로렌츠 진동자 모형(Lorentz Oscillator Model)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "로렌츠 진동자 모형"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 전기 쌍극자 모멘트

2. 유전체의 비밀

3. 탄성에 대한 훅의 법칙

[확인] 본 페이지는 exp(-iωt)와 exp(jωt) 시간 약속을 둘 다 사용하고 있습니다.

[그림 1] 로렌츠 진동자 모형으로 근사화한 복소 유전율(출처: wikipedia.org)

원자(atom)의 내부 구조를 모르던 시절에 나온 로렌츠 진동자 모형(Lorentz oscillator model)은 전자(electron)와 양성자(proton) 간의 전기력만 이용한 이론화인데도 유전율(permittivity) $\epsilon$의 주파수 변동성을 잘 설명한다[1]. 로렌츠 진동자 모형은 전기력, 훅의 법칙(Hooke's law), 견인 계수(drag coefficient) $\gamma$가 전자에 함께 작용한다고 생각해서 뉴턴의 운동 법칙(Newton's law of motion)을 적용한다.

                  (1)

여기서 $\bar r$은 양성자를 원점으로 정한 전자의 위치, $\bar E$는 전기장(electric field), $m_e$와 $e$는 각각 전자의 질량과 전하량, $k$는 스프링 상수(spring constant); 견인 계수 $\gamma$는 손실(loss)을 설명하며 전자의 평균 자유 시간(mean free time) $\tau$에 대한 역수인 $\gamma$ = $1/\tau$이다. 견인 계수 기호로 $\gamma$ 대신 대문자인 $\Gamma$를 쓰는 경우도 있다.

전자가 만드는 분극 밀도(polarization density)를 $\bar P$ = $-n_e e \bar r$로 두고 식 (1)을 변형한다.

                  (2)

여기서 $n_e$는 단위 부피당 존재하는 전자 개수인 전자 농도(electron concentration)이다. 드루데 모형(Drude model)으로 유도한 전기 전도도 $\sigma$를 써서 식 (2)를 간단히 표현한다.

                  (3)

여기서 $\sigma$ = $n_e e^2 \mathbin{/} (\gamma m_e)$, 진동자(oscillator)의 공진 각주파수(resonant angular frequency)는 $\omega_0$ = $\sqrt{ k / m_e}$이다.

   1. exp(-iωt) 시간 약속   

전기장과 전자의 위치는 주기성이 있다고 가정해 페이저(phasor) 기반으로 $\bar E$ = $\bar {\bf E}(\omega) e^{-i \omega t}$, $\bar r$ = $\bar {\bf r}(\omega) e^{-i \omega t}$로 둘 수 있다. 이를 식 (1)에 대입해서 $\bar {\bf r}(\omega)$를 구한다.

                          (1.1)

외부 전기장에 의해 양성자에서 멀어진 전자는 전기 쌍극자 모멘트(electric dipole moment) $\bar {\bf p}(\omega)$를 형성한다.

                          (1.2)

체적 $V$에 존재하는 $N$개의 전기 쌍극자 모멘트는 모두 같은 방향을 향한다고 간략화함으로써 분극 밀도 $\bar {\bf P}(\omega)$를 쉽게 얻는다.

                          (1.3)

여기서 $n_e$ = $N/V$는 전자 농도(electron concentration), 플라즈마 각주파수(plasma angular frequency)는 $\omega_p$ = $\sqrt{n_e e^2 \mathbin{/} (m_e \epsilon_0)}$, $\chi_e (\omega)$는 전기 감수율(electric susceptibility)이다. 전기장이 생성하는 물질 내부의 분극 밀도를 알기 때문에, 구성 관계식(constitutional relation)을 써서 주파수에 따라 변하는 복소 유전율(complex permittivity) $\epsilon(\omega)$를 공식화한다.

                          (1.4)

여기서 $\chi_e(\omega)$ = $\chi_e'(\omega) + i \chi_e''(\omega)$이다. 공진 주파수 $f_0$ = $\omega_0 \mathbin{/} (2 \pi)$는 수십 THz 이상으로 매우 높고 다수의 공진이 생길 수 있기 때문에, 실제 측정 결과를 보정하는 공식은 식 (1.4)를 더 일반화해서 사용한다.

                          (1.5)

여기서 $\epsilon_\infty$는 무한대에서 측정한 유전 상수[이론적으로는 1이지만 실험에서는 1이상 나옴], $f_j$는 $j$번 공진의 가중치, $N_r$은 공진 개수이다. 식 (1.5)에서 $s_j$ = $\omega_p^2 f_j$, $\Gamma_j$ = $\gamma_j$로 쓰기도 한다.

