최초의 입자 가속기 사이클로트론(Cyclotron: the First Particle Accelerator)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "사이클로트론"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 구심력과 원심력
2. 로렌츠 힘
3. 전기장

[그림 1] 로렌스의 1934년 사이클로트론 특허(출처: wikipedia.org)

로렌스Ernest Lawrence(1901–1958)가 1929년로렌스 28세, 일제 식민지 시절에 발명한 [그림 1]의 사이클로트론(cyclotron)은 최초의 입자 가속기(particle accelerator)이다. 사이클로(cyclo)라는 말은 원(circle)이나 바퀴(wheel)를 의미하며 트론(tron)은 전자(電子, electron)의 축약이므로, 어원 관점에서 사이클로트론은 원 운동하는 전자를 뜻한다. 다시 말해 사이클로트론은 자기장(magnetic field)으로 구심력(centripetal force)을 만들어 하전 입자(charged particle)를 원 운동 시키면서 전기장(electric field)을 이용하여 하전 입자를 가속한다. 자기장이 구심력을 만드는 원리는 [그림 2]와 같은 로렌츠 힘(Lorentz force)이다.

[그림 2] 자기장 속에서 회전하는 전자 빔(출처: wikipedia.org)

[그림 1]을 통해 사이클로트론의 동작 원리를 이해하자. 자기장 코일(magnetic field coils: 그림 1의 3)을 이용해 D 모양 전극(D electrode: 그림 1의 1과 2)을 뚫고 나가는 방향으로 자기장을 만든다. 하전 입자에 작용하는 자기력(magnetic force)은 아래와 같다.

              (1)

그래서 [그림 1]의 좌측과 같이 원형으로 회전하는 하전 입자는 식 (1)에 의해 중심으로 향하는 구심력을 받게 된다. 즉 [그림 2]와 같이 자기장이 하전 입자를 가두어 둘 수 있다. 하지만, 구심력이 존재하는 경우는 하전 입자에 에너지(energy)를 줄 수 없기 때문에 D 모양 전극에 전압(voltage)을 걸어 전기장이 생기게 한다. [그림 1]의 우측에서 보듯 생기는 전기장은 하전 입자가 움직이는 궤적과 거의 평행이다. 우리가 걸어주는 전압만큼 하전 입자는 운동 에너지(kinetic energy)를 얻어 계속 가속되게 된다. 하전 입자를 전자(電子, electron)라 생각하고 에너지 보존 법칙을 이용해 변화되는 속도 증가 $\Delta v$를 구하면 다음과 같다.

                     (2)

여기서 $e$는 전자(electron)의 전하량(electric charge), $m_e$는 전자의 질량(mass), $V$는 D 모양 전극에 걸린 전압, $v$는 D 모양 전극에 입사하기 전의 속도이다. 그런데 D 모양 전극을 통과할 때 전자가 가속되기 위해서는 전자의 회전 주기에 따라 가해주는 전압을 주기적으로 바꾸어 주어야 한다. 즉, 전자가 원 운동하는 주파수 $f_c$를 알아야 적절하게 전자를 가속시킬 수 있다.

                     (3)

여기서 구심력과 자기력이 같다고 놓고 유도하였다. 또한 식 (3)에 있는 $f_c$가 그 유명한 사이클로트론 주파수(cyclotron frequency)이다.

[그림 3] 사이클로트론의 실제 모습(출처: wikipedia.org)

[그림 3]과 같은 실제 사이클로트론을 구동할 때는 가해주는 전압 주파수를 식 (3)에 있는 사이클로트론 주파수에 맞춘다. 그러면 하전 입자가 D 모양 전극을 돌 때 한 주기당 2번씩 가속을 받을 수 있다.

[사이클로트론의 원리]

[다음 읽을거리]
1. 고출력 밀리미터파 생성 위한 자이로트론

구심력과 원심력(Centripetal and Centrifugal Forces)

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1. 미분법의 의미
2. 뉴턴의 운동 법칙

[그림 1] 구심력의 정의(출처: wikipedia.org)

[그림 1]과 같은 운동체가 회전 운동을 하기 위해서는 반드시 구심력(求心力, centripetal force)이라는 안으로 잡아당기는 힘이 필요하다. 구심력의 크기를 구하기 위해 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system) 상에서 회전 운동을 기술해보자.

