bar M$과 $\bar N$도 수직이다.

                      (19)

$\bar N$과 $\bar L$의 내적은 좀 생소하다. 식 (6)을 이용해  $\bar N$과 $\bar L$의 내적을 구해보자.

                      (20)

식 (20)이 0이 되어 $\bar N$과 $\bar L$이 수직이 되는 경우를 찾아보자. 예를 들면 다음 관계식이 가능하다.

                      (21)

전자파가 어떤 경우일 때 식 (21)이 나올까? 우리가 잘 아는 균일 평면파(uniform plane wave)일 때 식 (21)이 성립한다.

[다음 읽을거리]
1. 원통 좌표계의 MNL 함수
2. 구 좌표계의 MNL 함수

MNL 함수를 이용한 전자장 표현식(Electromagnetic Field Representations Using MNL Functions)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "MNL 함수 이용 전자장 표현식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다. 

1. 데카르트 좌표계의 전자장 표현식

2. 원통 좌표계의 전자장 표현식

3. 구 좌표계의 전자장 표현식

4. 헬름홀츠의 정리

전자파(electromagnetic wave) 연구하기는 맥스웰 방정식(Maxwell's equations), 정확히는 편미분 방정식(partial differential equation) 풀기와 같다. 편미분 방정식 해법은 다양하게 있지만 그 첫걸음은 함수 표현식(function representations)부터 시작한다. 전자파인 경우 좌표계에 따라 다양한 전자장 표현식(electromagnetic wave representations)을 만들 수 있다. 편미분 방정식의 특성을 이용해 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system), 원통 좌표계(circular cylindrical coordinate system), 구 좌표계(spherical coordinate system)의 전자장 표현식을 만들 수 있다. 하지만 이 과정은 매우 번거롭고 귀찮다. 이 과정을 도와주는 획기적인 기법 중의 하나는 MNL 벡터 파동 함수(MNL vector wave functions) 혹은 간단하게 MNL 함수(MNL functions)이다. MNL 함수를 이용하면 임의 좌표계의 전자장 표현식을 기계적으로 구할 수 있다. MNL 함수를 유도하기 위해 맥스웰 방정식을 일반화한 다음 편미분 방정식을 생각한다.

                       (1)

                       (2)

식 (1)과 (2)를 비교하면, 식 (2)는 식 (1)의 비동차 미분 방정식(inhomogeneous differential equation)이다. 만약 $\bar \nabla \cdot \bar \Phi = 0$이면 $\bar \Psi = \bar \Phi$이다. 식 (1)과 (2)를 풀기 위해 고리형 전자장(solenoidal field) $\bar K$와 비회전형 전자장(irrotational field) $\bar L$을 도입한다.

                       (3)

고리형 전자장은 발산(divergence)이 0이지만 회전(curl)은 0이 아니므로, 접선 방향 전자장(transverse field)이라고도 한다. 비회전형 전자장은 반대로 회전이 0이지만 발산은 0이 아니므로, 진행 방향 전자장(longitudinal field)이라 할 수 있다. 식 (3)에 의해 벡터 함수 $\bar K$는 식 (1)과 (2)를 모두 만족하는 일반식이다. 하지만 $\bar L$은 함수의 발산이 0이 아니므로 식 (1)만 만족한다. 식 (3)의 특성에 의해 벡터 함수 $\bar K$는 다음으로 표현할 수 있다.

                       (4)

여기서 $A_i, B_i$는 벡터 함수 $\bar M_i, \bar N_i$의 상수 계수이다. 벡터 함수 $\bar K$를 $\bar M_i, \bar N_i$으로만 표현하는 이유는 전자파의 TE(Transverse Electric) 모드(mode)와 TM(Transverse Magnetic) 모드를 생각하면 쉽게 이해할 수 있다. 즉, 전자파는 TE와 TM 모드로만 표현되므로 전자장 표현식도 독립적인 두 함수인 $\bar M_i, \bar N_i$만 생각하면 된다.

