잔 래서터(John Lasseter)의 인생 중에서 하루

기술을 아는 예술가로 불리는 잔 래서터(John Lasseter)의 일상생활.

- 중앙일보 인터뷰: ‘카 2’ 내놓은 애니메이션 거장, 디즈니·픽사 CCO 존 래스터

특성 임피던스의 이해(Characteristic Impedance)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "특성 임피던스의 이해"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 전송선 이론
2. 전압파와 전류파

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[그림 1] 전송선 특성을 표현하는 특성 임피던스(출처: wikipedia.org)

식 (1)이 표현하는 전송선 방정식(transmission line equation)의 해는 식 (2)와 같이 $\pm z$ 방향으로 진행하는 전압파(voltage wave)와 전류파(current wave)로 표현할 수 있다.

                        (1)

                        (2)

여기서 $V_0^+, V_0^-, I_0^+, I_0^-$는 계수로서 전압과 전류에 대한 경계 조건(境界條件, boundary condition)을 이용하여 정한다. 또한 전원($V_S$)에서 부하($R_L$)로 가는 $+z$ 방향으로 전원에 인가된 입사파[계수 = $V_0^+, I_0^+$]가 진행한다고 가정한다. 입사 방향과 반대인 $-z$ 방향은 부하에서 전원쪽을 향한다. 그래서 부하에서 반사된 반사파[계수 = $V_0^-, I_0^-$]는 파동 특성에 따라 $-z$ 방향으로 움직인다. 식 (2)에 있는 전파 상수(propagation constant) $\gamma$는 다음과 같이 정의한다.

                        (3)

여기서 $R$[Ω/m], $L$[H/m], $G$[$\mho$/m], $C$[F/m]는 단위 길이당 해당 물리량이다. 식 (2)는 전압과 전류가 파동임을 의미하므로, 전압과 전류의 비율은 일정한 관계를 가질 것 같다. 혹시 일반화된 옴 법칙(generalized Ohm's law)과 유사한 관계를 가지는가? 이를 알아보기 위해 $V_0^-$ = $I_0^-$ = $0$이라 가정하고,[혹은 전압파와 전류파는 한쪽 방향($+z$ 방향)으로만 흐른다고 가정하고] 식 (2)를 식 (1)에 대입하여 정리한다.

                        (4)

그러면 신기하게도 파동의 진폭이나 전달 방향과 관계없이 전압파와 전류파의 비율은 항상 일정한 양이 된다. 따라서 식 (4)의 셋째 줄에 등장한 전압파와 전류파의 비율을 전송선의 특성 임피던스(characteristics impedance)로 새롭게 정의한다. 특성 임피던스라는 이름에 임피던스(impedance: AC 저항)라는 말이 있지만 특성 임피던스는 전류파의 흐름을 방해하는 저항이 아니다. 특성 임피던스는 전송선을 따라 흐르는 전압파와 전류파가 존재하면 이 비율이 입력에 관계없이 항상 일정함을 뜻한다. 다시 강조하지만 특성 임피던스는 전압파와 전류파의 단순한 비율이다. 식 (4)에 있는 전압파와 전류파의 비율은 $R$, $L$, $G$, $C$와 주파수에만 관계되는 양이다. 특성 임피던스는 전류와 전압 비율이므로 특성 임피던스의 단위는 Ω(옴, ohm)으로 정의한다. 그런데 특성 임피던스는 단순 비율인데 왜 우리가 공부해야 하는가? 특성 임피던스는 전송선의 반사 특성을 알려주는 중요 지표이기 때문에, 전송선 이론에서 매우 중요한 양이다. 전송선의 특성 임피던스를 알면, 전압파와 전류파가 부하에서 반사되지 않도록 전송선을 구성할 수 있다.

만약 $R$ = $G$ = $0$인 손실없는 전송선이라면, 특성 임피던스는 인덕턴스(inductance)와 전기 용량(capacitance)의 비율로 표현된다.

                        (5)

전송선 내에서 인덕턴스와 전기 용량의 관계를 고려하면 다음이 성립한다.

                       (6)

                       (7)

여기서 $L_{\rm ckt}$와 $C_{\rm ckt}$는 회로 이론 관점의 인덕턴스[H]와 전기 용량[F], $\beta$는 위상 상수(phase constant)이며, 손실이 없는 경우 $\gamma$ = $j \beta$가 된다.[원칙적으로 전파 상수와 위상 상수를 구별해서 써야 하지만, 손실이 매우 적은 경우가 대부분이다. 그래서 전파 상수와 위상 상수를 혼용해서 쓰는 경우도 있다.] 식 (6)은 인덕턴스[$\Phi$ = $LI$]와 전기 용량[$Q$ = $CV$]의 정의를 이용해 유도한다. 식 (7)을 식 (5)에 대입하면 특성 임피던스 관계식을 더욱 간략화할 수 있다.

                      (8)

현실적인 저손실 전송선(low loss transmission line) 개념을 도입한다. 손실이 매우 작으면 $R, L, G, C$ 관점에서 $R \ll \omega L$, $G \ll \omega C$라 가정한다. 그러면 식 (4)는 아래처럼 간략화된다.

