데시벨과 로그 함수(Decibel and Logarithmic Function)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "데시벨과 로그 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 로그 함수의 기원

공학 분야, 특히 통신 분야에서 광범위하게 사용되는 단위는 데시벨(decibel) 혹은 디비(dB)이다[2]. 좀 거칠게 말하면 통신 분야에서는 어떤 값의 분수 비율은 거의 사용하지 않고, 비율을 써야 하는 곳에는 대부분 데시벨을 사용하고 있다.

[그림 1] 상용 로그 함수(출처: wikipedia.org)

원론적 의미에서 데시벨은 기준 전력[= $P_{\rm ref}$]에 대한 현재 관심 전력[= $P$]의 비율을 의미한다. 이를 위해 10을 밑수로 하는 로그 함수(logarithmic function)로 데시벨을 표현하면 다음과 같다.

                  (1)

즉, 데시벨 정의는 전력(power) 비율의 상용 로그(common logarithm)값에 10을 곱한다. 10을 곱한 이유는 전력 비율의 상용 로그값이 너무 작기 때문에 키워주기 위해서이다. 또한, 식 (1)에 있는 로그 함수는 매우 작은 값은 (-)로 어느 정도 크게 표시하고 아주 큰 값은 작게 만들어주므로, 데시벨 정의를 이용하면 전력 비율을 우리가 다루기 쉬운 숫자로 쉽게 변환할 수 있다. 보통 데시벨로 표현한 전력 비율은 -100~+100 dB 범위에 있다. 데시벨이 표현하는 숫자는 비율보다 얼마나 기억하기 좋은가! 흔히 쓰이는 데시벨값과 비율의 관계는 다음과 같다.

• 1배 = 0 dB
• 2배 $\approx$ 약 3 dB
• 3배 $\approx$ 약 4.77 dB $\approx$ 약 4.8 dB
• 4배 = 2배*2배 $\approx$ 약 6 dB = 3 + 3 dB
• 5배 = 10배/2배 $\approx$ 약 7 dB = 10 - 3 dB
• 6배 = 2배*3배 $\approx$ 약 7.8 dB = 3 + 4.8 dB
• 7배 $\approx$ 약 8.45 dB
• 8배 = 2배*4배 $\approx$ 약 9 dB = 3 + 6 dB
• 9배 = 3배*3배 $\approx$ 약 9.54 dB = 4.77 + 4.77 dB
• 10배 = 10 dB
• 100배 = 20 dB
• 1,000배 = 30 dB
• 1/10배 = -10 dB
• 1/100배 = -20 dB
• 1/1,000배 = -30 dB

위로 결과로부터 데시벨을 대충 보면 비율에서 0의 개수가 몇 개나 있는가와 똑같다. 예를 들어 10 dB는 0이 한 개[= 10], 20 dB는 0이 두 개[= 100], 이런 식이다. -10 dB는 0이 정상 방향과 거꾸로 한개[= 0.1], -20 dB는 0이 거꾸로 2개[=0.01]처럼 생각할 수 있다.

[그림 2] 벨이 시연한 뉴욕에서 시카고로의 최초 전화 통화(출처: wikipedia.org)

데시벨이란 단위는 이름이 왜 이렇게 요상할까? 데시(deci)는 우리가 흔히 사용하는 1/10을 의미하는 접두사이다. 예를 들면 센티(centi)는 1/100을 뜻한다.  데시벨을 구성하는 벨은 전화기(telephone)의 발명자인 벨Alexander Graham Bell(1847–1922)을 의미한다. 식 (1)의 정의를 가만 보면 조금 이상하다. 분명 정의에서는 10을 곱하는데, 왜 1/10을 의미하는 데시가 쓰일까? 이 부분을 이해하기 위해 데시벨의 원래 정의인 벨(bel)을 다음처럼 생각한다.

                   (2)

식 (1)과 (2)를 고려하면 1 B = 10 dB가 된다. 이런 데시벨과 벨의 관계를 길이 관점으로 보면, 1 cm = 10 mm와 같다. 즉, 1 mm를 10개 모으면 1 cm가 되므로 1 mm는 1 cm보다 1/10 작다. 마찬가지로 1 dB를 10배 하면 1 B이 되므로 1 dB는 1 B의 1/10이다. 따라서 데시벨 정의에는 데시를 쓰면 된다. 아니면 더 쉽게 단위를 줄이면 수치는 커지는 관계에 따라[1 cm를 1 mm 단위로 줄이면 수치는 10배 커져서 10 mm] $10 \log_{10}(\cdot)$ dB = $10 \cdot 1/10 \log_{10}(\cdot)$ B = $\log_{10}(\cdot)$ B로 생각하면 된다.[정말 더 쉽게는 10을 곱하므로, 단위에 1/10을 의미하는 데시를 쓴다고 생각한다.]

