조금은 느리게 살자

2011년 9월 4일 일요일

고출력 밀리미터파 생성 위한 자이로트론(Gyrotron for High-power Millimeter-wave Generation)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "자이로트론"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 최초의 입자 가속기 사이클로트론
2. 고출력 증폭기인 TWT
3. 전자레인지에 사용하는 마그네트론
4. 주파수 안정성이 좋은 클라이스트론

[그림 1] 자이로트론의 구조(출처: wikipedia.org)

1: 전자총(electron gun)
2: 공진기(resonant cavity)
3: 빔 수집기(beam collector)
4. 모드 변환기(mode converter)
5: 다이아몬드 창(diamond window)
6: 나선형 경로(helical path)
7: 초고주파 출력(microwave output)
8: 자기장 코일(magnetic field coils)
9: 전자–전자파 상호 작용(electron–wave interaction)
10: 고전압(high voltage)
11: 전자총 가열원(heating source for electron gun)
12: 관찰 창(observation window)
13: 전자총 코일(gun coil)
14: 음극(cathode)
15: 초전도 자석(superconducting magnet)

[그림 1]에 있는 자이로트론(gyrotron)은 밀리미터파(millimeter-wave) 주파수 대역에서 고출력을 얻을 수 있는 소자이다. 자이로(gyro)라는 말은 회전을 의미하며, 트론(tron)은 전자(電子, electron)의 축약이다. 자이로트론은 때때로 CRM(Cyclotron Resonance Maser: 사이클로트론 공진 메이저)으로 불린다. 자이로트론의 출력 주파수(output frequency)는 5~170 GHz, 2~235 GHz, 20~250 GHz 등이며, 출력 전력(output power)은 수십 kW~2 MW 정도이다. 다른 고출력 소자와 비교하면 자이로트론은 제안된 지 얼마 안 되는 따끈따끈한 소자이다[1]. 1958년트위스 38세, 이승만 정부 시절에 트위스R. Q. Twiss(1920–2005)가 자이로트론의 기반이 되는 증폭 원리를 제안했지만, 제작된 자이로트론의 출력 전력이 수 mW 밖에 안되었다. 그래서 미국에서는 관심이 급속도로 사라지게 된다. 하지만 소련에서는 관련 연구를 계속하여 22 kW 출력을 갖는 자이로트론을 개발하였다. 당연히 미국도 발등에 불이 떨어져 소련을 맹렬히 추격하게 되었다.

[그림 2] 가우스 빔(출처: wikipedia.org)

자이로트론이 밀리미터파를 생성하는 원리는 간단하다[2], [3]. 전자총[그림 1의 1]이 전자(electron)를 쏘면 표면에 걸린 고전압[그림 1의 10]에 가속이 된다. 이때 자이로트론을 감싸는 코일[그림 1의 8]에 의해 전자의 진행 방향으로 강력한 자기장(magnetic field)이 생긴다. 이 자기장에 의해 전자총에서 발사된 전자는 나선 운동[그림 1의 6]을 하게된다. 전자의 나선 운동은 가속을 의미하므로 전자파(electromagnetic wave)가 복사되어 공진기[그림 1의 2]와 모드 변환기[그림 1의 4]를 거쳐 외부로 출력된다. 자이로트론의 공진기는 복사된 전자파 중에서 원하는 모드(mode)를 고르는 역할을 한다. 모드 변환기는 선택한 모드를 사용하기 편한 [그림 2]의 가우스 빔(Gaussian beam)으로 변환한다.

자이로트론의 대략적인 공진 주파수(resonant frequency)를 계산하기 위해 파동 함수(wave function)를 먼저 고려하자.

(1)

(2)

식 (1)처럼 파동의 위상 변화는 단면 방향(transverse direction: $x, y$ 방향으로 가정)과 진행 방향(longitudinal direction: $z$ 방향으로 가정)으로 나눌 수 있다. 그러면, 단면 방향 위상을 바탕으로 CRM(Cyclotron Resonance Maser) 공진 조건을 계산하면 아래와 같다.