[그림 2] 2차원과 3차원 데카르트 좌표계(출처: wikipedia.org)

운동체는 [그림 1]과 같이 일정한 각주파수(angular frequency) $\omega$로 원 운동을 하므로, 특정 시간 $t$에서의 위치(displacement) $(x, y)$, 속도(velocity) $v$, 가속도(acceleration) $a$는 아래처럼 쓸 수 있다.

                       (1)

식 (1)을 이용하여 식 (2)의 뉴턴의 운동 법칙(Newton's law of motion)을 다시 쓰면 아래와 같다.

                       (2)

                       (3)

구심력 공식인 식 (3)은 뉴턴의 운동 법칙으로 보통 증명하지만, 최초 제안자는 네덜란드의 만물박사인 하위헌스Christiaan Huygens(1629–1695)이다. 하위헌스는 뉴턴 이전인 1659년하위헌스 30세, 조선 효종 시절에 기하학적 논증만으로 식 (3)을 유도했다. 식 (3)에서 얻은 구심력을 [그림 3]과 같은 위치 벡터(position vector: 원점에서 좌표점으로 가는 벡터) 관점에서 바라보자.

[그림 3] 위치 벡터의 표현(출처: wikipedia.org)

식 (3)에 의해 구심력은 위치 벡터의 반대 방향이므로[∵ 위치 벡터는 원점을 뚫고 밖으로 나가는 벡터이므로] [그림 1]과 같이 원 운동의 중심으로 향하는 힘이 된다. 구심력을 에너지(energy) 관점으로 보면, 실제적인 일(work)이 없다. 왜냐하면 구심력이 작용하는 방향과 운동체가 움직이는 방향이 항상 수직이기 때문이다.

[원심 분리기(centrifuge)의 동작 원리]

원심력(遠心力, centrifugal force)은 구심력이 있기 때문에 존재할 수 있는 가상의 힘(fictitious force)이다. 즉, [그림 1]과 같이 회전 운동하는 운동체 내부에 있는 관찰자가 느끼는 가상의 힘을 원심력이라 한다. 예를 들면 자동차가 회전할 때 승객이 느끼는 바깥으로 밀려나는 듯한 힘이 바로 원심력이다. 승객이 자동차에 완전 결합되어 있으면 원심력을 느끼지 못하겠지만, 승객과 자동차의 연결은 느슨하기 때문에 자동차는 정상적으로 구심력[혹은 바퀴의 마찰력]에 의해 회전하나 승객은 관성에 의해 바깥으로 밀려나게 된다. 왜냐하면 자동차는 구심력에 의해 중심으로 당겨지나 승객은 관성에 의해 중심의 반대 방향으로 밀려나는 듯한 느낌을 받기 때문이다.

[다음 읽을거리]
1. 최초의 입자 가속기 사이클로트론

에너지(Energy)의 개념

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "에너지의 개념"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 미분법의 의미
2. 적분법의 의미
3. 뉴턴의 운동 법칙

[일의 의미]

물리학에 사용하는 에너지(energy)는 뉴턴이 제안한 운동 법칙(Newton's law of motion)을 이용해 아래처럼 정의한다.

                       (1)

여기서 $E_{BA}$는 A 지점을 기준으로 측정한 B 지점의 에너지이며 A, B 지점의 에너지는 $U_A, U_B$로 표현한다. 식 (1)에 정의한 에너지의 단위는 J[줄, joule]이다. 식 (1)을 이용하면 에너지를 쉽게 정의할 수 있다. 힘($\bar F$)이 있는 상황에서 어떤 물체를 A 지점에서 B 지점으로 움직이기 위해[$d\bar l$] 필요한 일($E_{BA}$)이 에너지이다. 에너지를 수학적으로 표현하면 힘 $\bar F$와 위치 변화 $d \bar l$의 내적(inner product)을 선 적분(line integral)하기이다. 이 정의는 개념적으로 어렵기 때문에, 쉽게 에너지를 이해하려면 에너지와 일(work)의 특성을 구분할 필요가 있다. 힘이 작용하는 방향[식 (1)에서  $\bar F$의 방향]으로 움직이면[혹은 $\bar F$와 $d \bar l$의 방향이 동일하면] 일을 한다고 한다. 예를 들어 언덕에서 돌을 굴리면 중력(gravity)이 작용하는 방향으로 돌이 굴러가므로 일을 한다는 의미이다. 에너지라는 개념은 일이 생기는 원인을 설명하기 위해 존재한다. 그래서, $U_A, U_B$와 같은 에너지를 위치 혹은 포텐셜 에너지(potential energy)라 한다. 일을 했다는 말은 위치 에너지가 높은 곳에서 낮은 곳으로 움직였음을 의미한다. 이 개념은 직관적으로 생각해도 충분히 의미 있는 정의이다.