                      (9)

실제 식 (9)에서 특성 임피던스의 허수부는 존재하지만 저손실 조건을 이용해 보통 실수만 있다고 가정한다. 특성 임피던스는 반사도(reflection coefficient)를 정의할 때 주로 사용하는 개념이기 때문에 식 (9)의 매우 작은 허수부는 대세에 영향을 주지 않는다.[∵ 특성 임피던스가 1 Ω 정도 변하더라도 반사도의 크기는 거의 변하지 않는다.]

[표 1] 부하 조건에 대한 입력 임피던스

특성 임피던스를 측정하려면 [표 1]에 제시한 부하의 입력 임피던스(input impedance) 특성을 이용해야 한다. 여기서 $l$은 전송선의 길이이다. 부하는 보통 개방(open)과 단락(short)을 선택한다. 이때 부하를 측정한 입력 임피던스를 각각 $Z_{\rm open}$과 $Z_{\rm short}$라 한다. [표 1]에 제시한 입력 임피던스 특징을 이용하여 다음을 얻는다.

                     (10)

식 (10)에 의해 개방과 단락의 입력 임피던스를 측정해 기하 평균(geometric mean)을 취하면 특성 임피던스가 쉽게 환산된다. 여기서 입력 임피던스는 반사 계수(reflection coefficient)를 이용해 결정하며, 반사 계수는 [그림 2]에 있는 회로망 분석기(network analyzer)를 이용해서 정밀하게 측정할 수 있다.

[그림 2] 회로망 분석기(출처: wikipedia.org)

식 (10)의 관계식을 약간 변형하면 위상 상수 $\beta$도 결정할 수 있다.

                     (11)

위상 상수와 각주파수(angular frequency)의 관계를 이용하면 전송선 내부를 흐르는 전압파와 전류파의 속도(velocity)도 알 수 있다.

                       (12)


[다음 읽을거리]
1. 전압파의 반사 계수
2. 전송선의 입력 임피던스

전압해와 전류해의 유일성(Uniqueness of Voltage and Current Solutions)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "전압해와 전류해의 유일성"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 페이저를 이용한 임피던스 정의
2. 전송선 이론
3. 전자기파에 대한 유일성 정리

회로 이론(circuit theory)이나 전송선 이론(transmission line theory)으로 문제를 풀 때 한 가지 걱정되는 부분은 유일성(uniqueness)이다. 우리가 얻은 전압이나 전류는 푸는 방법에 관계없이 단 한 가지인가? 다행히 회로 이론과 전송선 이론을 포함하는 맥스웰 방정식(Maxwell's equations)에 대한 유일성 정리(uniqueness theorem)가 증명되었기 때문에 어렵지 않게 회로 이론 전압해와 전류해의 유일성을 증명할 수 있다. 전자기파에 대한 유일성 정리가 성립하려면 전기장(electric field)과 자기장(magnetic field)의 접선 방향 경계 조건(boundary conditions)이 유일하게 정해져야 한다.

[그림 1] 전기장의 연속 조건

전기장의 접선 방향 성분이 연속이라는 조건을 전압(voltage) 관점에서 생각해보자. 이 경계 조건은 [그림 1]을 이용해 생각할 수 있다. 즉, 영역 (I)과 (II)에서 경계면에 접하는 전기장의 접선 성분[노란색 화살표]은 반드시 같아야[연속이어야] 한다. 이 개념을 식 (1)에 제시한 전압 개념에 넣어보자.

                           (1)

전기장[$\bar E_1 = \bar E_2$]이 같기 때문에 식 (1)에 의해 발생하는 전압[$V_1 = V_2$]도 반드시 같아야 한다. 즉, 경계면에서 전기장이 연속이라는 말은 경계면에 걸리는 전압이 같아야 한다는 조건과 동일하다. 이 개념이 바로 KVL(Kirchhoff Voltage Law)이 된다.

[그림 2] 자기장의 경계 조건

다음으로 [그림 2]를 이용해 자기장의 접선 방향 연속성을 전류(current) 관점에서 알아보자. 자기장의 연속성에 의해 영역 (I)과 (II)의 경계면에 존재하는 자기장[노란색 화살표]은 서로 같아야 한다. 각 영역의 자기장[$\bar H_1 = \bar H_2$]이 같다면 식 (2)의 암페어 법칙에 의해 경계면을 통과하는 전류[$I_1 = I_2$]가 서로 같아야 한다.

                  (2: 변위전류 포함 암페어의 법칙)

즉, 경계면에서 자기장이 연속이라는 말은 경계면을 통과하는 전류가 같아야 한다는 조건과 동일하다. 이 개념이 바로 KCL(Kirchhoff Current Law)이 된다.

이상을 종합하면 KVL과 KCL의 중요성을 인식할 수 있다. 회로 이론 문제를 풀 때 KVL과 KCL을 연속해서 적용하면 항상 전압해와 전류해를 유일하게 결정할 수 있다. 회로 이론과 전송선 미소 구간(微小區間, infinitesimal interval)의 모형화를 결합하면 전송선 방정식을 얻을 수 있다. 회로 이론의 극한이 전송선 이론이 된다고 생각할 수 있으므로 KVL과 KCL을 적용하면 전송선 이론의 답도 유일하게 얻을 수 있다.