헬름홀츠의 정리(Helmholtz' theorem)에 의해 임의의 벡터 함수를 유일하게 정의하려면 식 (3)처럼 그 함수의 발산과 회전을 정해야 한다. 따라서 $\bar M, \bar N$의 발산은 0이므로 이 함수의 회전만 정의하면 된다. 쉽게 생각하기 위해 $\bar M$의 회전을 새로운 함수 $\bar N$으로 정한다.

                       (4)

식 (4)에 발산을 취하면 벡터 함수 $\bar N$의 발산이 0이 되므로, $\bar N$은 식 (3)의 첫째식을 만족하는 또 다른 해이다. 식 (4)에 다시 회전 연산자를 적용하면 $\bar N$의 회전도 정할 수 있다.

                       (5)

신기하게도 벡터 함수 $\bar M, \bar N$은 서로가 서로를 회전으로 생성한다. 꼬리에 꼬리를 물고 서로를 생성하므로 식 (3)의 첫째식을 만족하는 함수는 $\bar M, \bar N$ 뿐이다. 또한 헬름홀츠의 분해 정리(Helmholtz' decomposition theorem)를 식 (1)에 적용하면 해 $\bar \Psi$는 다음처럼 표현되어야 한다.

                       (6)

여기서 $A_i, B_i, C_i$는 벡터 함수 $\bar M_i, \bar N_i, \bar L_i$의 상수 계수이며 $\bar L_i$는 식 (1)만 만족한다. 함수 $\bar L$은 식 (3)의 둘째식을 만족하므로 다음 스칼라 함수 $\psi$로 표현할 수 있다.

                       (7)

스칼라 함수 $\psi$의 성질을 알기 위해 식 (7)을 식 (1)에 대입한다.

                      (8)

스칼라 함수 $\psi$가 식 (8)의 마지막식을 만족하면 자동적으로 식 (1)이 성립한다. 즉 식 (8)을 만족하는 $\psi$는 식 (7)을 통해  $\bar L$을 생성하고 식 (1)도 만족한다. 또한 $\bar M, \bar N$도 $\psi$를 통해 만들 수 있다. 이런 측면 때문에 $\psi$를 스칼라 생성 함수(scalar generating function)라 한다. 따라서 $\bar M, \bar N$은 어떤 벡터 함수의 회전이라는 성질과 $\psi$를 이용해서 $\bar M, \bar N$을 다시 표현하면 다음과 같다.

                      (9)

식 (9)에서 생성 함수 $\psi$를 도와주는[혹은 스칼라 특성이 벡터가 되게 하는] 벡터 $\bar p$는 안내 벡터(piloting vector)이다. 식 (9) 정의식 자체로는 $\bar M, \bar N$이 식 (2)를 만족하지 못하므로, $\bar p$가 반드시 필요하다. 이를 이해하기 위해 벡터 항등식(vector identity)을 이용해 식 (9)의 둘째식을 바꾼다.

                      (10)

식 (10)을 간단히 하기 위해 안내 벡터 $\bar p$가 다음 방정식을 만족한다고 가정한다.

                      (11)

그러면 식 (10)은 다음처럼 간략화된다.

                     (12)

식 (12)를 이용해 $\bar M$에 대한 식 (2)를 계산한다. 그러면 자동적으로 식 (2)가 성립함을 보일 수 있다.

                      (13)

이 부분이 좌표계에 독립적인 MNL 함수의 유용성이다. 맥스웰 방정식은 벡터 기반 방정식이라서 스칼라 함수 관계로 기본식을 표현하기는 매우 어렵다. 하지만 스칼라 방정식인 식 (8)을 계산해서 스칼라 생성 함수 $\psi$만 구하면, 벡터 기반 전자장 표현식을 임의의 좌표계에서 손쉽게 얻을 수 있다. 다만 스칼라 특성을 벡터로 바꾸는 안내 벡터 $\bar p$가 반드시 식 (11)을 만족해야 한다.