(3)

여기서 기준 위상은 편하게 0˚[$\phi = 0$]으로 두었고, $\omega_c$는 사이클로트론 각주파수(cyclotron angular frequency)를 의미한다. 식 (3)에서 단면 방향을 고려한 이유는 전자가 자기장의 영향으로 휘어질 때 중요한 방향이 단면 방향이기 때문이다.[∵ 자기장 방향으로 움직이는 전자는 로렌츠 힘(Lorentz force)을 받지 않는다.] 공진이 일어남은 전자와 파동이 같은 속도로 함께 진행함이므로 파면(wavefront) 기준은 중요하지 않다.[∵ 어차피 기준 위상의 시간 미분은 0이다.] 증폭되기 위해서는 동위상 조건만 만족하면 되므로 $n$은 1보다 커질 수 있다. 그러면 식 (3)에 의해 공진이 일어나는 주파수 $\omega$는 상당히 커질 수 있다. 그래서 고출력 밀리미터파를 생성할 때 자이로트론을 많이 사용한다. 또한 식 (2)에 의해 진행 방향 파수 $k_z$가 평면파의 파수보다 작이지므로, 관내 파장(guided wavelength) $\lambda_g$는 커지게 된다. 이런 현상은 도파관(waveguide)에서 주로 일어난다.

(4)

식 (4)와 같이 정의된 관내 파장이 커지기 때문에, 전자파의 위상 속도(phase velocity)가 빨라져 자이로트론의 파동은 고속 파동(fast-wave: $v_p > c$)이 된다. 이와는 반대로 TWT(Traveling -Wave Tube)에 생기는 파동은 저속 파동(slow-wave: $v_p > c$)이어야 한다.

[참고문헌]

[1] J. L. Hirshfield and V. L. Granatstein, "The electron cyclotron maser-an historical survey," IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. 25, no. 6, pp. 522–527, June 1977.

[2] M. V. Kartikeyan, E. Borie, M. K. A. Thumm, Gyrotrons: High Power Microwave and Millimeter Wave Technology, Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag, 2004.

[3] R. Jain and M. V. Kartikeyan, "Design of a 60 GHz, 100 kW CW gyrotron for plasma diagnostics: GDS-v.01 simulations," Progress In Electromagnetics Research B, vol. 22, pp. 379–399, 2010.

[4] G. S. Nusinovich, M. K. A. Thumm, and M. I. Petelin, "The gyrotron at 50: historical overview," J. Infrared Milli. Terahz Waves, vol. 35, pp. 325–381, Feb. 2014.

전송선의 입력 임피던스(Input Impedance of Transmission Line)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "입력 임피던스"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 전송선 이론
2. 전압파와 전류파
3. 전압해와 전류해의 유일성
4. 특성 임피던스의 이해
5. 전압파의 반사 계수

[확인] 본 페이지는 exp(jωt) 시간 약속을 사용하고 있습니다.

[그림 1] 전원과 부하가 있는 전송선 회로

전송선 이론(transmission line theory)에서 매우 중요한 지표인 반사 계수(reflection coefficient)를 이용하면 임의 위치에서의 입력 임피던스(input impedance)를 쉽게 정의할 수 있다. 전송선의 손실이 없을 때 임의 위치에서의 반사 계수 $\Gamma_{\rm in}$는 다음처럼 정의할 수 있다.

(1)

(2)

그러면 식 (1)에 의해 입력 임피던스 $Z_{\rm in}$은 아래와 같다.

(3)

식 (3)을 $Z_{\rm in}$에 대해 정리하고 식 (2)를 대입하면 부하(load)와 특성 임피던스(characteristic impedance)로 표현한 입력 임피던스 식을 얻을 수 있다.

(4)

식 (4)에서 정의한 입력 임피던스는 반사 계수가 들어가 있어 무언가 새로울 것 같지만, 회로 이론의 입력 임피던스와 동일한 정의를 사용한다. 즉, 아래처럼 특정 위치[$z = -l$]의 총전류[$I_{\rm in}$]와 총전압[$V_{\rm in}$]의 비율을 입력 임피던스로 정의하면 식 (4)와 동일하다.

(5)

여기서 아래 첨자 $i$는 입사파, $r$은 반사파를 의미한다. VSWR(Voltage Standing Wave Ratio) 개념으로 보면 정재파가 최대 혹은 최소가 되는 지점에서 입사파와 반사파의 상대 위상은 각각 $0^\circ$ 혹은 $180^\circ$가 되므로, 이 지점에서 측정한 입력 임피던스는 항상 실수가 된다. 또한 식 (4)를 바탕으로 다양한 부하 조건에 대한 입력 임피던스를 계산할 수 있다.