[그림 3] 벨 연구소의 로고(출처: wikipedia.org)

데시벨 단위는 현실적인 이유 때문에 제안되었다. 초기 전화선로는 특성이 좋지 않아 손실이 많이 발생했다. 선로 손실은 필연적으로 통화 품질을 떨어뜨리므로 전화선로는 특히 전송 손실을 고려해 가설해야 한다. 손실이 적은 전화선로를 선별하려면 당연히 해당 선로의 전송 손실을 측정해야 하고, 측정에는 기준 단위가 필요하다. 데시벨 이전에도 전화선로를 측정하기 위한 단위(MSC: Miles of Standard Cable, 표준 선로의 마일 특성)가 있었지만 필요 이상으로 복잡한 초기 설정 조건을 가지고 있었다.[대충 쓰면 당시 사용하던 표준 전화선로에 저주파 신호(약 800 Hz)를 넣고 1 마일(약 1.6 km) 가량 전송한 후 측정한 전력 손실을 1 MSC로 정의했다.] 데시벨은 식 (1)처럼 단순하게 정의하고 편리하게 사용하면 된다. 그래서 넣어준 전력을 기준으로 전송된 전력을 측정하면 데시벨이 바로 정의되고, 측정값인 데시벨을 보면 저손실 전화선을 손쉽게 구별할 수 있다. 또한 데시벨을 식 (1)처럼 정의하면 1 dB는 거의 1 MSC에 해당한다. 쉽게 말해, 당시 기준으로 전화선을 1 마일[혹은 1.6 km] 정도 가설해서 전력 손실을 측정하면 약 1 dB가 나왔다는 뜻이다. 1 dB는 데시벨의 기준 단위이며 이전에 사용하던 MSC에도 부합하므로 데시벨 개념은 무리 없이 받아들여졌다. 이상의 논의에서 계속 등장하고 있는 장치가 전화이다. 전화 서비스 개발의 시작과 끝은 벨이 만든 AT&T이다. 이 AT&T의 두뇌에 해당하는 기관인 벨 연구소(Bell Laboratories)에서 1928년벨 사후 6년, 일제 식민지 시절 제안한 이름이 데시벨이다. 벨 연구소에서 제안한 단위이므로 데시에 벨을 넣어서 데시벨이 된다. 조금 삐딱하게 보면 데시벨은 자기 회사 설립자 이름을 전송 손실의 측정 단위에 넣은 용어다. 쉽게 말하면 우리 사장님, 만세!에 해당한다.

데시벨은 상용 로그를 이용해 전력 비율을 정의한다. 자연 로그(natural logarithm)로는 정의할 수 없는가? 물론 세상에는 똑똑한 사람이 많기 때문에 자연 로그를 이용한 정의도 이미 나와있다. 전기장(electric field)이나 자기장(magnetic field)과 같은 파동 비율, 전압(voltage)이나 전류(electric current) 같은 회로량을 나타내기 위해 사용하는 네퍼(neper)가 다음처럼 자연 로그를 이용한다.

                   (3)

여기서 $\log (\cdot)$는 자연 로그이며 $E$는 전기장의 크기이다. 네퍼는 전력 비율이 아니고 전자기장이나 전압 혹은 전류의 비율임을 유의한다. 식 (1)과 (3)을 이용하면 네퍼와 데시벨의 관계를 다음처럼 구할 수 있다.

                   (4a)

                  (4b)

여기서 $X$와 $\chi$의 단위는 각각 Np와 dB이다. 예를 들어 식 (4b)에서 $X$ = 1 Np를 대입하면 1 Np = $20/\log 10$ $\approx$ 8.685889638065 dB가 된다. 거꾸로 1 dB $\approx$ 0.1151292546497 Np이다.

