포스터의 리액턴스 정리(Foster's Reactance Theorem)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "포스터의 리액턴스 정리"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 페이저를 이용한 임피던스 정의

2. 포인팅의 정리

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[그림 1] 주파수에 대해 리액턴스가 증가하는 모습(출처: wikipedia.org)

교류 회로(alternating current or AC circuit)에 나오는 임피던스(impedance)의 주파수 응답(frequency response)을 꼼꼼하게 관찰하면 쉽게 이해할 수 있는 단순한 정리로 포스터의 리액턴스 정리(Foster's reactance theorem)가 있다. 매우 간단한 정리이지만, 이 정리의 내면에는 필터(filter) 설계를 위한 거대한 방법론이 자리한다.

[포스터의 리액턴스 정리] [1]

무손실 임미턴스(immitance)의 허수부는 주파수에 대해 항상 단조 증가한다.

                          (1)

여기서 $X, B$는 각각 리액턴스(reactance)와 서셉턴스(susceptance)이다.

[증명: 회로 이론]

임미턴스는 임피던스와 어드미턴스(admittance)를 모두 포함하는 용어이므로, 먼저 임피던스 $Z$의 허수부인 리액턴스(reactance) $X$의 주파수 특성을 관찰한다. 회로 내부에 인덕터나 커패시터가 하나만 있으면, $X$ = $j \omega L$ 혹은 $-j \mathbin{/} (\omega C)$로 표현되어서 $dX/d\omega$는 단조 증가한다. 이 리액턴스가 직렬(series)로 연결된 경우는 $jX_s$ = $jX_1 + jX_2$가 되며 두 단조 증가 함수를 합친 함수도 단조 증가한다. 그래서 직렬 회로는 항상 주파수에 대해 리액턴스가 계속 커진다. 병렬(parallel) 회로 $X_p$는 약간 복잡해서 $\omega$에 대한 미분으로 증명한다.

                  (1)

여기서 $dX_1 / d\omega > 0$, $dX_2 / d\omega > 0$이다. 또한 손실 없는 모든 종류의 전기 회로망(electrical network)은 $L$과 $C$의 직렬이나 병렬 결합이다. 따라서 직렬이든 병렬이든 리액턴스만으로 구성한 회로망의 전체 리액턴스는 주파수에 따라 항상 증가한다.

임피턴스 결과를 이용해서 어드미턴스에 대한 증명도 완성한다. 어드미턴스 $Y$의 허수부인 서셉턴스(susceptance) $B$는 $Y$ = $jB$ = $1 \mathbin{/} ( jX)$ = $-j/X$이다. 리액턴스 $X$는 항상 커지므로, $X$의 역수를 취하고 부호를 바꾼 $B$도 주파수에 대해 단조 증가한다.

[증명: 맥스웰 방정식] [2]

각주파수 $\omega$로 미분한 맥스웰 방정식은 아래와 같다.

                  (2)

여기서 $\bar E, \bar H$의 시간 약속은 $e^{j \omega t}$이다. 포인팅의 정리(Poynting's theorem)와 비슷한 방식으로 식 (2)에 $\bar E, \bar H$를 곱해서 발산(divergence)을 적용한다.

                  (3a)

식 (3a)를 체적 $v$에 대해 적분해서 새로운 전자기장의 에너지 관계를 만든다. 

                  (3b)

여기서 $d \bar a$는 $v$를 뚫고 외부로 나가는 방향으로 계산한다. 로렌츠 진동자 모형(Lorentz oscillator model)을 유전체와 자성체에 적용하면, 식 (3b)의 우변은 각각 전기장과 자기장의 에너지 $W_e, W_m$을 4배한 값이 된다.[∵ $1/2$는 에너지 정의, $1/2$는 평균 전력에서 나온다.] 전기장과 자기장을 전압파와 전류파(voltage and current waves)로 연결하기 위해, 접선 전기장(tangential electric field) $\bar E_t$를 전압파 $V_0 e^{-j \beta z}$로 공식화한다.

                  (4a)

여기서 전력 전달은 $z$방향, $\beta$는 위상 상수(phase constant), $\bar e(x, y)$는 편파(polarization)를 나타내는 실수 벡터이다. 식 (4a)를 맥스웰 방정식에 대입함으로써 접선 자기장(tangential magnetic field) $\bar H_t$도 얻는다.

                  (4b)

여기서 $Z_0$ = $V_0 / I_0$, $\bar e$ = $\bar h \times \hat z$이다. 반사가 없는 전송선 내부에서 평균 전력(average power) $P_\text{av}$는 일정하므로, 편파 벡터 $\bar e(x, y)$의 조건이 정해진다.

                  (4c)

여기서 $\bar e, \bar h$의 단위는 모드 1/m이다. 식 (4)를 식 (3b)의 좌변에 넣어서 전압파와 전류파의 주파수 변화 특성을 생성한다.

                  (5a)

여기서 식 (4b) 조건으로 인해 $\partial \bar e / \partial \omega \times \bar h$ = $\bar e \times \partial \bar h / \partial \omega$ = $\hat z (\bar e \cdot \partial \bar e / \partial \omega)$이다. 리액턴스 $X$만 있다는 가정인 $V_0$ = $j X I_0$을 식 (5a)에 넣어 정리한다.

                  (5b)

여기서 $z < 0$ 영역에서 입사하는 전자파가 $z$ = $0$인 표면에 들어간다고 생각해 $d \bar a$ = $-da \hat z$로 바꾼다.