[표 1] 부하 조건에 대한 입력 임피던스

[표 1]을 보면 반사가 없는 경우, 즉 부하가 특성 임피던스에 정합(matching: $Z_L = Z_0$)되면 항상 $Z_{\rm in} = Z_0$이다. 부하가 단락(short)이나 개방(open)된 경우는 길이에 따라 $Z_{\rm in}$이 변한다. 전송선의 길이가 짧은 경우[$l \approx 0$]는 단락 부하(short load)는 인덕턴스(inductance) $L$을 가진다. 반대로 개방 부하(open load)는 전기 용량(capacitance) $C$를 나타낸다. 손실 없는 전송선 조건을 이용하면 $l$이 매우 짧은 경우의 입력 임피던스를 다음처럼 전송선 관점으로 표현할 수 있다.

(6)

(7)

여기서 $L_{\rm ckt}$, $C_{\rm ckt}$는 회로 이론의 L, C를 의미한다. 전송선 길이가 1/4파장(quarter-wave)인 경우는 부하가 극적으로 변화한다. 여기서 $\lambda_g$는 관내 파장(guided wavelength: 전송선 내부에 존재하는 등가적인 파장)이다. $l = \lambda_g/4$를 식 (4)에 대입하면 매우 재미있는 관계식을 다음과 같이 얻는다.

(8)

즉, 1/4파장을 움직이면 입력 임피던스는 부하 임피던스(load impedance)의 역수 혹은 부하 어드미턴스(load admittance)에 비례한다.

[다음 읽을거리]

1. 안테나의 입력 임피던스

전압파의 반사 계수(Reflection Coefficient of Voltage Wave)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "전압파의 반사 계수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 전송선 이론
2. 전압파와 전류파
3. 전압해와 전류해의 유일성
4. 특성 임피던스의 이해

5. 프레넬 방정식

[확인] 본 페이지는 exp(jωt) 시간 약속을 사용하고 있습니다.

[그림 1] 전원과 부하가 있는 전송선 회로

[그림 2] 파동의 반사와 투과(출처: wikipedia.org)

특성 임피던스(characteristic impedance)의 의미는 [그림 1]과 같은 전송선(transmission line) 회로를 고려할 때 중요해진다. 왜냐하면 반사 계수(reflection coefficient)를 설명하는 주요 개념이 특성 임피던스이기 때문이다. 다시 말해 초고주파 회로에서 빈번하게 출현하는 반사파가 어떤 경우에 생기는지 숫자 하나로 알려주는 지표가 특성 임피던스이다. 특성 임피던스는 전송선의 매질과 물리적 구조에 의해 결정되므로, 측정이 어려운 반사파를 다룰 수 있는 새로운 방법을 알려준다.[$\because$ 전송선 구조를 알면 특성 임피던스를 알고, 특성 임피던스를 알면 반사파를 안다. 측정하지 않아도 반사파를 구할 수 있다.] [그림 1]의 전압원(voltage source) $V_S$에서 가해준 전압이 전송선에 걸려서 부하로 전달되고 있다고 가정한다. 그러면 부하(load)에서는 옴의 법칙(Ohm's law)에 의해 아래 식이 성립해야 한다.

(1)

여기서 $V_L$과 $I_L$은 각각 부하에 걸리는 회로 이론 관점의 전압과 전류, $V_0^+, I_0^+$는 입사파, $V_0^-, I_0^-$는 반사파[입사파와 반대로 가는 파동]이다. 식 (1)을 깔끔하게 풀기 위해 도입하는 비례 상수가 반사 계수 혹은 반사도(reflection coefficient) $\Gamma$이다. 반사 계수는 입사 전압파(incident voltage wave)와 반사 전압파(reflected voltage wave)의 단순 비율이다. 그러면 식 (1)로부터 반사 계수를 새롭게 정의할 수 있다.

(2)

식 (2)는 단순하지만 매우 강력하며 거칠게 말해 전송선 이론의 거의 전부라 할 수 있다. 식 (2)에 의하면 부하 임피던스(load impedance)에 따른 반사 계수의 변화를 정량적으로 평가할 수 있다. 만약 $Z_L$ = $Z_0$이면 식 (2)의 분자가 0이 되어 반사가 절대 생기지 않는다. 부하 임피던스가 개방(open)이면 무한대[$Z_L$ = $\infty$]이므로 반사 계수는 $1$이 된다. 부하 임피던스가 단락(short)이면 영[$Z_L$ = $0$]이므로 반사 계수는 $-1$이 된다. 반사 계수를 이용해서 부하에 걸리는 전압을 정의하면 아래와 같다. 이 부하 전압(load voltage)은 회로 이론(circuit theory)의 전압이다.

