2011년 7월 20일 수요일

투명망토(invisibility cloak)의 원리

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "투명망토의 원리"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 맥스웰 방정식
2. 변환 전자기학


[투명망토에 대한 CNN 방송]

변환 전자기학(transformation electromagnetics) 기법을 이용하여 초보적인 투명망토[1], [2]를 설계해 보도록 하자. 변환 전자기학에서 유도한 좌표변환공식을 행렬로 표현하면 아래와 같다.

                       (1)

                       (2)

여기서 J_(u,x)는 식 (3)의 야코비 행렬(Jacobian matrix), J_(u,x)는 야코비 행렬식(Jacobian or Jacobian determinant), (·­)'는 변환된 좌표계값, (·­)^T는 전치행렬(transpose)이다.

                         (3)

식 (1)과 (2)에 있는 벡터는 아래와 같이 모두 반변 벡터(contravariant vector)이다.

                       (4)

[그림 1] 정사각형 투명망토

[그림 2] 정사각형 투명망토를 위한 좌표변환

식 (1), (2)의 좌표변환 공식 적용이 쉬운 [그림 1]의 정사각형 투명망토(square cloak)를 고려하자. 투명망토가 되기 위해서는 [그림 1]처럼 변의 길이가 s2인 정사각형이 좌표변환에 의해 중앙이 비어있는 구조가 되어야 한다. 투명망토가 쌀 수 있는 영역은 변의 길이가 s1인 정사각형이며 투명망토의 두께는 s2-s1이 된다.
[그림 1]처럼 고려영역이 사각형이기 때문에 좌표변환의 시작점은 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system)라고 생각한다. 데카르트 좌표계 (x1, x2, x3)에서 일반좌표계 (x1', x2', x3')로 가는 좌표변환은 [그림 2]처럼 정의한다[1].

                       (5)

위의 식이 표현하는 좌표변환 영역은 0 < x1 < s2, -s2 < x2 < s2인 영역이다. [그림 2]가 [그림 1]과 같은 영역이 되기 위해서는 식 (5)의 좌표변환을 조금 수정해서 4개의 [그림 2] 영역이 1개의 [그림 1] 영역이 되도록 해야한다. 즉, [그림 2]의 영역을 회전시키고 대칭이동시켜서 [그림 1]처럼 중앙이 빈 정사각형이 되도록 해야한다.
[그림 2]의 왼쪽 오렌지영역이 오른쪽 오렌지영역이 되는 것을 이해하는 것은 쉽다. 0 < x1 < s2 영역은 s1 < x1' < s2가 된다. 또한, x2'/x1' = x2/x1이기 때문에 직선으로 치면 기울기가 같은 것이다. 이 말은 좌표변환이 일어나더라도 변환 이전과 이후의 좌표점들은 동일한 직선상에 있어야 하므로 [그림 2]와 같은 좌표변환이 성립하게 된다.
식 (5)의 역변환(inverse transform)은 아래식이 된다.

                       (6)

식 (5)를 식 (3)에 대입하여 야코비 행렬을 구한 후 식 (6)을 이용해 변수가 일반좌표계 (x1', x2', x3')가 되도록 하자.

                       (7)

여기서 a, b, c는 아래로 정의한다.

                       (8)

식 (7)을 식 (1)에 대입해 일반좌표계 (x1', x2', x3')의 유전율(permittivity)과 투자율(permeability)의 변환값을 구하자.

                         (9)

                         (10)

[그림 2]에서 투명망토의 두께가 매우 커진다고 가정하자. 그러면 투명망토의 가장자리(투명망토와 자유공간이 닿는 부분)에서는 s2 ≫ s1, x1 ≫ s1이 성립한다. 이 조건을 식 (8)에 대입하면 a → 1, b → 1, c → 0이 된다. 이를 다시 식 (9)와 (10)에 대입하면 투명망토의 가장자리에서는 ε' → ε0, μ' → μ0이 성립한다.