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포스터의 리액턴스 정리는 필터 설계의 기본 원리를 제공한다. 리액턴스로 만든 무손실 필터(lossless filter)는 인덕터나 커패시터의 조합이므로, 임피던스 $Z(\omega)$는 분자와 분모가 다항식인 유리 함수 $P(\omega) / Q(\omega)$로 표현된다. 여기서 필터 설계법은 필터 규격으로 고차 다항식 $P(\omega), Q(\omega)$를 유일하게 결정하는 수학적 절차이다. [그림 1]처럼 포스터의 리액턴스 정리에 따라 $X$는 계속 커지고 있어서, 주파수 응답에는 영점(zero)과 극점(pole)이 반드시 존재한다. 따라서 필연적으로 존재하는 $Z(\omega)$의 영점과 극점 위치를 필터 규격으로 맞춤으로써, 필터에 항상 원하는 주파수 응답을 만들 수 있다.

[그림 2] 연산 증폭기의 반전 모드(출처: wikipedia.org)

포스터의 리액턴스 정리가 성립하지 않는 회로는 비포스터 회로망(non-Foster network)이라 부른다. 기존 전기 회로에 비포스터 회로를 추가하면 통상적인 커패시터나 인덕터 효과를 없앨 수 있어서 광대역 특성 설계에 유용하게 사용된다[3]. 비포스터 회로는 유전체나 자성체의 공진(resonance)으로 만들 수 있지만, 공진 주파수가 너무 높고 매질 특성이 들어가서 원하는 성질을 구성하기 어렵다. 그래서 비포스터 회로는 주로 증폭기(amplifier)로 설계한다. 예시적으로 [그림 2]는 저주파에 쓰는 연산 증폭기(operational amplifier, op-amp: 예전 아날로그 컴퓨터(analog computer)를 제작할 때 쓴 방식이라 연산이란 이름이 붙음)의 반전 모드(inverting mode: 입력을 넣으면 출력의 극성이 바뀜)를 이용해 부성 저항이나 임피던스(negative resistance or impedance)를 생성하는 방법을 보여준다. 물론 연산 증폭기 대신 임의 종류의 차동 증폭기(differential amplifier)를 써도 같은 결과가 얻어진다. 연산 증폭기 해석은 가상 접지(virtual ground: 실제 접지는 아니지만 접지와 같은 전압)부터 출발한다. 연산 증폭기는 개회로(開回路, open-loop) 이득 $A_\text{OL}$이 매우 커서 입력 전압 $V_-$는 다른 입력 $V_+$를 그대로 따라간다. [그림 2]에서 $V_+$ = $0$이므로, $V_-$는 가상 접지처럼 0V로 가정한다. 다만 통상적인 접지와 다르게 증폭기의 입력부라서 증폭기로 들어가는 전류는 거의 0이다. 그러면 $V_\text{in}$이 만든 입력 전류 $I_\text{in}$ = $V_\text{in} / R_\text{in}$은 증폭기로 들어가지 않고 모두 피드백 혹은 되먹임 저항(feedback resistor) $R_f$를 거쳐 출력부로 나간다. 결국 출력 전압 $V_\text{out}$은 입력과 피드백 저항의 비율로만 결정된다.

                          (1)

여기서 $V_\text{out}$을 걸어도 전류는 저항에 들어가지 않고 $V_\text{out}$ 쪽으로 나와서 ($-$)를 붙인다.[다른 말로 옴의 법칙에서 전압의 극성과 전류의 방향이 반대이다.] 전압 $V_\text{out}$과 입력 전류 $I_\text{in}$을 기준으로 옴의 법칙(Ohm's law)을 적용하면, 부성 저항 $-R_f$가 정확히 만들어진다. 교류 회로에서는 저항 대신 인덕터와 커패시터를 $R_f$ 위치에 쓸 수 있기 때문에, [그림 2]의 회로로 부성 인덕터(negative inductor)와 부성 커패시터(negative capacitor)를 쉽게 구성할 수 있다. 부성 인덕터와 커패시터로 짜맞춘 회로망은 주파수가 증가할 때 임미턴스의 허수부는 단조 감소해서 비포스터 회로망이 된다. 이를 이용하면 우리가 설계한 회로의 대역폭을 많이 개선할 수 있다. 예를 들어, 회로의 입력 임피던스가 $Z_\text{in}$ = $R_\text{in} + jX_\text{in}$로 측정되면, $-X_\text{in}$ 특성을 가진 비포스터 회로를 부착한다. 그러면 주파수에 따라 커지는 $X_\text{in}$을 넓은 대역에서 $-X_\text{in}$으로 상쇄시킬 수 있다. 대신 증폭기를 쓰고 있어서 회로의 외부에서 지속적인 전력 공급이 있어야 한다.

[참고문헌]

[1] R. M. Foster, "A reactance theorem," Bell Syst. Tech. J., vol. 3, no. 2, pp. 259–267, Nov. 1924.

[2] D. M. Pozar, Microwave Engineering, 4th ed., Hoboken, NJ, USA: John Wiley & Sons, 2012.

[3] 이용혁, 정재영, "소형 안테나의 광대역 정합 및 수신전력 개선을 위한 비-포스터 회로 설계", 한국전자파학회논문지, 제30권, 제7호, pp. 533–541, 2019년 5월.

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