식 (1)의 데시벨은 단순히 로그 함수의 성질에만 기댄 정의일까? 앞서 로그 함수는 작은 값은 (-)로 좀 크게 하고, 큰 값은 좀 작게 하는 역할을 한다고 소개했다. 하지만 데시벨의 로그 함수는 이보다 더 심오한 의미를 가지고 있다. 바로 로그 함수는 사람의 감각 능력[무게, 소리, 빛 등에 대한 인식력]과 관련된 함수이다[1]. 어림짐작으로 무게를 재는 행동을 이용해 사람의 무게 인식 능력을 연구하던 베버Ernst Heinrich Weber(1795–1878)는 1846년베버 51세, 조선 헌종 시절에 베버의 법칙(Weber's law)을 발표한다. 베버의 법칙은 긴가민가한 차이는 그 자체 무게에 비례함이다. 긴가민가한 차이는 전공 용어로 최소 식별차(最小識別差) 혹은 JND(Just Noticeable Difference)라고 한다. 예를 들어 내가 10 kg을 들고 있는데 내게 100 g을 더 얹은 경우 내가 인식을 하는 경우도 있고 못하는 경우도 있다면 100 g이 최소 식별차이다. 만약 20 kg이면 베버의 법칙에 의해 최소 식별차는 200 g이 된다. 무게에 대한 베버의 법칙을 확장하여 사람의 인식 능력을 수학식으로 표현하면 다음과 같다.

                  (5)

여기서 $S$는 현재 자극(stimulus)의 크기, $\Delta S$는 자극의 최소 식별차이다. 베버의 법칙은 단순한지 혹은 대단한지 조금 애매하지만 한 가지 심각한 문제가 있다. 무게, 소리, 빛과 같은 자극은 물리적인 양[정밀하게 측정 가능한 양]이지만, 최소 식별차는 인식에 관련된 심리적인 양[어렴풋하게 측정은 되지만 사람마다 다른 양]이다. 정확히 말하면 최소 식별차는 우리 마음속에서 일어나는 인식 차원의 잡음(perceptual noise)이다. 사실 사람의 심리 자체가 확률론적인 특성을 가지고 있으므로 물리적으로는 동일한 양이지만 사람은 매번 다르게 느낄 수 있다. 그래서 식 (5)를 인식 능력에 대한 신호대 잡음비(SNR: signal-to-noise ratio)로 볼 수도 있다. 여기서 신호는 $S$가 되고 잡음은 $\Delta S$가 된다. 최소 식별차를 잡음으로 본다면, 통계적으로 최소 식별차는 $S$에 대한 인간 인식의 표준 편차(standard deviation) $\sigma$로 정의할 수도 있다[1]. 베버의 제자이자 정신 물리학(psychophysics)의 아버지로 불리는 페히너Gustav Theodor Fechner(1801–1887)는 식 (5)를 발전시켜 다음과 같은 베버–페히너 법칙(Weber–Fechner law)을 제안하였다.

                   (6)

여기서 $k$는 물리량과 사람의 인식을 연관짓는 상수이며 $\Delta P$는 사람 인식(perception)의 변화량이다. 식 (6)에서 눈여겨 볼 부분은 측정 가능한 물리량인 자극(stimulus)과 사람의 내적 심리와 관계된 인식(perception)이 서로 분리되어 있다.[이를 연결해주는 상수가 $k$이다. 물론 $k$는 사람을 대상으로 한 실험으로 결정해야 하는 양이다.] 자극과 인식과의 상관 관계를 얻기 위해 식 (6)을 극한(limit)으로 보내면서 적분한다.

                  (7)

여기서 $C$는 적분 상수이다. 만약 사람이 인식할 수 없는[$P$ = $0$] 자극을 $S_0$라 하면 적분 상수는 $C$ = $-k \log S_0$이 되어야 한다. 이 개념을 식 (7)에 대입하면 베버–페히너 법칙은 다음처럼 아름다운 모양이 된다.