[그림 1] 잠자는 비너스(출처: wikipedia.org)

사실 위에 소개한 MNL 함수 이론은 무척이나 따분하다. 맥스웰 방정식을 효과적으로 풀려면 반드시 거쳐가야 하는 관문이니 더 힘들다. MNL 함수를 이해하려다 한국을 비롯한 전세계 대학원생들이 많이 졸았을 것이다. 전자파의 기계적 공식화에서 자그마한 인간미라도 찾기 위해 이 함수의 제안자[1]를 한 번 알아본다. MNL 함수의 발명자는 바로 클라이스트론(klystron)의 발명자 중 한 명인 공학자 겸 물리학자인 핸슨William Webster Hansen(1909–1949)이다. 핸슨은 대학생 시절부터 X선(X-ray)에 관심이 매우 많았다. 특히 고출력 X선 발생기에 관심이 많았지만, 초고전압 DC를 이용한 기술로는 값싼 고출력 X선 발생기를 만들 수 없었다. 그래서 제안한 발명이 AC 전압을 이용하는 고출력 전자파 발생기인 클라이스트론이다. 클라이스트론의 연구 과정에서 나온, 전자기파를 공식화하는 편리한 도구가 MNL 함수이다. 하지만 핸슨은 그렇게 바라던 실용적인 고출력 전자파 발생기의 완성을 보지 못하고, 39세의 젊은 나이에 죽음을 맞았다. 핸슨이 사랑하던 장치인 X선 발생기에 쓰였던 베릴륨(beryllium)에 의한 중독으로 인해, 원래 좋지 않았던 폐에 심각한 이상이 생겼기 때문이다. 핸슨에게는 불행한 특성이지만, 산화 베릴륨(beryllium oxide)은 열 전도성(thermal conductivity)이 매우 좋으면서도 전기 절연체(electric insulator)가 될 수 있는 특이한 물질이어서 X선 발생기에 많이 쓰였다. 핸슨이 죽고 몇 달 후 그의 아내도 자살하였다. 마치 전설로 내려오는 모딜리아니Amedeo Modigliani(1884–1920) 부부의 자살처럼, 한 젊은 연구자 부부에게도 갑자기 불행이 찾아왔다.

[그림 2] 모딜리아니의 작품(출처: wikipedia.org)

MNL 함수에 대한 이런 정도의 뒷배경을 듣고도 여전히 하품을 할 수 있겠는가! 열심히 공부해 멋진 삶을 살다간 핸슨의 유작을 빛내보자.

[참고문헌]

[1] W. W. Hansen, "A new type of expansion in radiation problems," Phys. Rev., vol. 47, no. 2, pp. 139–143, Jan. 1935.

[2] J. A. Stratton, Electromagnetic Theory, New York, USA: McGraw-Hill, 1941.

[3] R. E. Collin, Field Theory of Guided Waves, 2nd ed., Wiley-IEEE Press, 1991.

[다음 읽을거리]

1. 데카르트 좌표계의 MNL 함수

2. 원통 좌표계의 MNL 함수

3. 구 좌표계의 MNL 함수

포물선의 방정식(Equation of Parabola)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "포물선의 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 원의 방정식
2. 유클리드 기하학

포물선(抛物線, parabola)은 물건을 하늘로 던질 때 중력(gravity)과 속도(velocity)가 만드는 물체의 궤적이다. [그림 1]은 분수가 물을 하늘로 쏠 때 나타나는 포물선 형태를 보여준다.

[그림 1] 분수가 만드는 포물선(출처: wikipedia.org)

[그림 2] 포물선의 기하학적 정의(출처: wikipedia.org)

포물선은 기하학적으로 [그림 2]처럼 정의한다. 초점(focus) $\bar F$ = $(0, f)$에서 점 $\bar P_i$ = $(x_i, y_i)$까지 거리가 점 $\bar P_i$에서 준선(準線, directrix) $L$[$y$ = $-f$]까지 거리와 같은 점을 모두 모으면 포물선이 된다. 준선은 2차 곡선을 정의하거나 생성할 때 쓰이는 기준선이다. 이를 방정식으로 표현하면 다음과 같다. 

                       (1)

여기서 $(x, y)$는 포물선 위의 점이며 $f$[= $1/(4a)$]는 포물선의 초점이다.

