1. 맥스웰 방정식
2. 변환 전자기학
[투명 망토에 대한 CNN 방송]
변환 전자기학(transformation electromagnetics) 기법을 이용하여 초보적인 투명 망토[1], [2]를 설계해 보도록 하자. 변환 전자기학에서 유도한 좌표 변환 공식을 행렬로 표현하면 아래와 같다.
(1)
(2)
여기서 ${\bf J}_{u,x}$는 식 (3)의 야코비 행렬(Jacobian matrix), $\mathcal{J}_{u,x}$는 야코비 행렬식(Jacobian or Jacobian determinant), $(\cdot)'$는 변환된 좌표계값, $(\cdot)^T$는 전치 행렬(transpose)이다.
(3)
식 (1)과 (2)에 있는 벡터는 아래와 같이 모두 반변 벡터(contravariant vector)이다.
(4)
[그림 1] 정사각형 투명 망토
[그림 2] 정사각형 투명 망토를 위한 좌표 변환
식 (1), (2)의 좌표 변환 공식 적용이 쉬운 [그림 1]의 정사각형 투명 망토(square cloak)를 고려하자. 투명 망토가 되기 위해서는 [그림 1]처럼 변의 길이가 $s_2$인 정사각형이 좌표 변환에 의해 중앙이 비어있는 구조가 되어야 한다. 투명 망토가 쌀 수 있는 영역은 변의 길이가 $s_1$인 정사각형이며 투명 망토의 두께는 $s_2-s_1$이 된다. [그림 1]처럼 고려 영역이 사각형이기 때문에 좌표 변환의 시작점은 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system)라고 생각한다. 데카르트 좌표계 $(x_1, x_2, x_3)$에서 일반 좌표계 $(x_1', x_2', x_3')$로 가는 좌표 변환은 [그림 2]처럼 정의한다[1].
(5)
위의 식이 표현하는 좌표 변환 영역은 $0 < x_1 < s_2$, $-s_2 < x_2 < s_2$인 영역이다. [그림 2]가 [그림 1]과 같은 영역이 되기 위해서는 식 (5)의 좌표 변환을 조금 수정해서 4개의 [그림 2] 영역이 1개의 [그림 1] 영역이 되도록 해야한다. 즉, [그림 2]의 영역을 회전시키고 대칭이동시켜서 [그림 1]처럼 중앙이 빈 정사각형이 되도록 해야한다. [그림 2]의 왼쪽 주황색 영역이 오른쪽 주황색 영역이 됨을 이해하기는 쉽다. $0 < x_1 < s_2$ 영역은 $s_1 < x_1' < s_2$가 된다. 또한, $x_2'/x_1'$ = $x_2/x_1$이기 때문에 직선으로 치면 기울기가 같다. 이 말은 좌표 변환이 일어나더라도 변환 이전과 이후의 좌표점은 동일한 직선상에 있어야 하므로 [그림 2]와 같은 좌표 변환이 성립하게 된다. 식 (5)의 역변환(inverse transform)은 아래식이 된다.
(6)
식 (5)를 식 (3)에 대입하여 야코비 행렬을 구한 후 식 (6)을 이용해 변수가 일반 좌표계 $(x_1', x_2', x_3')$가 되도록 하자.
(7)
여기서 $a, b, c$는 아래처럼 정의한다.
(8)
식 (7)을 식 (1)에 대입해 일반 좌표계 $(x_1', x_2', x_3')$의 유전율(permittivity)과 투자율(permeability)의 변환값을 구하자.
(9)
(10)
[그림 2]에서 투명 망토의 두께가 매우 커진다고 가정하자. 그러면 투명 망토의 가장자리[투명 망토와 자유 공간이 닿는 부분]에서는 $s_2 \gg s_1$, $x_1 \gg s_1$이 성립한다. 이 조건을 식 (8)에 대입하면 $a \to 1$, $b \to 1$, $c \to 0$이 된다. 이를 다시 식 (9)와 (10)에 대입하면 투명 망토의 가장자리에서는 $\epsilon' \to \epsilon_0$, $\mu' \to \mu_0$이 성립한다.
변환 전자기학의 신비로운 성질은 변환된 좌표계 $(x_1', x_2', x_3')$가 원래 좌표계 $(x_1, x_2, x_3)$와 같다고 둘 때 생긴다. 즉, 매질 $\mu', \epsilon'$은 변경하지 않고 좌표계만 $(x_1', x_2', x_3')$ = $(x_1, x_2, x_3)$라 두면 투명 망토와 같이 빛이 특정 영역을 침투하지 못하고 돌아가는 특성이 생기게 된다. 이렇게 [그림 1]의 투명 망토(cloak)를 구성하는 부분의 유전율과 투자율은 식 (9), (10)과 같이 대입하고 수치 해석적으로 계산하면 [그림 3]의 결과를 얻을 수 있다. 우리가 보호하고자 하는 초록색에는 전자파가 들어가지도 않고 전자파가 반사(reflection)하지도 않음을 쉽게 볼 수 있다.
