2011년 7월 22일 금요일

원통형 투명망토(circular cylindrical cloak)의 설계

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "원통형 투명망토의 설계"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 맥스웰 방정식
2. 변환 전자기학
3. 투명망토의 원리


[투명망토에 대한 NBC 방송]

투명망토(invisibility cloak)의 원리를 이용하면 매우 다양한 형태의 투명망토를 설계할 수 있다. 정사각형 투명망토(square cloak)에서 제안한 설계법을 이용하여 원통형 투명망토(circular cylindrical cloak)[1]도 설계해보자. 투명망토를 만드는 일반적인 방법론은 아래와 같다[1].
  • 특정영역에 전자파가 들어갈 수 없는 좌표변환을 정의한다.
  • 변환 전자기학 기법을 이용하여 야코비 행렬을 정의하고 변환된 좌표계상의 유전율과 투자율을 계산한다.
  • 좌표변환 전의 좌표계와 후의 좌표계가 동일하다고 가정한다.
  • 계산된 유전율과 투자율을 이용하여 투망망토 구조를 그리고 수치계산하여 결과를 확인한다.
위 방법론에 따라 먼저 원통형 투명망토를 위한 [그림 1]과 같은 좌표변환을 정의해야한다.

[그림 1] 원통형 투명망토

식 (1)과 같은 좌표변환을 정의하면 ρ < ρ2인 영역을 ρ1 < ρ' < ρ2인 영역이 되도록 할 수 있다. ρ' < ρ1인 영역은 아래 좌표변환으로 도달할 수 없는 영역이기 때문에 ρ' < ρ1은 투명망토가 쌀 수 있는 최대영역이 된다. 원통좌표계(circular cylindrical coordinate system)를 이용하여 [그림 1]의 좌표변환을 정의하면 다음과 같다.

                       (1)

식 (1)에 대한 야코비 행렬(Jacobian matrix)은 식 (3)과 같다.

                         (2)

                         (3)

식 (3)을 아래에 있는 변환 전자기학(transformation electromagnetics)에서 유도한 좌표변환공식에 대입하면 원하는 유전율(permittivity)과 투자율(permeability) 정보를 얻을 수 있다.

                       (4)

                       (5)

여기서 J_(u,x)야코비 행렬(Jacobian matrix), J_(u,x)는 야코비 행렬식(Jacobian or Jacobian determinant), (·­)'는 변환된 좌표계값, (·­)^T는 전치행렬(transpose)이다. 식 (4)과 (5)에 있는 벡터는 아래와 같이 모두 반변 벡터(contravariant vector)이다.

                       (6)

그런데, 원통좌표계에 대한 벡터를 정의할 때 반변 벡터를 쓰는 것이 아니고 보통 원통좌표계의 단위벡터(unit vector)를 사용한다. 그래서, 계량텐서(metric tensor)와 관련된 척도인자(尺度因子, scale factor)를 계산해서 반변 벡터를 원통좌표계 단위벡터로 바꾸어야 한다.
직교좌표계(orthogonal coordinate system)에서 반변벡터와 단위벡터 표현식은 아래로 정의할 수 있다.

                       (7)

                         (8)

                       (9)

텐서 미적분학(tensor calculus)을 이용해 원통좌표계에 대한 척도인자를 계산하면 아래와 같다.

                         (10)

                         (11)

식 (11)을 식 (9)에 대입해서 정리하면 전기장에 대한 반변벡터-단위벡터 관계식을 얻는다.

                         (12)

새로운 야코비 행렬 정의를 위해 식 (12)를 행렬로 표현하면 다음과 같다.

                         (13)

식 (3)과 (13)을 식 (4)에 대입하면 단위벡터로 정의한 전자기장의 좌표변환 관계식을 얻을 수 있다.

                         (14)

식 (14)에서 새롭게 정의한 야코비 행렬을 식 (4)에 대입해서 유전율과 투자율의 변환특성을 구하자.

                         (15)

                         (16)

식 (15)와 (16)의 유전율과 투자율을 [그림 1]의 오른쪽 구조에 대입해 수치해석으로 계산하면 아래 동영상과 유사한 결과를 얻을 수 있다.

[원통형 투명망토의 동작모습]

수치해석을 할 때 다소 곤란한 점은 식 (15)와 (16)의 유전율과 투자율이 원통좌표계에서 정의되어 데카르트 좌표계에서만 매질의 비등방(非等方, anisotropy) 특성을 지원하는 수치해석 소프트웨어로는 계산하기가 어렵다. 이때는 원통좌표계를 데카르트 좌표계로 바꾸어주는 좌표변환을 사용하면 된다.

                       (17)

예를 들어 식 (17)을 이용해 식 (15)에 있는 유전율을 아래로 바꾸어 계산할 수 있다.

                       (18)

여기서 c는 원통좌표계, r은 데카르트 좌표계를 의미한다.

식 (14)의 유도는 엄밀성 차원에서 다소 문제가 있다. 공변벡터를 단위벡터로 바꾸었을 때도 맥스웰 방정식은 여전히 데카르트 좌표계와 유사한 형태가 될 것인가? 이 고민을 해결하려면 정사각형 투명망토(square cloak) 설계와 유사하게 데카르트 좌표계 X에서 데카르트 좌표계 X'로 가는 좌표변환을 고려해야 한다. 변환 전자기학에 의해 맥스웰 방정식은 임의의 좌표계를 데카르트 좌표계와 유사한 형태로 표현할 수 있기 때문에 식 (1)의 좌표변환을 원통좌표계 관점으로 쓰면 아래와 같다.

                       (19)

식 (2)를 이용해 J_(ρ,x)를 계산해보자.

                       (20)

식 (4)와 (17)에 의하면 데카르트 좌표계에서 원통좌표계로 가는 좌표변환은 전기장을 아래와 같이 변환한다.

                       (21)

식 (21)이 의미하는 바는 야코비 행렬을 분해해 보면 반변벡터를 단위벡터로 바꾸는 식 (13)을 이용한 것과 동일한 결과를 준다는 것이다. 즉, 직교좌표계인 경우 복잡한 야코비 행렬을 쓰지 않고 반변벡터-단위벡터 관계식을 이용하더라도 투명망토 설계를 위한 동일한 결론에 도달할 수 있다.

[참고문헌]
[1] D.-H. Kwon and D. H. Werner, "Transformation electromagnetics: An overview of the theory and applications," IEEE Antennas Propagat. Magazine, vol. 52, no. 1, pp. 24-46, Feb. 2010.
[2] T. J. Cui, D. Smith, and R. Liu (Eds.), Metamaterials: Theory, Design, and Applications, Springer, 2010.
[3] Y. Hao and R. Mittra, FDTD Modeling of Metamaterials: Theory and Applications, Artech House, 2008.



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댓글 3개 :

  1. Transformation Optics를 공부하고 싶은 안테나 전공 학생입니다.
    개인적으로 Transformation Optics 수치해석을 이용해 Lense설계를 해보고 싶은데요.
    reference book이나 seed paper 혹은 시뮬레이션 툴을 추천해주실 수 있으신지요?
    일반적으로 위와 같은 수치해석에는 Matlab을 이용하게 되나요?

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    답글
    1. 1. 논문을 봐도 되지만 책을 본다면 참고문헌 [2], [3]도 괜찮아요.

      2. 매트랩(MATLAB)을 써도 되지만 아마 FDTD 개발을 직접 해야 할 것입니다. 메타물질(metamaterial)을 위한 FDTD 계산의 안정성은 논란이 있는 부분이므로 관련 논문 잘 참고하세요.

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    2. 답변 감사합니다.

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