                   (8)

우리의 청력도 베버–페히너 법칙을 따르기 때문에 소리에 대한 사람의 인식력도 로그 함수로 정의해야 한다. 식 (8)과 식 (1)을 번갈아본다. 매우 비슷함을 알 수 있다. 맞다. 벨 연구소 연구자들이 데시벨을 정의할 때 베버–페히너 법칙을 고려했다. 내가 보낸 신호는 전화선로를 타고 전화기를 거쳐 사람의 귀로 전달된다. 사람이 소리를 분간하는 특성은 로그 함수이기 때문에 전력 기준을 로그 함수에 맞추면여러 모로 의미있다. 단지 이전에 사용하던 MSC와 데시벨의 단위를 어느 정도 맞추기 위해 비례 상수는 10으로 정했을 뿐이다. 단순하게 보이는 데시벨 정의는 이와 같이 많은 이야기를 가지고 있다. 여기서 또 의문이 생긴다. 데시벨은 전화기에 필요한 우리의 청력과 연관된 정의이다. 하지만, 요즘은 음성 통화보다는 데이터(data) 전송이 더 주류를 이룬다. 더이상 데시벨을 사용할 필요가 있을까? 맞다. 분명한 지적이다. 하지만, 얼마전까지 통신망의 주요 정보는 음성이었다. 음성을 기준으로 대부분의 통신 시스템이 설계된 상황이다. 이 상황에서 데이터만을 위한 새로운 단위를 정의할 필요가 있는가? 음성을 위해 데시벨로 설계된 통신망이 데이터에도 잘 적용되고 있기 때문에, 새로운 단위는 굳이 필요 없다.[물론 아날로그(analog)에서는 데시벨을 기반으로 한 SNR을 쓰고 디지털(digital)에서는 BER(비트 오류율, bit error rate)을 쓰지만, 어디까지나 실제 전송은 아날로그임을 기억한다.]

역사가 깊고 분명한 의미가 있는 데시벨은 여러 분야에서 다양하게 정의되어 사용되고 있다. 아래에 흔히 쓰이는 데시벨의 변형 단위를 소개한다.

• dBm, dBW

식 (1)의 데시벨을 정의할 때 전력 기준[= $P_{\rm ref}$]을 명시하지 않는다. 어떤 경우에는 일반적인 식 (1)의 정의보다는 전력 기준을 표시하여 상대 비율이 아닌 절대 전력량으로 데시벨을 쓰면 편리하다. dBm[디비엠으로 읽음]은 기준 전력을 1 mW로 정하여 1 mW에 비해 현재 전력이 얼마나 큰지 표시한다. 예를 들어 30 dBm은 1 mW에 비해 1,000배 큰 전력을 뜻하므로 30 dBm = 1 W를 나타낸다. dBm은 통신 시스템에 규격 정의에 빈번하게 사용되니 잘 기억한다. 대충 보면 대역폭(bandwidth)이 10 MHz인 수신기의 잡음 전력 수준은 -100 dBm 정도 된다. 단위 dBW[디비와트 혹은 디비더블유로 읽음]는 기준 전력 $P_{\rm ref}$를 1 W로 정하기 때문에 dBm보다 1,000배 큰 절대 단위이다. 레이다(radar)처럼 시스템 출력이 큰 경우는 dBm보다는 dBW를 쓰는 경향이 강하다. 예를 들어 레이다 출력이 1 kW라면 데시벨로 30 dBW가 된다.

• 전압과 전류를 위한 데시벨

전압과 전류는 전력과 단위가 다르기 때문에 전압과 전류를 전력으로 변환하여 식 (1)을 적용해야 한다. 전압은 다음처럼 변환한다.

                   (9)

의외로 전압의 데시벨 표현식이 지저분하다. 여기서 과감한 결정을 하나 한다. 단순하게 만들기 위해 기준 전력의 저항[= $R_{\rm ref}$]과 현재 전력의 저항[= $R$]이 같다고 가정한다. 그러면 식 (9)는 다음처럼 간략화할 수 있다.

                   (10)

그런데 $R$ = $R_{\rm ref}$란 가정은 너무 무리하지 않나? 서로 다른 위치에 있는 저항이 반드시 같을 필요가 있을까? 하지만 우리가 무엇을 하고 있는지 생각한다. 전압을 위한 데시벨 정의를 만들고 있다. 그래서 기계적으로 식 (1)을 식 (10)으로 변환하기보다는 간단한 조건을 하나 추가해서 식 (9)로부터 식 (10)을 정의한다. 즉, 회로에 따라 다를 수도 있지만 강력한 조건인 $R$ = $R_{\rm ref}$를 선택해서 식 (1)과 (10)이 서로 등가이면서 식 (10)은 아주 간단해지도록 한다. 전압처럼 전류에 대한 데시벨 정의도 다음처럼 만들 수 있다.