복소 유전율 대신 광학 전도도(optical conductivity)에 로렌츠 진동자 모형을 쓰기도 한다. 광학 전도도는 전기 전도도(electrical conductivity)를 광학 영역으로 일반화한 지표이다. 복소 유전율에서 정의한 손실 탄젠트(loss tangent)를 전기 전도도 형태로 바꾸어서 광학 전도도 $\sigma(\omega)$를 정의한다. 그래서 광학 전도도는 광학 영역에서 물질에 흡수되는 양과 관련된다.

                          (1.6)

여기서 주파수가 매우 커지면 광학 전도도는 0에 수렴한다.[∵ $\epsilon(\omega)$는 $1/\omega^2$ 비율로 작아진다.]

   2. exp(jωt) 시간 약속   

[그림 2.1] RLC 직렬 공진 회로(출처: wikipedia.org)

독특하게 생긴 로렌츠 진동자 모형을 [그림 2.1]에 보인 전기 회로의 RLC 직렬 공진 회로(series resonant circuit)로 등가화해 상상할 수 있다[2]. 분극 전류 밀도(polarization current density) $\bar J_p$ = $d \bar P / dt$를 식 (3)에 대입한다.

                  (2.1)

식 (2.1)에 $e^{j \omega t}$ 시간 약속을 가진 페이저를 적용한다.

                  (2.2)

여기서 $LC$ = $1/\omega_0^2$이다. 식 (2.2)는 기존 운동 방정식인 식 (1)을 RLC 직렬 공진 회로로 단순히 바꾼다는 측면이 있지만, 당연히 RLC가 가진 물리적 성질에 기반을 두고 있다. 먼저 인덕턴스(inductance) $L$은 전류의 관성과 관계되므로, 전자의 관성 질량(inertial mass)인 $m_e$는 $L$과 연결된다. 역수 $1/C$는 일래스턴스(elastance)이므로 스프링의 탄성 비율에 해당한다. 식 (2.2)에 임피던스(impedance) $\bf Z$를 정의해서, RLC 직렬 공진 회로의 $\bar {\bf J}_p (\omega)$를 구한다.

                  (2.3)

다음 단계로 분극 전류 밀도를 분극 밀도와 전기장으로 바꾸어서 전기 감수율 $\chi_e(\omega)$를 얻는다.

                          (2.4)

이때 로렌츠 진동자 모형에 저장되는 에너지 밀도는 $L, C$에 대해 $u_m, u_e$로 각각 정의한다. 여기서 $u_m$은 관성 질량 $m_e$에 의한 운동 에너지(kinetic energy) 밀도, $u_e$는 스프링 $k$와 관계된 위치 에너지(potential energy) 밀도이다.

                  (2.5)

여기서 $u_t$는 전체 에너지 밀도이며 0보다 크거나 같다. 시스템에 저장된 에너지 밀도인 식 (2.5)의 마지막식을 보면, 리액턴스의 주파수 변화율은 항상 0보다 커야 한다. 이 결과는 잘 알려진 포스터의 리액턴스 정리(Foster's reactance theorem)로도 예측 가능하다. 최종적으로 식 (2.5)의 $u$를 가지고 로렌츠 진동자 모형에 저장된 전기장의 에너지(energy of electric field) $W_e$를 공식화한다.

                  (2.6)

회로량 $R, X$를 포함한 식 (2.6)을 매질 특성인 유전율의 관계식으로 변형하기 위해 $\chi_e'$의 미분을 고려한다.

                  (2.7)

저손실(low loss) 혹은 공진(resonance)을 벗어난 조건, $R \ll |X|$에서 항 $R/X$를 무시한 식 (2.7)을 식 (2.6)에 대입한다[2].

                          (2.8a)

여기서 $\epsilon'$ = $\epsilon_0 (1 + \chi_e')$이다. 저항 $R$ = $0$인 때, 식 (2.8a)는 근사식이 아닌 등식이 된다. 어떤 크기의 체적 $v$를 선택하든지 저장된 에너지 $W_e$는 0보다 커야 하므로,[∵ 식 (2.6)에서 $dX/d\omega > 0$] 저손실 혹은 비공진(nonresonance) 가정에서 유전율 실수부의 주파수 특성은 다음 부등식을 따른다.

                          (2.8b)

하지만 직렬 공진(series resonance)에 가까운 대역에서 $X \approx 0$이 발생하기 때문에, 공진 주파수의 근방에서 식 (2.7)의 매질 기울기 $d (\omega \chi_e') \mathbin{/} d\omega$는 0보다 작아진다. 물론 공진 주파수를 벗어난 지점에서는 식 (2.8b)가 잘 성립한다.

[참고문헌]

[1] T. Hirosige, "Origins of Lorentz' theory of electrons and the concept of the electromagnetic field," Hist. Stud. Phys. Sci., vol. 1, pp. 151–209, Jan. 1969.

[2] R. E. Collin, Foundations for Microwave Engineering, 2nd ed., New York, NY, USA: Wiley-IEEE Press, 2001, pp. 33–39.