1. 전기장
2. 전압
전기장(electric field)의 관계식을 유도할 때는 단 하나의 전하(electric charge)만을 고려한다. [그림 1]처럼 두 개의 서로 다른 전하를 고려하면 어떻게 될까?
[그림 1] 전기 쌍극자
[그림 1]의 전하 분포는 매우 중요하다. 왜냐하면 일반적인 물질에 전기장을 가하면 [그림 1]과 같이 전하가 서로 분리되기 때문이다.[∵ 전기장이 가해지면 (+) 전하는 (-)쪽으로, (-) 전하는 (+)쪽으로 움직이기 때문이다.] 전기장에 의해 전하가 분리되는 현상은 분극(分極, polarization)이라 한다. 식 (1)에 있는 전압(voltage)의 정의를 이용해 [그림 1]의 전기 쌍극자(electric dipole) 특성을 식 (2)와 같이 계산해 보자.
(1)
(2)
[그림 2] 구 좌표계의 표현(출처: wikipedia.org)
원점 기준에 대한 관측점(observation point) $r$이 매우 멀리 있다고 하면[$r \gg d$] 식 (2)를 아래처럼 근사화할 수 있다.
(3)
여기서 $\theta$는 [그림 2]에 제시한 극고도각(極高度角, polar angle: $\theta$는 꼭대기부터 시작해 내려오기 때문에 일반 고도각과는 정의가 약간 다름), $\hat z \cdot \hat r$ = $\cos \theta$, 벡터 $\bar d$ = $d \hat z$는 변위 벡터(displacement vector)이다.
[그림 3] 전기 쌍극자 모멘트의 방향(출처: wikipedia.org)
[그림 1]에서 변위 벡터의 정의를 보면 특이하다. [그림 3]처럼 (-) 전하에서 (+) 전하로 가는 방향이 벡터 $\bar d$의 기준 방향이 된다. 이 방향은 전기장을 정의할 때와는 반대이다.[∵ 전기장은 (+) 전하에서 나와 (-) 전하로 들어간다.] 식 (3)에 있는 전기 쌍극자 모멘트 혹은 전기 쌍극자 능률(electric dipole moment) $\bar p$의 기준 방향을 [그림 3]과 같이 전기장과 반대로 정하면, 유전체(dielectric)의 성질을 표현하기가 매우 편리하다.
[그림 4] 외부 전기장과 분극에 의한 전기장의 방향(출처: wikipedia.org)
왜냐하면 [그림 4]처럼 물체에 전기장이 가해지면 전기적인 인력과 척력에 따라 물체 내부에 (+)와 (-) 전하가 나누어지는 분극이 생기고, 분극에 의한 전기장은 외부 전기장과 정확히 반대가 되기 때문이다. 즉, 분극에 의한 전기장과는 반대 방향으로 물체 내부의 전기 쌍극자 모멘트를 정의하면, 외부 전기장과 전기 쌍극자 모멘트의 벡터 방향이 일치해서 유전체의 공식화가 간단해진다. 전기 쌍극자 모멘트(electric dipole moment)에 나오는 모멘트 혹은 능률(能率, moment)은 어떤 물리량이 변하는 경향을 뜻한다.[영어 moment의 어원이 라틴어 momentum(운동)인 이유이다.] 식 (3)은 전기 쌍극자가 변하는 경향을 나타내는 지표라서 당연히 모멘트가 어울린다. 조금 더 전문적으로 설명하면 모멘트는 어떤 형태나 특성을 곱 형태로 표현하는 핵심 측정량(measure)을 뜻한다. 물리학에서는 주로 수직 길이를 모멘트라 하지만 반드시 이럴 필요는 없다. 식 (3)에서는 길이와 더불어 전하량까지 곱한 값을 모멘트로 정의한다.
식 (3)에 구배 연산자(gradient operator)를 적용해서 전기장을 계산하자.
(4)
(5)
그런데 식 (5)가 성립하는 영역은 $r \gg d$이므로 전기 쌍극자가 있는 곳[$r \approx d$]과는 거리가 매우 먼 곳이다.
[그림 5] 전기 쌍극자가 만드는 전기장(출처: wikipedia.org)
전기 쌍극자 가까이에서는 식 (5)가 맞지 않으므로 $d \gg r$이라 가정하고 식 (3)의 방법론을 적용해보자.
(6)
식 (6)에 구배 연산자를 적용하면 전기 쌍극자 가까이의 전기장을 구할 수 있다.
(7)
만약 $d$가 매우 작아지면 어떻게 되는가? 편하게 계산하기 위해 전기 쌍극자 모멘트 $\bar p$는 $d$에 관계없이 일정하고 $d$만 작아진다고 가정하자. 그러면 다음 극한이 성립한다.
(8)
3차원 디랙 델타 함수(Dirac delta function) $\delta (\bar r)$는 아래처럼 정의한다. 식 (8)의 유도를 위해, 반지름이 $d/2$인 구 부피의 극한은 $0$이라고 가정한다.
(9)
[그림 6] 전기 쌍극자에 작용하는 전기력
물질 내부에 고정된 전기 쌍극자에 작용하는 전기력은 [그림 6]과 같다. 외부에서 인가한 전기장 $\bar E$에 따라 전기 쌍극자의 (+)와 (-) 전하는 전기력을 받는다. 하지만 전기 쌍극자는 결정 분자의 내부에 있기 때문에 전기력이 있더라도 자유롭게 병진 운동을 할 수는 없다. 대신에 전기력에 의한 회전 운동이 다음처럼 발생할 수 있다.
(10)따라서 회전력(torque) $\bar \tau$는 전기 쌍극자 모멘트 $\bar p$와 외부 전기장 $\bar E$의 외적과 같다. 즉, 전기 쌍극자 모멘트에 수직인 방향으로 입사하는 전기장이 전기 쌍극자의 회전을 발생시킬 수 있다.
(11)식 (11)은 전자기파(electromagnetic wave)를 사용하는 전자레인지에서 물 분자를 회전시키는 원리이다. 시간적으로 변하는 전기장은 식 (11)에 따라 전기 쌍극자를 가진 물 분자의 회전을 일으키고, 공진 주파수에 해당하는 주기로 전기장이 변하면 물 분자가 완전히 회전을 해서 마찰에 의한 열을 발생시킨다. 식 (11)에 바탕으로 두고 전기 쌍극자가 가진 위치 에너지도 정의할 수 있다. 위치 에너지는 기준점과의 차이만 중요하기 때문에, 보통 회전력이 가장 큰 $\theta$ = $\pi/2$를 위치 에너지의 영점으로 삼는다. 따라서 $\theta$에서 전기 쌍극자가 가진 위치 에너지 $U$는 다음과 같이 정의한다.
(12)
(13)전기장 $\bar E$가 $\bar p$와 동일한 방향으로 가해지면, 위치 에너지가 가장 낮아져서 $\bar p$는 이 상태에 머물 수 있다. 또한 $\bar E$의 방향이 $\bar p$와 반대인 경우는 가장 높은 위치 에너지로 인해 $\bar p$가 불안정해진다.
[참고문헌]
[1] J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd ed., John Wiley & Sons, 1999.
[다음 읽을거리]
1. 유전체의 비밀
2. 자기 쌍극자 모멘트