                   (11)

• dBV, dBμV

dBV[디비볼트 혹은 디비브이로 읽음]는 임피던스를 고려하지 않고 1 V 기준으로 현재 전압을 데시벨 관점으로 표현한 단위이다. 마찬가지로 dBμV는 1 μV가 기준이다.

• dBi

dBi[디비아이로 읽음]는 안테나 이득(antenna gain) $G$를 데시벨로 표현할 때 사용하는 단위이다. 안테나 이득 정의에 의해 dBi를 표현할 때 기준이 되는 안테나 이득은 1이다. 손실이 없는 경우, 안테나 이득이 1이라는 뜻은 모든 방향으로 복사 전력(radiated power)이 균등하게 퍼져나감을 의미한다. 안테나 이득은 전력으로 정의하므로 로그 함수 앞에 10을 곱한다.

                   (12)

안테나의 편파가 원형 편파(circular polarization)임을 강조하고 싶을 때는 보통 dBic를 쓴다. 예전에는 dBiC처럼 엄격히 표기했지만, 지금은 간편하게 dBic로 쓴다. 원형 편파의 안테나 이득을 선형 편파(linear polarization)의 안테나 이득으로 바꾸는 간단한 공식은 없다.[안테나마다 그때 그때 달라요.] 다만 원형 편파를 가진 전자파를 선형 편파 안테나로 수신한다면, 원형 편파를 구성하는 두 축 중의 한 축만 수신하기 때문에 수신 전력은 -3 dB만큼 떨어진다. 이 경우는 $G$ dBic $\to$ $(G - 3)$ dBi라고 쓸 수 있다.

• dBd

dBi의 기준 안테나 이득을 반파장 다이폴 안테나(half-wave dipole antenna)로 바꾸면 dBd[디비디로 읽음]가 된다. 단위 dBd에 있는 d는 당연히 다이폴 안테나를 의미한다.

                   (13)

여기서 $G_d$는 반파장 다이폴 안테나의 손실 없는 안테나 이득이다. 하지만 여러 안테나 중에서 왜 하필 다이폴 안테나를 기준으로 하는 단위를 사용할까? 다이폴 안테나는 인류 역사상 최초의 안테나이기 때문에 예전부터 많이 쓰이기 때문에 기준으로 적절하다. 당연한 얘기지만, 다이폴 안테나의 발명자는 헤르츠Heinrich Hertz(1857–1894)이다.

• dBsm

단위 dBsm은 레이다 단면적(RCS: Radar Cross-Section) $\sigma$를 데시벨로 표현할 때 사용하는 단위이다. dBsm에서 sm(square meter)은 기준 면적을 1 ㎡로 택한다는 뜻이다. dBsm을 수학적으로 정의하면 다음과 같다.

                   (14)

데시벨 정의시 헷갈리는 부분은 로그 함수 앞에 10을 곱할지 20을 곱할지이다. 레이다 단면적은 산란 전자파 전력으로 정의하기 때문에 식 (1)처럼 10을 곱하면 된다.

• dBc

dBc는 전력 기준을 반송파(搬送波, carrier)로 정한다. 무선 통신은 항상 변조(變調, modulation)를 하기 때문에, 통상적으로 가장 큰 전력인 반송파 전력 $P_c$ 대비 현재 관심 있는 전력 $P$를 dBc로 표현한다. 단위 dBc에 있는 c는 반송파를 의미한다.

                   (15)

단위 dBc를 많이 쓰는 소자는 발진기(發振器, oscillator)이다. 이상적인 발진기는 단일 주파수만 발생시키지만 현실의 발진기는 여러 주파수가 나오므로, 발진기가 얼마나 깨끗하게 주파수를 발생시키는지를 표현하는 지표로 dBc를 많이 쓴다.

• dBu

음향 분야에서 사용하는 dBu는 실효값(root mean square, RMS) 전압 $\sqrt{0.6}$ V[$\approx$ 0.775 V]를 기준으로 사용하는 데시벨 단위이다. 전압 기준이 요상한 이유는 예전 전화선로의 특성 임피던스가 600 Ω이었기 때문이다. 특성 임피던스 600 Ω에 걸린 $\sqrt{0.6}$ V는 정확히 1 mW가 된다. 즉, 임피던스가 600 Ω이라면, 전압 0 dBu는 부하에서 0 dBm만큼 소비된다. dBu에 있는 u는 VU 계량기(volume unit meter)의 u에서 왔다. VU 계량기는 v로 시작하기 때문에 dBu는 원래 dBv로 쓰였다. 하지만 dBV와 헷갈리기 때문에 dBu로 고쳐서 쓰고 있다.

