쌍곡선 함수(Hyperbolic Function)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "쌍곡선 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 삼각 함수
2. 타원의 방정식
3. 쌍곡선의 방정식
4. 복소수

[그림 1] 쌍곡선의 형태(출처: wikipedia.org)

타원(楕圓, ellipse) 표현에 성공적으로 사용한 매개변수인 삼각 함수(三角函數, trigonometric function)를 다시 보자.

                  (1)

                  (2)

잘 알려진 삼각 함수의 성질인 $\cos^2 \phi + \sin^2 \phi = 1$을 이용해서 타원의 자취를 식 (2)처럼 손쉽게 기술할 수 있다. 하지만 [그림 1]에 제시한 쌍곡선(雙曲線, hyperbola)에도 비슷한 논리를 적용할 수 있을까? 식 (2)에 있는 쌍곡선의 방정식은 식 (1)과 비슷하면서도 다르다.

                  (3)

삼각 함수의 항등식인 $\sec^2 \phi - \tan^2 \phi$ = $1$을 이용해서 $x$ = $a \sec \phi$, $y$ = $b \tan \phi$로 좌표점 $(x, y)$를 구성할 수 있다. 하지만 $\phi$ = $\pi/2$에 다가갈수록 $(x, y)$가 발산하는 귀찮은 문제가 생긴다. 그래서 식 (3)을 만족하면서도 $(x, y)$는 유한하도록, 식 (2)와 비슷하게 $(x, y)$의 자취를 다음처럼 공식화한다.

                  (4)

분명히 식 (4)는 식 (3)을 만족하지만 중대한 문제가 있다. 좌표점 중에서 $y$값이 복소수이므로, 2차원 평면에 표시할 수 없다. 또한 $\phi$가 아무리 변하더라도 $x, y$가 매우 커지거나 작아질 수 없다. 타원의 매개변수인 식 (2)의 접근법을 유지하면서도 식 (3)을 만족하는 매개변수를 어떻게 하면 찾을 수 있을까? 우리의 고민을 해결하기 위해 오일러의 공식(Euler's formula)을 사용하자.

                         (5)

식 (5)에 따라 코사인(cosine)과 사인(sine) 함수를 다음처럼 계산할 수 있다.

                         (6)

식 (4)와 (6)을 대비해서 보면, 우리가 찾은 매개변수인 식 (4)의 문제점을 쉽게 해결 할 수 있다. 바로 각도를 표현하는 $\phi$에 다음처럼 복소수를 대입하면 된다.

                         (7)

식 (7)을 구성하는 함수는 지수 함수(exponential function)이므로, 값이 무한정 커지거나 작아질 수 있다. 사인 함수의 경우는 표현식 앞에 순허수 $i$도 출현했다. 따라서 식 (7)에 $a, b$를 곱하여 식 (3)에 대입하면 잘 성립하므로, 식 (7)은 우리가 찾던 새로운 쌍곡선 매개변수의 기초 함수가 된다.

[그림 2] 쌍곡선 함수의 특성(출처: wikipedia.org)

유용한 식 (7)을 이용해 쌍곡 코사인(hyperbolic cosine) 및 쌍곡 사인(hyperbolic sine) 함수를 정의할 수 있다.

                          (8)

식 (8)을 이용하면 쌍곡선 자취의 매개변수를 다음처럼 세련되게 표현할 수 있다.

                  (9)

삼각 함수와 비슷하게 정의한 식 (8)과 같은 함수는 쌍곡선 함수(hyperbolic function)라 한다. 1760년대람베르트 30세 무렵, 조선 영조 시절 무렵에 람베르트Johann Heinrich Lambert(1728–1777)와 리카티Vincenzo Riccati(1707–1775)가 쌍곡선 함수를 독립적으로 제안했다. 쌍곡선 함수와 삼각 함수의 관계는 다음과 같다.

                          (10)

식 (8)의 함수를 나누면 쌍곡 탄젠트(hyperbolic tangent) 함수도 얻는다.

