원통형 투명 망토(Circular Cylindrical Invisibility Cloak)의 설계

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "원통형 투명 망토의 설계"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 맥스웰 방정식
2. 변환 전자기학
3. 투명 망토의 원리

[투명 망토에 대한 NBC 방송]

투명 망토(invisibility cloak)의 원리를 이용하면 매우 다양한 형태의 투명 망토를 설계할 수 있다. 정사각형 투명 망토(square cloak)에서 제안한 설계법을 이용하여 원통형 투명 망토(circular cylindrical cloak)[1]도 설계해보자. 투명 망토를 만드는 일반적인 방법론은 아래와 같다[1].

• 특정 영역에 전자파가 들어갈 수 없는 좌표 변환을 정의한다.
• 변환 전자기학 기법을 이용하여 야코비 행렬을 정의하고 변환된 좌표계상의 유전율과 투자율을 계산한다.
• 좌표 변환 전의 좌표계와 후의 좌표계가 동일하다고 가정한다.
• 계산된 유전율과 투자율을 이용하여 투명 망토 구조를 그리고 수치계산하여 결과를 확인한다.

위 방법론에 따라 먼저 원통형 투명 망토를 위한 [그림 1]과 같은 좌표 변환을 정의해야 한다.

[그림 1] 원통형 투명 망토

식 (1)과 같은 좌표 변환을 정의하면 $\rho < \rho_2$인 영역을 $\rho_1 < \rho' < \rho_2$인 영역이 되도록 할 수 있다. $\rho' < \rho_1$인 영역은 아래 좌표 변환으로 도달할 수 없는 영역이기 때문에 $\rho' < \rho_1$은 투명 망토가 쌀 수 있는 최대 영역이 된다. 원통 좌표계(circular cylindrical coordinate system)를 이용하여 [그림 1]의 좌표 변환을 정의하면 다음과 같다.

                       (1)

식 (1)에 대한 야코비 행렬(Jacobian matrix)은 식 (3)과 같다.

                         (2)

                         (3)

식 (3)을 아래에 있는 변환 전자기학(transformation electromagnetics)에서 유도한 좌표 변환 공식에 대입하면 원하는 유전율(permittivity)과 투자율(permeability) 정보를 얻을 수 있다.

                       (4)

                       (5)

여기서 ${\bf J}_{u,x}$는 야코비 행렬(Jacobian matrix), $\mathcal{J}_{u,x}$는 야코비 행렬식(Jacobian or Jacobian determinant), $(\cdot­)'$는 변환된 좌표계값, $(\cdot­)^T$는 전치 행렬(transpose)이다. 식 (4)과 (5)에 있는 벡터는 아래와 같이 모두 반변 벡터(contravariant vector)이다.

                       (6)

그런데, 원통 좌표계에 대한 벡터를 정의할 때는 반변 벡터를 쓰지 않고 보통 원통 좌표계의 단위 벡터(unit vector)를 사용한다. 그래서, 계량 텐서(metric tensor)와 관련된 척도 인자(尺度因子, scale factor)를 계산해서 반변 벡터를 원통 좌표계 단위 벡터로 바꾸어야 한다. 직교 좌표계(orthogonal coordinate system)에서 반변 벡터와 단위 벡터 표현식은 아래로 정의할 수 있다.

                       (7)

                         (8)

                       (9)

텐서 미적분학(tensor calculus)을 이용해 원통 좌표계에 대한 척도 인자를 계산하면 아래와 같다.

                         (10)

                         (11)

식 (11)을 식 (9)에 대입해서 정리하면 전기장에 대한 반변 벡터와 단위 벡터 관계식을 얻는다.

                         (12)

새로운 야코비 행렬 정의를 위해 식 (12)를 행렬로 표현하면 다음과 같다.

                         (13)

식 (3)과 (13)을 식 (4)에 대입하면 단위 벡터로 정의한 전자기장의 좌표 변환 관계식을 얻을 수 있다.

                         (14)

식 (14)에서 새롭게 정의한 야코비 행렬을 식 (4)에 대입해서 유전율과 투자율의 변환 특성을 구하자.

                         (15)

                         (16)

식 (15)와 (16)의 유전율과 투자율을 [그림 1]의 오른쪽 구조에 대입해 수치 해석으로 계산하면 아래 동영상과 유사한 결과를 얻을 수 있다.

[원통형 투명 망토의 동작 모습]

수치 해석을 할 때 다소 곤란한 점은 식 (15)와 (16)의 유전율과 투자율이 원통 좌표계에서 정의되어 데카르트 좌표계에서만 매질의 비등방(非等方, anisotropy) 특성을 지원하는 수치 해석 소프트웨어로는 계산하기가 어렵다. 이때는 원통 좌표계를 데카르트 좌표계로 바꾸어주는 좌표 변환을 사용하면 된다.

                       (17)

예를 들어 식 (17)을 이용해 식 (15)에 있는 유전율을 아래로 바꾸어 계산할 수 있다.

                       (18)

여기서 $c$는 원통 좌표계, $r$은 데카르트 좌표계를 의미한다. 식 (14)의 유도는 엄밀성 차원에서 다소 문제가 있다. 공변 벡터를 단위 벡터로 바꾸었을 때도 맥스웰 방정식은 여전히 데카르트 좌표계와 유사한 형태가 될까? 이 고민을 해결하려면 정사각형 투명 망토(square cloak) 설계와 유사하게 데카르트 좌표계 $X$에서 데카르트 좌표계 $X'$로 가는 좌표 변환을 고려해야 한다. 변환 전자기학에 의해 맥스웰 방정식은 임의의 좌표계를 데카르트 좌표계와 유사한 형태로 표현할 수 있기 때문에 식 (1)의 좌표 변환을 원통 좌표계 관점으로 쓰면 아래와 같다.

                       (19)

식 (2)를 이용해 ${\bf J}_{\rho,x}$를 계산해보자.

                       (20)

식 (4)와 (17)에 의하면 데카르트 좌표계에서 원통 좌표계로 가는 좌표 변환은 전기장을 아래와 같이 변환한다.

                       (21)

야코비 행렬을 분해해 보면, 반변 벡터를 단위 벡터로 바꾸는 식 (13)을 이용한 결과와 식 (21)은 동일함을 알 수 있다. 즉, 직교 좌표계인 경우 복잡한 야코비 행렬을 쓰지 않고 반변 벡터와 단위 벡터 관계식을 이용해도 투명 망토 설계를 위한 동일한 결과식에 도달할 수 있다.

[참고문헌]

[1] D.-H. Kwon and D. H. Werner, "Transformation electromagnetics: an overview of the theory and applications," IEEE Antennas Propagat. Magazine, vol. 52, no. 1, pp. 24–46, Feb. 2010.

[2] T. J. Cui, D. Smith, and R. Liu (Eds.), Metamaterials: Theory, Design, and Applications, Springer, 2010.

[3] Y. Hao and R. Mittra, FDTD Modeling of Metamaterials: Theory and Applications, Artech House, 2008.