[그림 3] 정사각형 투명 망토의 동작 모습(출처: [1]의 그림 6)
왜 이런 신기한 현상이 생길까? 이 현상을 이해하려면 먼저 변환 전자기학에 대한 증명을 이해해야 한다. 변환 전자기학에 의하면 어떤 좌표 변환을 하더라도 맥스웰 방정식(Maxwell's equations)은 데카르트 좌표계와 유사한 형태가 된다. 이 부분을 거꾸로 해석하면 좌표 변환 전의 쉬운 구조에 대한 전자파 해석을 먼저 하고 변환된 좌표계는 강제적으로 데카르트 좌표계라고 생각한다.[∵ 변환된 맥스웰 방정식이 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system)와 동일한 방정식으로 표현되기 때문이다. 즉, 강제적으로 데카르트 좌표계라고 생각해도 변환된 맥스웰 방정식에는 문제가 생기지 않는다.] 좌표 변환 전에 해석된 전자파를 식 (1)에 의해 변환하면 데카르트 좌표계에서 만족되는 새로운 전자파 특성을 밝혀낼 수 있다. 좀더 쉽게 설명하면 변환 전자기학의 기본 관계인 식 (1)에 의해 변환 전의 전자기장 $\bar E, \bar H$와 변환 후의 전자기장 $\bar E', \bar H'$는 독립이 아니라 서로 종속 관계이다. 즉, 한 쪽이 계산되면 다른 쪽은 자동적으로 계산된다. 이 상태에서 $(x_1', x_2', x_3')$ = $(x_1, x_2, x_3)$라 두면 서로 다른 좌표계를 고려할 필요 없이 동일한 좌표계에서 전자기파의 산란(散亂, scattering)을 생각할 수 있다. 물론 좌표 변환을 적용하려면 매질을 $\mu', \epsilon'$으로 바꾸어야 한다. 이런 관점으로 [그림 1]을 설명해보자. 좌표 변환되기 전의 구조인 [그림 1]의 왼쪽을 자유 공간(free space)로 간주했기 때문에 이 자유 공간에서 전자파는 반사없이 진행한다. 이 전자파를 식 (1)의 좌표 변환식에 의해 [그림 1]처럼 변환했다. 즉, 전자파는 투명 망토의 속[그림 1의 오른쪽에서 변의 길이가 $s_1$인 정사각형]으로 절대 들어갈 수 없다. 동시에 반사가 없는 자유 공간 전자파를 식 (1)에 의해 좌표 변환했기 때문에 [그림 1]의 오른쪽 구조도 반사가 없이 전자파가 진행한다.
이 모든 특성을 확실히 보여주는 모습이 [그림 3]에 있다. 전자파는 반사없이 진행하면서 초록색 영역 속으로는 전자파가 들어가지 못한다. 외부에서 보면 초록색 속의 물체는 없다고 간주할 수 있다. 따라서, 투명 망토를 만드는 일반적인 방법론은 아래와 같다[2].
- 특정 영역에 전자파가 들어갈 수 없는 좌표 변환을 정의한다.
- 변환 전자기학 기법을 이용하여 야코비 행렬을 정의하고 변환된 좌표계상의 유전율과 투자율을 계산한다.
- 좌표 변환 전의 좌표계와 후의 좌표계가 동일하다고 가정한다.
- 계산된 유전율과 투자율을 이용하여 투명 망토 구조를 그리고 수치 계산하여 결과를 확인한다.
위의 방법론을 이용하여 정사각형 투명 망토를 만든 방식을 설명하면 아래와 같다.
- [그림 1]을 바탕으로 식 (5)의 좌표 변환을 정의한다.
- 식 (5)를 바탕으로 야코비 행렬인 식 (7)을 변환된 좌표계 $(x_1', x_2', x_3')$ 관점에서 정의한다. 식 (7)을 이용하여 식 (9)와 (10)처럼 변환된 유전율과 투자율을 계산한다.
- $(x_1', x_2', x_3')$ = $(x_1, x_2, x_3)$라 둔다. 그러면 변환된 좌표계도 데카르트 좌표계로 표현할 수 있다.
- 데카르트 좌표계에 대한 변환된 유전율과 투자율을 대입하여 정사각형 투명 망토의 산란특성을 계산한다.
[참고문헌]
[1] M. Rahm, D. Schurig, D. A. Roberts, S. A. Cummer, D. R. Smith, J. B. Pendry, "Design of electromagnetic cloaks and concentrators using form-invariant coordinate transformations of Maxwell's equations," Photon. Nanostruct.: Fundam. Applic., vol. 6, pp. 87–95, 2008.
[2] D.-H. Kwon and D. H. Werner, "Transformation electromagnetics: An overview of the theory and applications," IEEE Antennas Propagat. Magazine, vol. 52, no. 1, pp. 24–46, Feb. 2010.
[다음 읽을거리]
1. 원통형 투명 망토의 설계
(1: 패러데이의 법칙)
(2: 암페어의 법칙)
(3: 쿨롱의 법칙)
(4: 비오–사바르 법칙)
(5: 공변 벡터)
(6: 반변 벡터)
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