변환 전자기학의 신비로운 성질은 변환된 좌표계 (x1', x2', x3')가 원래 좌표계 (x1, x2, x3)와 같다고 둘 때 생긴다. 즉, 매질 μ', ε'은 변경하지 않고 좌표계만 (x1', x2', x3') = (x1, x2, x3)라 두면 투망망토와 같이 빛이 특정영역을 침투하지 못하고 돌아가는 특성이 생기게 된다. 이렇게 [그림 1]의 투명망토(cloak)를 구성하는 부분의 유전율과 투자율은 식 (9), (10)과 같이 대입하고 수치해석적으로 계산하면 [그림 3]의 결과를 얻을 수 있다. 우리가 보호하고자 하는 초록색에는 전자파가 들어가지도 않고 전자파가 반사(reflection)하지도 않는다는 것을 쉽게 볼 수 있다.

[그림 3] 정사각형 투명망토의 동작모습(출처: [1]의 그림 6)

왜 이런 신기한 현상이 생기는 것일까? 이걸 이해하려면 먼저 변환 전자기학에 대한 증명을 이해해야 한다.
변환 전자기학에 의하면 어떤 좌표변환을 하더라도 맥스웰 방정식(Maxwell's equations)은 데카르트 좌표계와 유사한 형태가 된다. 이걸 거꾸로 해석하면 좌표변환 전의 쉬운 구조에 대한 전자파 해석을 먼저 하고 변환된 좌표계는 강제적으로 데카르트 좌표계라고 생각한다. (∵ 변환된 맥스웰 방정식이 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system)와 동일한 방정식으로 표현되기 때문이다. 즉, 강제적으로 데카르트 좌표계라고 생각해도 변환된 맥스웰 방정식에는 문제가 생기지 않는다.) 좌표변환 전에 해석된 전자파를 식 (1)에 의해 변환하면 데카르트 좌표계에서 만족되는 새로운 전자파 특성을 밝혀낼 수 있다.
좀더 쉽게 설명하면 변환 전자기학의 기본관계인 식 (1)에 의해 변환 전의 전자기장 E, H와 변환 후의 전자기장 E', H'는 독립이 아니라 서로 종속관계이다. 즉, 한쪽이 계산되면 다른쪽은 자동적으로 계산된다. 이 상태에서 (x1', x2', x3') = (x1, x2, x3)라 두면 서로 다른 좌표계를 고려할 필요없이 동일한 좌표계에서 전자기파의 산란(散亂, scattering)을 생각할 수 있다. 물론 좌표변환을 적용하려면 매질을 μ', ε'로 바꾸어야 한다.
이런 관점으로 [그림 1]을 설명해보자. 좌표변환되기 전의 구조인 [그림 1]의 왼쪽을 자유공간(free space)로 간주했기 때문에 이 자유공간에서 전자파는 반사없이 진행한다. 이 전자파를 식 (1)의 좌표변환식에 의해 [그림 1]처럼 변환했다. 즉, 전자파는 투명망토의 속([그림 1]의 오른쪽에서 변의 길이가 s1인 정사각형)으로 절대 들어갈 수 없다. 동시에 반사가 없는 자유공간 전자파를 식 (1)에 의해 좌표변환했기 때문에 [그림 1]의 오른쪽 구조도 반사가 없이 전자파가 진행한다.
이 모든 특성을 확실히 보여주는 것이 [그림 3]이다. 전자파는 반사없이 진행하면서 초록색 영역 속으로는 전자파가 들어가지 못한다. 외부에서 보면 초록색 속의 물체는 없는 것으로 간주할 수 있다.
따라서, 투명망토를 만드는 일반적인 방법론은 아래와 같다[2].
  • 특정영역에 전자파가 들어갈 수 없는 좌표변환을 정의한다.
  • 변환 전자기학 기법을 이용하여 야코비 행렬을 정의하고 변환된 좌표계상의 유전율과 투자율을 계산한다.
  • 좌표변환 전의 좌표계와 후의 좌표계가 동일하다고 가정한다.
  • 계산된 유전율과 투자율을 이용하여 투망망토 구조를 그리고 수치계산하여 결과를 확인한다.
위의 방법론을 이용하여 정사각형 투명망토를 만든 방식을 설명하면 아래와 같다.
  • [그림 1]을 바탕으로 식 (5)의 좌표변환을 정의한다.
  • 식 (5)를 바탕으로 야코비 행렬인 식 (7)을 변환된 좌표계 (x1', x2', x3') 관점에서 정의한다. 식 (7)을 이용하여 식 (9)와 (10)처럼 변환된 유전율과 투자율을 계산한다. 
  • (x1', x2', x3') = (x1, x2, x3)라 둔다. 그러면 변환된 좌표계도 데카르트 좌표계로 표현할 수 있다.
  • 데카르트 좌표계에 대한 변환된 유전율과 투자율을 대입하여 정사각형 투명망토의 산란특성을 계산한다. 