                          (11)

쌍곡 코탄젠트(hyperbolic cotangent) 함수는 $\coth x$ = $1/\tanh x$로 정의한다. 코탄젠트 함수와는 $\coth x$ = $i \cot (ix)$ 관계를 가진다. 비슷하게 쌍곡 시컨트(hyperbolic secant)와 쌍곡 코시컨트(hyperbolic cosecant) 함수는 각각 $\operatorname{sech} x$ = $1/\cosh x$, $\operatorname{csch} x$ = $1/\sinh x$로 만든다.

쌍곡선 함수의 여러 공식은 새롭게 유도될 필요가 없다. 우리가 흔히 쓰는 삼각 함수 공식에 식 (10)의 관계를 대입하여 편리하게 쌍곡선 함수 공식을 생성할 수 있다.

                         (12)

   1. 기본(basics)   

[쌍곡선 함수의 합차 공식]

                         (1.1)

                         (1.2)

[증명]
삼각 함수의 합차 공식(angle sum and difference identity)에 식 (10)의 관계를 대입하여 증명한다.
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[기본 항등식]

                         (1.3)

                         (1.4)

여기서 $\operatorname{csch} x$ = $1/\sinh x$, $\operatorname{sech} x$ = $1/\cosh x$이다.

[증명]
삼각 함수의 기본 항등식에 식 (10)의 관계를 대입하여 증명한다.
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   2. 함수 표현식(function representation)   

[역쌍곡 함수(inverse hyperbolic function)]

                         (2.1)

[증명]

식 (8)에서 $x, y$를 바꾸고 2차 방정식에 대한 근의 공식을 써서 식 (2.1)을 만들어낸다. 예를 들어, $\sinh^{-1} x$의 결과는 다음처럼 유도한다.

                         (2.2)

함수값 $\sinh 0$ = $0$을 만족해야 하므로, 식 (2.2)에서 ($+$) 부호를 택한다.

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식 (2.1)의 $x$를 $1/x$로 바꾸어서 쌍곡선 함수의 역수에 대한 역함수도 도출한다.

                         (2.3)

여기서 식 (2.1)을 이용해 식 (2.2)의 정의역도 바꾼다.

   3. 급수 표현식(series representation)   

[기본 함수]

                         (3.1)

[증명]
삼각 함수의 테일러 급수와 식 (10)을 이용하여 증명할 수 있다.
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[베르누이 수]

                         (3.2)

                         (3.3)

                         (3.4)

여기서 $B_m$은 제$m$번 베르누이 수(Bernoulli number)이다.

[증명]
베르누이 수(Bernoulli number)에 대한 생성 함수(generating function)를 이용해 증명한다. 식 (3.3)의 증명에 식 (1.2)를 이용한다. 식 (1.3)을 쓰면 식 (3.4)도 증명할 수 있다.
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식 (3.3)에 식 (11)을 대입해서 탄젠트에 대한 테일러 급수도 얻을 수 있다.

                         (3.5)

여기서 $\tan x$ = $-i \tanh (ix)$이다.

[오일러 수]

                       (3.6)

여기서 $E_{2m}$은 오일러 수(Euler number)이다.

   4. 미분(differentiation)   

[기본 함수]

                         (4.1)

                         (4.2)

[증명]
미분 공식에 식 (12)를 대입하여 증명한다.

                         (4.3)
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[역함수]

                         (4.4)

[증명]
역함수에 대한 미분 공식을 이용하여 증명한다.

                         (4.5)

                         (4.6)
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   5. 부정적분(indefinite integral)   

[역함수]

                         (5.1)

여기서 $C$는 적분 상수이다.

[증명]
식 (4.4)에 있는 역함수의 미분을 사용해도 되지만, 다음처럼 변수 치환을 이용해도 쉽게 증명할 수 있다.

                         (5.2)
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쌍곡선의 방정식(Equation of Hyperbola)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "쌍곡선의 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 유클리드 기하학
2. 타원의 방정식
3. 포물선의 방정식

생긴 모양은 타원(楕圓, ellipse)과 매우 다르지만, 이란성 쌍둥이처럼 2차 곡선(quadratic curve)의 생성 원리와 방정식이 타원과 완전 비슷한 곡선이 쌍곡선(雙曲線, hyperbola)이다.