식 (1)에 들어있는 힘(force) $\bar F$가 운동과 관련되면 식 (1)의 에너지는 운동 에너지(kinetic energy) $E_k$와 연결된다. 식 (2)에 있는 힘의 정의로부터 에너지 관계식을 유도한다.

                       (2)

                       (3)

여기서 $d(m \bar v)$ = $dm \bar v + m d \bar v$, $d(\bar v \cdot \bar v)$ = $d \bar v \cdot \bar v + \bar v \cdot d \bar v$ = $2 \bar v \cdot d \bar v$, $dm$의 속도는 0이라 가정한다. [그림 1]처럼 미소 질량 $dm$이 속도 $\bar u$를 가지면, 식 (3)은 달라져야 한다.

[그림 1] 질량 증가의 일반적 모형화(출처: wikipedia.org) 

[그림 1]의 조건에서 운동량 변화를 고려해서 식 (3)을 다음처럼 바꾼다.

                       (4)

여기서 $d \bar p$ = $(\bar v - \bar u)dm + m d \bar v$이다. 식 (4)에 의해 에너지가 변화되기 위한 두 가지 조건을 이해할 수 있다. 바로 질량이나 속도의 변화가 있어야 한다. 위치가 바뀌더라도 질량이 변하는 경우는 드물기 때문에 질량은 상수[$dm$ = $0$]로 두고 식 (4)를 간략화한다.

                       (5)

여기서 $E_k$ = $\frac{1}{2} \bar p \cdot \bar v$라고 쓰기도 한다. 식 (5)의 좌변에 있는 에너지 관계식을 이용해 운동 에너지 $E_k$를 정의할 수 있다. 운동 에너지는 운동체가 가진 에너지이다. 식 (1)과 (5)를 연립해서 새로운 보존 법칙을 하나 만들 수 있다.

                       (6)

식 (6)에 의해 위치가 변하더라도 에너지의 총합은 동일하다. 이와 같이 에너지의 총합이 항상 보존되는 물리계의 특성은 에너지 보존 법칙(law of conservation of energy)이라 한다. 더 자세하게 식 (6)을 보면, 위치 에너지 $U$와 운동 에너지 $E_k$의 합[$E_{\rm mech}$ = $U + E_k$]인 역학적 에너지(mechanical energy) $E_{\rm mech}$가 일정해서 역학적 에너지 보존 법칙(law of conservation of mechanical energy)이라고도 한다.

에너지와 유사하면서도 실무에서 많이 사용하는 개념은 일률(일率, power) $P$이다. 일률은 일 $W$의 시간 미분이다.

                        (7)

에너지가 지금까지 쌓은 일의 총합이라면, 일률 $P$는 현재 시점에서 소비되는 에너지 혹은 행해지는 일 $W$의 비율[혹은 일의 기울기]이다. 그래서, 일률을 보면 현재 소비되는 일 $W$의 특성을 알 수 있다. 일률 정의를 식 (1)에 대입하면 다음 관계를 얻을 수 있다.

                       (8)

                        (9)

에너지는 물리적인 높이와 관계있으므로 [그림 2]와 같이 공을 이용하여 높이 재는 방법을 고려해 에너지 개념을 이해한다.