• dBFS

음향 분야에 쓰이는 dBFS는 현재 사용하고 있는 음향 장치가 신호 왜곡[파형 잘림] 없이 표현할 수 있는 최대 전력을 기준으로 한 데시벨 단위이다. 기준 파형은 사인파 혹은 사각파[구형파]를 사용한다. dBFS에 있는 FS는 신호의 최대 범위(full scale)를 의미한다.

[참고문헌]

[1] J. B. Allen, "A short history of telephone psychophysics," 103rd Convention, AES, Sep. 1997, art. no. 4636.

[2] W. H. Martin, "Decibel—the name for the transmission unit," Journal of the A.I.E.E., vol. 48, no. 3, pp. 223–223, Mar. 1929.

구 좌표계의 MNL 함수(MNL Functions in Spherical Coordinates)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "구 좌표계의 MNL 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 구 좌표계의 전자장 표현식
2. MNL 함수를 이용한 전자장 표현식
3. 데카르트 좌표계의 MNL 함수
4. 원통 좌표계의 MNL 함수

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데카르트 좌표계와 원통 좌표계의 MNL 함수 유도법을 이용하면 구 좌표계(spherical coordinate system)의 MNL 함수도 기계적으로 쉽게 구할 수 있다. 구 좌표계에서 정한 MNL 함수는 벡터 구면파 함수(vector spherical wave function)라고도 부른다. 다만 식 (1)에 제시한 안내 벡터(piloting vector) $\bar p$는 데카르트 좌표계 혹은 원통 좌표계[$\bar p = \hat z$]와는 다르게 정한다.

                      (1)

물론 $\bar p = \hat z$라고 해도 되지만 구 좌표계 $(r, \theta, \phi)$에서 $z$축 단위 벡터(unit vector)는 다음처럼 복잡하게 표현되므로 권장하지 않는다.

                       (2)

그러면 단순하게 안내 벡터는 $r$의 함수라 가정하여 $\bar p = f(r) \hat r$을 식 (1)에 대입해 식 (7)처럼 계산해 보자.

                         (3)

                       (4)

                       (5)

            (6)

                      (7)

따라서, $r \ne 0$인 경우 구 좌표계를 위한 가장 단순한 안내 벡터는 위치 벡터(position vector)로 정의한다.

                      (8)

다음으로 할 일은 구 좌표계에 대한 스칼라 생성 함수(scalar generating function) $\psi$ 찾기이다.

                      (9)

구 좌표계의 파동 함수는 악(?)소리나게 복잡하지만, 구 좌표계의 전자장 표현식(electromagnetic field representations in spherical coordinates)을 이용하기 때문에 큰 문제는 없다. 장애물이 없는 3차원 공간의 구 좌표계 자기 벡터 포텐셜 $A_r$ 표현식은 다음 형태를 가진다.

                       (10)

                       (11)

식 (11)을 이용해서 구 좌표계의 스칼라 생성 함수 $\psi_{nm}$를 정하면 다음과 같다.

                       (12)

식 (12)에 있는 구면 베셀 함수(spherical Bessel function)는 리카티–베셀 함수(Riccati–Bessel function)와 다음 관계를 가지고 있다.

                       (13)

여기서 $z_n(x)$는 구면 베셀 함수(spherical Bessel function)이다. 이 다음부터는 기계적으로 MNL 함수를 구하면 된다.

                       (14)

여기서 다음 관계가 성립한다.

                       (15)

따라서 MN 함수는 다음처럼 표현된다.

                  (16a)

                  (16b)

                      (17)

여기서 $P_n^{m \prime}(x)$ = $d P_n^m(x) /dx$이다. 식 (12)를 식 (17)에 대입해 조금 더 정리하면 다음과 같다.