[그림 3] 원뿔로 만드는 포물선(출처: wikipedia.org)

[그림 3]에 소개한 초보적인 기하학을 이용해 포물선을 정의할 수 있다. 이 방법은 아폴로니우스Apollonius of Perga(대략 기원전 240–190)에 의해 제안되었다. 먼저 [그림 3]에서 원뿔(cone)의 꼭지점을 $A$라 한다. 다음에 원뿔을 잘라 두 개의 원[짙은 파란색]을 만든다. 첫번째 원은 선분 $\overline{PK}$를 지름($2r$)으로 가진다. 두번째 원은 선분 $\overline{BC}$가 지름이다. 원뿔 바깥선과 평행하게 선분 $\overline{PM}$ = $y$을 그어 선분 $\overline{MC}$ = $2r$이 되게 한다. 선분 $\overline{PM}$은 원뿔 바깥선과 평행이므로 $\angle PBM$ = $\angle PMB$가 성립하여 $\triangle PBM$은 이등변 삼각형이 된다. 선분 $\overline{PM}$이 원뿔 기준선[점 $A$에서 두번째 원에 내린 수직선]과 이루는 각도를 $\theta$라 하면 $\overline{BM}$ = $2 y \sin \theta$가 된다. 또한 선분 $\overline{DE}$ = $2x$는 반지름이 $r$인 원에 접하므로 이 원에 수직이며, 탈레스의 정리(Thales' theorem)에 의해 $\angle BEC$도 수직이다. 따라서 다음이 성립한다.

                       (2)

식 (1)을 고려하면 포물선의 초점은 $f$ = $r \sin \theta$가 된다.

[그림 4] 새로운 준선을 가진 포물선(출처: wikipedia.org)

관점을 좀 바꾸어보면 [그림 2]의 준선은 [그림 4]처럼 바꿀 수 있다. [그림 4]의 준선 $M$은 초점 $\bar F$ = $(0, f)$의 아래가 아닌 초점 위에 있다. 예를 들어, 준선 $M$이 $y$ = $g$[$g > 0$]에 있다고 가정한다. 그러면 [그림 2]와 [그림 4]에 있는 준선 $L$과 $M$ 간의 거리는 항상 $\overline{Q_i P_i} + \overline{P_i R_i}$ = $|g - (-f)|$ = $|f + g|$가 된다. [그림 2]의 결과에 의해 $\overline{Q_i P_i}$ = $\overline{F P_i}$이기도 하다. 따라서 [그림 4]의 경우에도 초점에서 준선까지 가는 거리는 항상 일정하므로, 식 (1)과 같은 포물선의 방정식을 다음처럼 얻을 수도 있다.

                       (3)

여기서 $f > 0$, $y < g$이다. 준선이 양의 $y$축에 있더라도 포물선의 방정식은 식 (1)과 동일하게 얻어진다. 또한 $g$가 0보다 크기만 하면, $g$에 관계없이 초점과 준선 사이의 거리는 항상 동일하다. 별것 아닌 [그림 4]의 개념이 현존하는 반사판 안테나(reflector antenna) 혹은 조명 기구의 기본적인 원리이다.

[그림 5] 포물형 반사판 안테나(출처: wikimedia.org)

[그림 6] 태양열 조리기(출처: wikipedia.org)

[그림 7] 자동차의 전조등(출처: wikipedia.org)

[그림 5–7]은 포물선의 원리를 적용한 여러 제품을 보여준다. [그림 5]는 포물형 반사판 안테나(parabolic reflector antenna)이다. 급전부(feed)는 포물선의 초점에 있다. 급전부에서 나온 전자파는 포물형 금속 반사판에서 반사되어 준선 방향에 수직인 방향으로 전달된다. 이게 고이득 안테나를 만드는 일반 원리가 된다. [그림 6]은 태양열 조리기(solar cooker)의 예를 보여준다. 태양빛이 포물형 거울 반사판에서 반사되어 초점에 집속된다. 초점에 조리기를 두면 태양열이 강하게 집속되어 요리가 가능하다. [그림 7]은 자동차의 전조등(headlight)이다. 초점 위치에 광원을 두고 포물형 거울 반사판에 쏘면 대부분의 빛이 전방으로 강하게 전달된다.