(3)

반사가 없도록 $Z_L$ = $Z_0$을 맞추면 식 (3)에 의해 $V_L$ = $V_0^+$가 되어 회로 이론에서 정의한 전압과 입사 전압파는 동일하게 된다. 즉, 전송선 이론과 회로 이론은 같은 결과를 주게 된다. $Z_L$ = $\infty$이면 $V_L$ = $2V_0^+$, $Z_L$ = $0$이면 $V_L$ = $0$이 된다.

[표 1] 부하 임피던스에 대한 반사도와 투과도 변화

이상의 논의를 통해 [표 1]에 제시한 내용은 쉽게 이해할 수 있다. 예를 들어, 반사도가 $1$인 경우와 $-1$인 경우를 생각한다. 반사도가 $1$이면, 식 (2)에 의해 입사 전압파와 동일한 위상으로 반사 전압파[위상이 0˚이므로 같은 모양]가 생긴다. 혹은 반사도가 $-1$인 경우, 입사 전압파와는 180˚ 다른 반사 전압파[위상이 180˚이므로 뒤집어진 모양]가 나온다. 하지만 $Z_L$ = $\infty$인 경우의 투과도는 특이하다. 부하가 개방되면, 투과되는 비율이 2배나 된다. 부하 $Z_L$ = $\infty$인 경우는 투과 전압이 입력 전압에 비해 2배로 증폭된다는 뜻인가? 그렇게 될 수는 없다. 이를 이해하기 위하여 [그림 1]의 회로를 전압원 $V_S$부터 출발해서 분석한다. [그림 1]에서 $z$축의 원점에 부하($Z_L$)가 있음을 눈여겨본다. 전송선 이론에서는 입력 임피던스(input impedance) 개념 때문에 보통 부하부터 시작해 계산한다. 그래서 $z$축 원점을 대부분 부하에 둔다. 또한, 파동은 전원에서 부하쪽으로 오기 때문에 이 방향이 $z$축의 (+)방향이 된다. 따라서, 전원과 부하 사이의 거리가 $l$이면 [그림 1]처럼 전원은 $z$ = $-l$에 있다. 점 $z$ = $-l$ 지점에서 바라본 전송선의 입력 임피던스 $Z_{\rm in}$을 계산한다. 신호원을 전송선에 가하면 처음에는 반사파가 생기지 않는다. 왜냐하면 파동이 부하에 닿지 않았으므로 입사파만 있고 당연히 반사파는 없다. 즉, 신호 발생 시점에서는 $V_0^-$ = $0$이다. 반사가 없으면 $Z_{\rm in}$은 특성 임피던스 $Z_0$와 같다.

(4)

(5)

여기서 선로의 손실이 없는 경우에 전파 상수(propagation constant)는 $\gamma$ = $j \beta$이다. 식 (5)에 의해 반사파가 없는 $Z_{\rm in}$은 회로 이론에서 사용하는 저항 $Z_0$으로 간주할 수 있으므로, [그림 1] 회로의 전원쪽[$z$ = $-l$] 전압은 KVL(키르히호프 전압 법칙, Kirchhoff Voltage Law) 혹은 전압 분배기(voltage divider) 개념을 써서 해석할 수 있다.

(6)

식 (6)을 식 (3)에 대입하면 부하 전압을 전압원 관점에서 쓸 수 있다.

(7)

반사파가 전압원에서 반사되지 않도록 식 (6)과 (7)에서 $Z_S$ = $Z_0$라 둔다. 왜냐하면 식 (7)은 전압원으로 인가한 전압파가 부하에 만드는 전압이며 다중 반사(multiple reflection)는 고려하지 않기 때문이다.[만약 $Z_S$ $\ne$ $Z_0$이면, 부하에 의한 반사파가 전압원에서 재반사되므로 전원 반사도 $\Gamma_S$(= $(Z_S - Z_0)/(Z_S + Z_0)$)를 도입해 문제를 다시 풀어야 한다.] 그러면 전원쪽 전압은 $V_S/2$가 되고 부하쪽 전압은 다음처럼 간략화된다.

(8)

식 (8)을 보면 $Z_L$이 아무리 커지더라도 실제 부하에 걸리는 전압은 입력 전압 $V_S$를 넘어설 수 없음을 볼 수 있다. 예를 들어, $Z_S$ = $Z_0$, $Z_L$ = $\infty$인 경우, 입력 전압을 전송선에 걸어주면 식 (5)에 의해 전송선에 걸리는 전압은 $V_S/2$가 된다. 이 전압이 개방된 부하에 부딪혀 2배로 커지더라도 $V_L$ = $V_S/2 \times 2$ = $V_S$가 되기 때문에 입력 전압이 부하 전압에 그대로 나타나게 된다.