                      (18a)

                      (18b)

여기서 $\hat H_n^{(1) \prime}(x)$ = $d \hat H_n^{(1)}(x) /dx$이다. 식 (16)과 (18)을 고려하면 자유 공간 상의 전기장과 자기장은 다음 형태로 표현되어야 한다. 물론 구 좌표계 함수의 완비성(completeness of function in spherical coordinates)이 성립하기 때문에 아래 식은 임의의 전기장과 자기장을 표현할 수 있다.

                      (19)

                      (20)

여기서 $A_{nm}$과 $B_{nm}$은 각각 $r$방향에 대한 TE$_{nm}$과 TM$_{nm}$ 모드의 계수이다.

아직 구하지 않은 함수 $\bar L$의 모드 계수는 0이 되어야 한다. 이를 확인하기 위해 $\bar L$ 함수에 발산(divergence)을 취해보자.

                       (21)

즉, 생성 함수 $\psi$는 0이 아니기 때문에 $\bar L$ 함수의 발산도 0이 아니다. $\bar L$이 전기장이나 자기장을 표현한다면 전하(electric charge)나 자하(magnetic charge)가 없는 전기장과 자기장의 발산은 반드시 0이 되어야 하므로 $\bar L$은 자유 공간의 전자장 표현식에 사용되면 안된다.

원통 좌표계의 MNL 함수(MNL Functions in Circular Cylindrical Coordinates)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "원통 좌표계의 MNL 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 원통 좌표계의 전자장 표현식
2. MNL 함수를 이용한 전자장 표현식
3. 데카르트 좌표계의 MNL 함수

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데카르트 좌표계의 MNL 함수 유도와 유사하게 기계적인 방법으로 원통 좌표계의 MNL 함수를 만들 수 있다. 먼저 다음의 일반적인 MNL 함수 정의식을 고려하자.

                      (1)

                       (2)

식 (1)과 (2)에서 MNL 함수의 생성 함수(generating function) $\psi$는 아래 식을 만족한다.

                      (3)

식 (2)에 있는 안내 벡터(piloting vector) $\bar p$는 다음 관계가 성립해야 한다.

                      (4)

원통 좌표계는 데카르트 좌표계의 $z$방향을 공유하고 있으므로 안내 벡터는 $\bar p = \hat z$라 생각하자. 그러면 데카르트 좌표계와 비슷하게 식 (1)은 원통 좌표계에서 다음처럼 표현된다.

                      (5)

                      (6)

그러면 마지막으로 우리가 해야 할 일은 식 (3)의 생성 함수 $\psi$를 정하는 일이다. 이 과정 자체는 무척 번거로운 과정이지만 이미 다음처럼 원통 좌표계에서 전자장 표현식을 얻었기 때문에 어렵지 않다.

                      (7)

여기서 $Z_n(\cdot)$는 $n$차 베셀 함수 혹은 한켈 함수이다.

만약 자유 공간을 통해 전파하는 전자파를 원통 좌표계에서 표현한다면 식 (7)은 다음처럼 표현할 수 있다.

                      (8)

식 (8)을 식 (5)와 (6)에 넣고 정리하면 다음과 같다.

                      (9)

         (10)

자유 공간의 경계 조건(boundary condition)은 복사 조건(radiation condition) 밖에는 없으므로 식 (9)와 (10)은 전기장(electric field)이나 자기장(magnetic field)을 마음대로 표현할 수 있다. 따라서 임의의 전기장과 자기장은 원통 좌표계 함수의 완비성(completeness of function in circular cylindrical coordinates)을 이용해 다음과 같이 표현된다.

                      (11)

여기서 $A_n (\zeta)$, $B_n (\zeta)$는 각각 $z$방향에 대한 TE(Transverse Electric)와 TM(Transverse Magnetic) 모드(mode)의 계수이다. 식 (2)에 있는 $\bar L$ 함수는 자유 공간에서는 의미가 없다. 이를 확인하기 위해 $\bar L$ 함수에 발산(divergence)을 취해보자.

                       (12)

즉, 생성 함수 $\psi$는 0이 아니기 때문에 $\bar L$ 함수의 발산도 0이 아니다. $\bar L$이 식 (11)처럼 전기장이나 자기장을 표현한다면 전하(electric charge)나 자하(magnetic charge)가 없는 전기장과 자기장의 발산은 반드시 0이 되어야 하므로 $\bar L$은 자유 공간의 전자장 표현식에 사용되면 안된다.

[다음 읽을거리]
1. 구 좌표계의 MNL 함수