[참고문헌]
[1] M. Rahm, D. Schurig, D. A. Roberts, S. A. Cummer, D. R. Smith, J. B. Pendry, "Design of electromagnetic cloaks and concentrators using form-invariant coordinate transformations of Maxwell's equations," Photon. Nanostruct.: Fundam. Applic., vol. 6, pp. 87-95, 2008.
[2] D.-H. Kwon and D. H. Werner, "Transformation electromagnetics: An overview of the theory and applications," IEEE Antennas Propagat. Magazine, vol. 52, no. 1, pp. 24-46, Feb. 2010.

[다음 읽을거리]
1. 원통형 투명망토의 설계
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댓글 8개 :

  1. 확실한가요? 국가 비밀인데 이렇게 쉽게 공식을 알려줄리가 없잖아요.

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  2. ^^ 국가기밀이기는 하겠지요. 하지만 이론이 아니고 제작방법이 극비입니다.
    투명망토 이론의 출발점은 약 100년전에 활동한 아인슈타인입니다. 참고문헌 [1]을 쓴 영국의 펜드리 교수도 좌표계 불변성이라는 아인슈타인의 생각을 좀더 다듬었을 뿐입니다. 이론의 역사는 오래되어 이론의 난해함은 많이 해명되었습니다.
    하지만, 제작은 또 다른 문제입니다. 투명망토를 만들기 위해서는 임의의 유전율과 투자율을 만들어야 하는데 이게 쉽지가 않습니다. 이 부분은 스텔스 기술과도 밀접하게 연관되어 있습니다. 2009년에 10년 동안 국방과학연구소(ADD)에서 스텔스 물질을 개발한 것을 공개했지만 여기까지이고 물성이나 측정결과는 전혀 공개하지 않습니다. 다른 나라도 마찬가지고요.

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  3. 잘모르겠다 역쉬 초등학생한텐 어렵낭 그래도 수학 과학은 좀해서 한번만들어 졸까 생각도 했었는데

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    1. 너무 실망 마세요. 초등학생이 이 이론을 이해하면 IQ 300 정도 되는겁니다.
      그리고 아직까지 제대로된 투명망토를 만든 사람은 없기 때문에 더 공부해서 도전해 보세요. 현재 연구되는 주제는 투명망토가 되는 주파수를 빛의 영역으로 올리는 것과 투명망토가 되는 주파수 대역폭을 확대하는 것입니다. 이게 되면 '자연(Nature)'이나 '과학(Science)' 논문지에 투고해 유명해질 수 있습니다.

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  4. 중1한텐 아직 어렵낭..그래도 영재원 다니는 학생인데

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    1. 익명님, 위 내용을 이해하려면 많은 준비가 필요합니다. 계속 열공. ^^

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  5. 헐... 저도 발명 영재원 다니는 중1이거든요...학교 전교3등인데... 저 공식보고 뇌 과부하걸려서 저세상 갈뻔했어요...변환 전자기학인가? 엄청 어렵네요 무슨말인지 모르겠다...저런거 발명한 사람, 천재 아니예요?

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    1. 익숙하지 않아 어려워 보일 뿐입니다. 계속 공부하면 쉽게 이해될거에요, 익명님. ^^
      펜드리 교수도 대단한 연구자이긴 하죠. "자연"과 "과학" 잡지에 많은 논문을 내고 있으니까요.

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