식 (2)의 반사도 혹은 반사 계수는 임의의 지점으로 일반화할 수 있다. 식 (4)에 의해 $z$ = $-l$ 지점에서 계산한 반사도 $\Gamma_{\rm in}$은 아래와 같다.

(9)

부하에서 전원 방향으로 이동하면(or [그림 1]에서 -z축 방향으로 이동하면) 반사도의 크기는 변하지 않고 위상이 $\phi$ = $2 \beta l$만큼 시계 방향으로 회전한다. 이를 통해 반사도의 반복 주기는 $\lambda_g/2$가 됨을 알 수 있다. 여기서 $\lambda_g$는 전송선에 존재하는 관내 파장(guided wavelength)이다. 반사도의 위상 특성은 일반적인 파동의 위상 특성과 다소 차이가 있다. 파장(波長, wavelength)이라는 말 자체가 파동의 공간적인 주기를 나타내기 때문에 한 파장($\lambda$) 진행하면 위상은 360˚가 바뀐다. 하지만 반사도는 입사한 파동이 부하에서 반사되는 특성이기 때문에 반드시 왕복 거리[= $2l$]를 고려해야 한다. [그림 1]처럼 전원에서 나온 파동이 부하까지 $l$만큼 진행한 후, 부하에서 반사되어 다시 전원으로 $l$만큼 진행한다. 식 (9)를 봐도 $2l$이 왕복 거리가 된다. 그래서, 반사도는 반파장($\lambda/2$)을 진행해도 360˚가 바뀐다.[∵ 왕복이므로 $\lambda/2 \times 2$ = $\lambda$가 되어 360˚가 된다.]

반사 계수는 전류파 관점으로 정의할 수도 있다. 아래는 전압파 반사 계수 $\Gamma_V$와 전류파 반사 계수 $\Gamma_I$의 관계를 보여준다.

(10)

전압파 반사 계수 $\Gamma_V$와 전류파 반사 계수 $\Gamma_I$는 서로 다른 부호를 가진다.

반사 계수는 보통 데시벨(dB: decibel)로 표시한다. 특히 귀환 손실 혹은 반사 손실(Return Loss, RL)이 실무에서 많이 쓰인다.

(11)

식 (11)처럼 반사 손실은 일반적인 데시벨 정의[전력 비율에 상용로그를 취한 양]에 (-)를 붙여 정의한다. 반사 전력(reflected power)은 반사 계수 절대값의 제곱이므로 식 (11)로 표현한다. 반사 손실은 전반사[$\Gamma_L$ = $1$]가 일어나면 $0$ dB, $10$ %가 반사[$\Gamma_L = 0.1$]되면 $20$ dB 이런 식으로 생각하면 된다. 즉, 반사 손실은 전반사가 되어 돌아오기를 기대하나, 반사량이 줄어서 반사파 관점으로 손실이 생긴다는 개념으로 정의한다. 반사 계수를 쉽게 이해하려면 계수가 적으면 반사가 적고, 계수가 크면 반사가 크다고 생각하면 된다. 반사가 적다는 경험적인 기준은 반사 전력 기준으로 약 $10$ %[= $-10$ dB]이다. 이는 반사 계수 관점에서 약 $0.32$[= $32$ %]가 된다. 일반적인 안테나(antenna)는 반사 계수가 $-10$ dB 이하이면 반사가 거의 없다고 생각한다. 보통 증폭기(amplifier) 입출력은 $-15$ dB 이하, 필터(filter)는 $-20$ dB 이하를 반사가 없는 기준으로 삼는다. 반사 계수만큼 많이 쓰이지는 않지만 알아두면 편한 개념이 투과 계수(transmission coefficient)이다. 투과 계수는 부하로 투과되는 전압파를 이용해 다음처럼 정의한다.

(12)

부하가 실수인 경우 반사 계수의 크기는 $-1 \le \Gamma \le 1$이므로 투과 계수의 크기는 자동적으로 $0 \le T \le 2$이 된다. 위 설명처럼 $T$ = $2$라고 해서 부하 전압이 $2$배로 증폭되지는 않는다. 전송선에 전압을 걸어줄 때 이미 전압이 $1/2$로 줄기 때문에 부하에 실제로 걸리는 전압은 입력으로 걸어준 전압과 같다. 투과 계수와 약간 비슷한 개념이 삽입 손실(insertion loss)이다. 삽입 손실은 말 그대로 전송선 사이에 어떤 소자를 삽입할 때 생기는 손실이다. 그래서, 다음처럼 정의한다.