[그림 8] 포물선의 반사 원리(출처: wikipedia.org)

그러면 [그림 5–7]의 동작 원리를 간단한 포물선 개념으로 설명한다. 이를 위해 [그림 8]에 제시한 포물면의 반사 특성을 계산해야 한다. 준선에 수직인 방향으로 광선(ray)이 들어온다고 생각한다. 이 광선과 포물면이 이루는 각도는 $\alpha$이다. 또한 [그림 2]와 같이 음의 $y$축에 있는 준선 위의 점을 $C$라 한다. 그러면 포물선의 정의에 의해 삼각형 $\triangle ECF$는 이등변 삼각형이다.[∵ 초점에서 포물선 점 $(x, y)$의 거리와 포물선 점 $(x, y)$과 준선까지 거리는 항상 같다.] 선분 $\overline{CF}$와 $\overline{EB}$가 수직임을 증명하기 위해 식 (1)에 있는 포물선의 방정식을 이용한다.

                       (4)

여기서 $\bar T$는 접선의 기울기이다. 삼각형 $\triangle ECF$는 이등변 삼각형이면서 선분 $\overline{EB}$는 선분 $\overline{CF}$에 수직하므로 $\angle FEB$ = $\angle CEB$가 된다. 즉, 준선에 수직인 방향으로 들어온 광선은 입사각과 동일한 각도로 반사되어 초점으로 들어간다. 이런 성질은 빛에 대한 금속면 반사 법칙과 동일하다. 그래서, 포물형 반사판에 반사된 빛은 초점에 모두 모인다.

[그림 9] 유한한 포물선의 모양

포물선이 복잡하기는 하지만 [그림 9]의 $D, d$를 알면 쉽게 포물선 상수 $a$ 혹은 초점 $f$를 결정할 수 있다.

                        (5)

식 (5)는 지름 $D$, 깊이 $d$를 가진 유한한 포물선을 측정하여 포물선 상수 $a$와 초점 $f$를 결정하기 위한 가장 쉬운 방법이다. 예를 들어 [그림 9]와 같은 포물선은 다음 식처럼 표현된다.

                       (6)

식 (6)으로부터 $x$ = $D/2$이면 당연히 $y$ = $d$가 나온다. 만약 포물선이 놓여있는 지름 위치[$x$의 범위 = $(-D/2, D/2)$]가 $y$ = $0$이 된다면 포물선의 방정식은 다음처럼 바뀐다.

                       (7)

식 (7)에서 $x$ = $\pm D/2$이면 $y$ = $0$이 된다.
포물선의 표현에 사용한 식 (1)은 2차 곡선을 정의하거나 분류할 때 사용하는 이심률(離心率, eccentricity)의 정의이다. 식 (1)과 동일하게, 초점 $\bar F$에서 2차 곡선 위의 점 $\bar P$까지 거리와 준선(準線, directrix)에서 $\bar P$까지 거리의 비율을 이용해 이심률을 다음처럼 정의한다.

                   (8)

여기서 $L$은 준선에서 $\bar P$까지 거리이다. 식 (8)에 의해 포물선의 이심률은 1이다.

[그림 10] 회전한 포물선(출처: wikipedia.org)

[그림 10]처럼 포물선이 회전한 경우는 포물선의 방정식이 식 (1)처럼 간단히 표현되지 않는다.  [그림 10]의 기하 구조에 대해, 식 (1)과 같은 논리로 거리를 계산한다.

                  (9)

여기서 포물선 위의 점은 $(x, y)$, 초점은 $\bar F$ = $(f_x, f_y)$, 준선은 $ax+by+c$ = $0$, 준선과 포물선의 거리는 점과 직선 사이의 거리를 사용, 나머지 항을 담아놓은 함수는 직선처럼 $F(x, y)$ = $Ax + By + C$로 선택한다. 식 (9)에서 유추하여 포물선이 될 수 있는 임의의 2차 곡선은 다음 형태를 가진다.

                  (10)

여기서 $D$는 원뿔 곡선의 판별식(discriminant of conic section)이다. 신기하게도 원뿔 곡선의 판별식은 2차 방정식의 판별식과 부호만 다르고 완전 동일하다. 만약 판별식이 $D$ = $0$으로 나오면, 이 2차 곡선은 [그림 10]과 같은 회전한 포물선이 된다.

[다음 읽을거리]
1. 쌍곡선의 방정식