[그림 2] 공을 이용하여 높이 재기

우리가 높이[$h$ = $B - A$]를 재려면 두 지점[A와 B]을 관측해야 한다. 빨간색 화살표는 중력(重力, gravity)이 작용하는 방향과 반대 방향[벡터 $\hat a$의 반대 방향]으로 높이 재기를 보여준다. 초록색 화살표는 중력 방향[벡터 $\hat a$]으로 높이 재기이다. 중력 방향으로 움직이려면 공을 떨어뜨리면 되고 중력 반대 방향은 공을 던지면 된다. 높이 재기는 사실 위치 에너지(potential energy) 재기이므로, 힘[여기서는 중력]이 작용하는 방향을 고려하여 선 적분으로 정의한다. 먼저 빨간색 화살표부터 본다. 공을 던져서 높이 재기는 중력의 반대 방향[$-$ 부호]으로 높이 재기이다. 그러면 높이를 구하기 위한 최종 결과식은 끝점[공이 올라간 위치, $z$ = $B$] $-$ 시작점[공을 던진 위치, $z$ = $A$]이 되어야 한다. 다음으로 초록색 화살표를 고려한다. 중력 방향[$+$ 부호]으로 재기 때문에, 최종 높이는 시작점[공을 놓은 위치, $z$ = $B$] $-$ 끝점[공이 떨어진 위치, $z$ = $A$]이 된다. 더 쉽게 설명하면 공을 던질 때[작용하는 힘과 반대 방향, $-$ 부호] 높이를 어떻게 재는가? 당연히 낮은 높이[시작점]에서 높은 높이[끝점]로 가기 때문에, 끝점 $-$ 시작점으로 정의해야 한다. 공을 떨어뜨릴 때[작용하는 힘과 같은 방향, $+$ 부호]는 높은 높이[시작점]에서 낮은 높이[끝점]로 가기 때문에, 시작점 $-$ 끝점으로 정의해야 한다. 즉, 높이를 잴 때 작용하는 힘의 방향에 따라 시작점과 끝점을 어떻게 빼주어야[끝점 $-$ 시작점 혹은 시작점 $-$ 끝점] 적절한 높이가 되는지가 결정된다. 이 개념을 에너지에 적용하면 식 (10)이 된다.

                           (10)

높이와 관계된 에너지를 재려면 A에서 B로 혹은 B에서 A로 선 적분을 할 수 있다. 선 적분 경로에 따라 에너지 정의 부호는 ($+$) 혹은 ($-$)로 정확히 집어넣어야 한다. 에너지 정의에 ($-$) 부호가 있으면, 힘이 작용하는 방향과 반대 방향[그림 2의 빨간색 화살표]으로 물리적인 높이를 쟀다는 뜻이다.[혹은 A 지점에서 공을 위로 던져 높이를 재면 당연히 $B - A$로 높이를 계산해야 한다.] ($+$) 부호가 있으면, 힘의 방향과 동일한 방향[그림 2의 초록색 화살표]으로 물리적인 높이를 정의한다.[혹은 B 지점에서 공을 떨어뜨려 높이를 재면 당연히 $B - A$로 높이를 계산해야 한다.] 변위에 대한 미분소[$d \bar l$]를 포함한 에너지의 원래 정의식인 식 (1)을 힘에 대한 미분소[$d \bar F$]로 약간 비틀 수도 있다. 내적의 미분 공식을 이용하면 식 (11)처럼 표현할 수 있다.

                             (11)

식 (1)과 (11)을 고려해 변위에 대한 미분소[$d \bar l$]와 힘에 대한 미분소[$d \bar F$]의 정의를 비교하면, ($-$) 부호만큼 차이가 난다. 따라서 에너지 정의는 어떤 방식으로든 다양하게 할 수 있지만, 에너지의 기본 정의는 항상 식 (1)이라는 규칙만 기억하면 대부분의 문제를 에너지 관점으로 풀 수 있다.

우리가 파동(wave)을 고려한다면, 식 (3)은 바뀌어야 한다. 파동의 속도는 일정하기 때문에 식 (1)의 에너지 적분에서 속도를 상수로 생각할 수 있다. 예를 들어, 줄의 파동 속도와 전자파의 속도는 매질의 특성에만 관계된다. 따라서 파동의 에너지는 다음 관계가 성립해야 한다.

                           (12)

식 (5)와 (12)를 서로 비교하면, 상수 $1/2$만큼 에너지 식이 차이난다. 비례 상수가 다른 결과는 속도의 고정 유무에 달려있다. 특히 파동이 전자파인 경우는 속력 $v$가 진공 중의 광속(speed of light in vacuum)인 $c$로 고정되므로 전자파의 에너지는 $E$ = $pc$가 된다. 여기서 $p$는 전자파의 운동량이다. 다른 관점으로 특수 상대성 이론(special theory of relativity)에 따라 $v$ = $c$에서 속력 변화는 불가능[$dv$ = $0$]하기 때문에, 식 (3)에서 에너지 변화 $dE$는 오로지 질량 변화 $dm$에 기인한다. 그러면 임의 속력에 따른 에너지는 다음 관계를 만족한다.

                             (13)

여기서 $m_0$은 물체가 멈춘 때에 측정한 정지 질량(rest mass)이다. 식 (13)에 의해 운동 에너지를 0에서 $E_k$로 높이면 그만큼 질량이 증가해야 한다. 이는 질량–에너지 등가(mass–energy equivalence)의 초보적인 증명이다.