(13)

여기서 $P_{\rm ref}$는 기준 전력으로서 소자를 삽입하기 전에 잰 투과 전력이며 $P_D$는 소자를 삽입한 후 잰 투과 전력이다. 삽입한 소자가 수동 소자이면 손실로 인해 항상 투과 전력이 줄어들기 때문에 ${\rm IL} > 0$이 된다. 물론 아주 이상적인 소자이면 손실이 없어서 $P_D$ = $P_{\rm ref}$가 같으므로 ${\rm IL}$ = $0$이다. 만약 삽입한 소자가 증폭기(amplifier)라면 $P_D > P_{\rm ref}$가 되어 ${\rm IL} > 0$이 된다. 하지만 이 경우 증폭도를 삽입 손실로 정의하기는 매우 어색하다. 즉 증폭기인 경우는 삽입 손실을 쓰면 안되고 이득(gain)으로 정의해야 한다. 우리가 삽입한 소자가 2단자 회로망(two-port network)이라면 산란 계수(scattering parameter)를 이용해 삽입 손실을 다음처럼 정의한다.

(14)

여기서 $S_{21}$은 1번 단자(端子, port)에서 2번 단자로의 산란 계수이다. 식 (13)을 이용하면 식 (14)를 다음처럼 유도할 수 있다.

(15)

여기서 $P_{\rm ref}$ 계산시 $S_{21}$을 $1$로 둔 이유는 삽입 손실의 정의 때문이다.[∵ 소자를 넣지 않은 경우는 전송선이 잘 연결되어 있으므로 $S_{21}$ = $1$이 되어야 한다.] 식 (4)에서 거리별 전압파 및 전류파는 입사[$V^+$] 및 반사[$V^-$] 전압파 계수로 정의한다. 부하에서 측정한 전압[$V_L$]과 전류[$I_L$]를 이용하면 거리별 전압파 및 전류파를 더 직관적으로 정의할 수 있다. 먼저 다음 관계를 생각한다.

(16)

식 (16)을 식 (4)에 넣어 정리하면, 부하 전압과 전류로 표현한 거리별 전압파 및 전류파 방정식을 얻을 수 있다.

(17)

비슷한 방식으로 전원과 부하에서 반사가 동시에 생기는 경우도 쉽게 산란 특성을 유도할 수 있다. 먼저 [그림 1]을 기준으로 전원에 대해 KVL(Kirchhoff Voltage Law)을 적용한다.

(18)

여기서 $V_0^-$ = $\Gamma_L V_0^+$, $z$ = $-l$에 걸리는 전압 $V(-l)$과 전류 $I(-l)$은 식 (4)로 계산한다. 식 (18)을 간략화하기 위해, 전송선으로부터 입사한 파동이 전원 임피던스 $Z_S$에 의해 반사하는 비율인 전원 반사 계수 $\Gamma_S$를 도입한다.

(19)

식 (19)를 식 (18)에 대입해서 $V_0^+$의 방정식을 단순화한다.

(20)

식 (20)은 전원과 부하에서 생기는 다중 반사(multiple reflection) 현상을 수식적으로 잘 보여준다. 즉, 전압원 $V_S$가 전송선에 인가한 전압파 $Z_0 V_S /(Z_S + Z_0)$가 다음과 같이 전원과 부하에 의해 무한히 반사되면, 최종 산란 결과는 정확히 식 (20)이 된다.

(21)

여기서 무한 급수(infinite series)가 나타나려면 $|\Gamma_S \Gamma_L e^{-2\gamma l}|$ $<$ $1$이 되어야 한다. 식 (2)에 식 (20)을 넣으면, $V_0^-$의 공식도 간단하게 만들 수 있다.

(22)

따라서 전원과 부하 임피던스가 자유롭게 변하는 전송선로에 존재하는 전압파와 전류파는 다음처럼 표현된다.

(23)

전원과 부하에서 다중 반사가 생기더라도, $z$에 따라 변하는 전압파와 전류파의 성질은 $\Gamma_S$ = $0$인 경우와 동일하다. 왜냐하면 $\Gamma_S$는 $V_0^+$와 $V_0^-$의 공통된 계수에만 등장하기 때문이다. 식 (23)을 반사도 $\Gamma_S, \Gamma_L$로만 쓰면 다음과 같다.