[그림 1] 쌍곡선의 형태(출처: wikipedia.org)

타원의 생성 원리가 두 초점(focus)에서 나온 직선 길이의 합이 같다는 규칙이라면, 쌍곡선은 두 초점에서 나온 직선 길이의 차가 같다는 규칙을 사용한다.

[그림 2] 쌍곡선의 작도(출처: wikipedia.org)

[그림 2]에 있는 쌍곡선의 작도 방식을 방정식으로 표현하면 다음과 같다.

                  (1)

여기서 점 $\bar P$는 쌍곡선의 자취 $(x, y)$, $\bar F_1$ = $(c, 0)$, $\bar F_2$ = $(-c, 0)$, $2a$는 쌍곡선 사이의 길이, $c$는 초점의 위치이다. 식 (1)을 정리해 쌍곡선 방정식으로 표현하면 다음과 같다.

                   (2)

여기서 $c^2$ = $a^2 + b^2$이다. 쌍곡선의 점근선(漸近線, asymptote)을 구하기 위해 식 (2)를 변형한다.

                  (3)

따라서 쌍곡선은 $x, y$가 커짐에 따라 직선 $y$ = $\pm (b/a) x$로 수렴한다.

[그림 3] 쌍곡선의 이심률(출처: wikipedia.org)

[그림 3]에 정의한 이심률(離心率, eccentricity) $e$를 이용해 쌍곡선의 방정식을 다시 한 번 유도한다. 초점 $\bar F$에서 2차 곡선 위의 점 $\bar P$까지 거리와 준선(準線, directrix)에서 $\bar P$까지 거리의 비율을 이용해 이심률을 기술하면 다음과 같다.

                     (4)

여기서 $L$은 준선에서 $\bar P$까지 거리이다. 원점 $(0, 0)$을 지나는 2차 곡선의 초점이 $\bar F$ = $(f, 0)$, 준선이 $x$ = $p$일 때, 방정식 형태로 식 (4)를 써본다.

                  (5)

여기서 $\bar P$ = $(x, y)$, $L$ = $|x-p|$, 왼쪽 식에 $\bar P$ = $(0, 0)$을 대입해 $p$를 정한다. 결과적으로 $p$ = $\pm f/e$이지만, $x$의 1차 항을 살리기 위해 $p$ = $-f/e$를 택해 식 (5)의 오른쪽 식을 얻는다.[∵ 포물선과 비슷하게 만들기 위해서] 이심률 $e$ = $1$일 때, 식 (5)가 포물선임은 자명하다. 그래서 $e \ne 1$이라 가정해서 식 (5)를 완전 제곱식으로 고친다.

                  (6)

식 (6)에서 $e < 1$이면 타원이 되고, $e > 1$이면 쌍곡선이 된다. 이러한 성질은 [그림 4]에서 볼 수도 있다.

[그림 4] 이심률에 따른 2차 곡선의 형태(출처: wikipedia.org)

식 (2)와 (6)을 비교하면 쌍곡선의 이심률을 다음처럼 얻을 수 있다.

                   (7)

또한 [그림 1, 3]에 있는 초점의 좌표를 이용해 $f$ = $c - a$ = $a(e - 1)$ = $b^2 / [a(e+1)]$임도 알 수 있다. 따라서 쌍곡선인 경우 식 (6)을 간단히 표현할 수 있다.

                  (8)

[그림 2]에 제시한 쌍곡선의 작도 원리는 [그림 5]와 같은 부반사경을 가진 망원경 설계에 직접 적용할 수 있다.

[그림 5] 카세그렝 망원경의 광 경로(출처: wikipedia.org)

[그림 5]처럼 포물선(抛物線, parabola)과 쌍곡선 궤적을 가진 부반사경 망원경은 카세그렝 망원경(Cassegrain telescope)이라 부른다. 프랑스의 천주교 사제 겸 천문학자인 카세그렝Laurent Cassegrain(1629–1693)이 1672년조선 현종 시절 무렵에 제안했다. 카세그렝 망원경은 반사경 안테나의 가장 표준적인 형태이다. 다만 [그림 5]와 같은 광 경로가 성립하려면 쌍곡선에 입사하는 광과 반사하는 광 사이에 [그림 6]과 같은 반사의 원리가 성립해야 한다.

[그림 6] 쌍곡선의 반사 원리(출처: wikipedia.org)

쌍곡선의 반사 원리를 증명하기 위해 선분 $\overline{PF_1}$과 $\overline{PF_2}$를 고려한다. 식 (1)에 제시한 쌍곡선의 특성을 활용해서, 선분 $\overline{PF_2}$ 상에  $\overline{PF_1}$과 같은 길이를 가지도록 점 $L$을 선택한다. 또한 선분 $\overline{PF_1}$과 $\overline{PF_2}$가 이루는 각의 이등분선을 $w$라 한다. 직선 $w$의 점 중에서 점 $P$가 아닌 임의의 점을 $Q$라 한다. 그러면 삼각형 $\triangle PQL$과 $\triangle PQF_1$이 합동이어서, 선분 $\overline{QL}$과 $\overline{QF_1}$은 서로 같다. 따라서 점 $Q$에 대해 다음 관계가 성립한다.

                  (9)

식 (9)에 의해 점 $P$와 다른 $Q$는 식 (1)을 만족하지 못하므로, 절대 쌍곡선 위의 점일 수 없다. 이로 인해 직선 $w$는 점 $P$에서만 쌍곡선과 만나므로 쌍곡선의 접선이 된다. 최종적으로 선분 $\overline{PF_1}$과 $\overline{PF_2}$는 [그림 6]과 같은 반사 원리를 만족한다.

매개변수를 이용해서 쌍곡선 위의 점 $\bar P$ = $(x, y)$를 표현한다. 어떻게 하면 쉽게 할까? 타원의 매개변수 구성과 유사하게, 쌍곡선 함수(hyperbolic function)를 도입해서 점 $\bar P$의 움직임을 간단하게 쓴다.

                  (10)

여기서 $t$는 임의의 실수가 된다. 식 (10)의 관계를 이용하면 쌍곡선이 등장하는 다양한 기하학적 문제를 대수적으로 해결할 수 있다.

식 (2)에 정의한 쌍곡선의 방정식을 이용하면, 다소 유도가 복잡한 여러 가지 쌍곡선의 성질을 밝힐 수 있다.

[점근선과 수선이 만드는 면적]
쌍곡선 위의 한 점에서 각 점근선에 내린 수선이 만드는 면적은 항상 같다.

[증명]

점과 직선 사이의 거리(distance from a point to a line) 공식을 써서 두 수선이 만드는 면적 $\square$를 계산하여 증명한다.

                  (11)

여기서 점근선의 방정식은 $bx \pm ay$ = $0$, $(x, y)$는 쌍곡선 위의 점이라서 $(bx)^2 - (ay)^2$ = $(ab)^2$을 만족한다.

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특이하게도 쌍곡선의 점근선과 수선이 만드는 면적은 쌍곡선의 모양을 결정하는 $a, b$와 직접적인 연관이 있다.

아래 2차 곡선은 타원, 포물선, 쌍곡선이 될 수 있다. 2차 곡선의 종류를 결정하는 공식은 원뿔 곡선의 판별식(discriminant of conic section) $D$이다.

                  (12)

식 (12)에 나온 2차 항으로 만든 행렬의 행렬식을 원뿔 곡선의 판별식으로 사용한다. 만약 $D$ = $ac - b^2 < 0$이라면, 이 행렬로 계산한 고유치의 부호가 서로 달라서 식 (12)를 변형한 방정식은 식 (2)와 같은 모양이 된다. 그래서 $D < 0$인 경우에만 식 (12)는 쌍곡선을 표현한다.

[다음 읽을거리]
1. 쌍곡선 함수