사이클로이드 미분 방정식(Cycloid Differential Equation)

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1. 원의 방정식

2. 미분 방정식의 의미

[그림 1] 진자선 혹은 사이클로이드의 생성(출처: wikipedia.org)

바퀴가 굴러갈 때 생기는 바퀴 위의 한 점의 궤적은 [그림 1]처럼 사이클로이드(cycloid) 혹은 진자선(振子線)을 형성한다. 진자의 또 다른 한자인 파(擺)를 써서 진자선은 파선(擺線)이라고도 한다. 어떤 미분 방정식의 해가 사이클로이드로 표현되면, 그 방정식은 사이클로이드 미분 방정식(cycloid differential equation)이라 부른다. 사이클로이드 미분 방정식은 다음과 같은 두 종류가 있다.

                  (1)

                  (2)

여기서 $r$은 바퀴의 반지름, $0 < y \le 2r$이다. 식 (1)의 미분 방정식을 풀기 위해 $y$ = $2r \sin^2 \phi$로 치환하여 적분한다.

                  (3)

여기서 $\phi$는 매개변수, $0 < \phi \le \pi / 2$, $dy/dx$는 ($+$)라고 가정, $C$는 적분 상수(constant of integration)이다. 만약 $\pi / 2 < \phi \le \pi$라면, $dy/dx$의 부호를 ($-$)로 택한다. 매개변수 $t$ = $2 \phi$로 다시 치환하고 $t$ = $0$에서 $x$ = $0$이라 두면, 사이클로이드 방정식(equation of a cycloid)은 다음처럼 표현된다.

                  (4)

식 (1)의 해법과 비슷하게 식 (2)의 해도 다음과 같이 유도한다.

                  (5)

따라서 원점에서 시작하는 식 (2)를 위한 사이클로이드 방정식은 다음과 같다.

                  (6)

[그림 2] 두 종류의 사이클로이드

식 (4)와 (6)으로 정의하는 사이클로이드의 궤적은 [그림 2]에 제시되어 있다. 식 (4)는 [그림 1]처럼 바퀴가 굴러갈 때 생기는 사이클로이드이다. 하지만 식 (6)에서 바퀴가 앞으로 굴러갈 때 바퀴 위의 점이 움직이는 회전 방향은 식 (4)와 반대가 된다.

[다음 읽을거리]

1. 등시 곡선

등시 곡선(等時曲線, Tautochrone Curve)

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1. 에너지의 개념

2. 아벨의 적분 방정식

3. 사이클로이드 미분 방정식

[그림 1] 등시 곡선의 개념(출처: wikipedia.org)

등시 곡선(等時曲線, tautochrone curve)은 낙하 높이가 다르더라도 밑바닥까지 떨어지는 시간이 항상 같은 경사면의 모양이다[1]. 등시 곡선의 개념은 예전부터 있었지만, 1823년아벨 21세, 조선 순조 시절에 아벨Niels Henrik Abel(1802–1829)은 등시 곡선을 일반화시키고 관련된 적분 방정식(integral equation)의 해법을 제시했다. 등시 곡선의 영어 표현은 고대 그리스어 타우토크로노스(ταὐτόχρόνος)가 어원이다. 타우토(ταὐτό)는 같은(the same), 크로노스(χρόνος)는 시간(time)이란 뜻이라서, 타우토크로노스는 같은 시간 혹은 등시를 권위 있게 표현한다.

[그림 2] 등시 곡선의 좌표계

[그림 2]에 있는 등시 곡선[빨간색 선]을 유도하기 위한 미분 방정식은 역학적 에너지의 보존(conservation of mechanical energy)으로 쉽게 도출한다.

                  (1)

여기서 $g$는 중력 가속도(gravitational acceleration)이다. 식 (1)에서 속력 $v$는 곡선의 길이 $s$의 시간 변화율[= $ds/dt$]이라서, 등시 곡선의 미분 방정식은 다음처럼 표현된다.

                  (2)

여기서 $s(y)$는 원점에서 현재 지점까지 잰 곡선의 길이, 시간 $t$가 증가할 때 $s(y)$는 줄어들어서 $ds/dt$의 부호는 (-)를 택한다. 그 다음에 식 (2)를 적분해서 아벨의 적분 방정식(Abel's integral equation)을 만든다.

                  (3)

여기서 $T(y_0)$는 높이 $y_0$에서 떨어뜨린 물체가 등시 곡선을 따라 원점에 도착하기까지 걸린 시간이다. 아벨이 제안한 방법으로 $y$에 대한 곡선 길이 $s(y)$의 변화율을 얻는다.

                  (4)

여기서 등시 조건에 의해 항상 $T(y_0)$ = $T_0$이다. 따라서 곡선을 구성하는 좌표점 $(x, y)$는 다음 관계가 성립한다.

                  (5)

여기서 $y_{\max}$ = $2 g T_0^2 / \pi^2$, [그림 2]에 있는 곡선의 궤적에 따라 $dx/dy$의 부호는 (+)이다. 식 (5)의 마지막 결과는 사이클로이드 미분 방정식(cycloid differential equation)이다. 그래서 매개변수 $t$를 이용해서 좌표점 $(x, y)$의 궤적을 다음처럼 공식화한다.

                  (6)

식 (6)이 표현하는 사이클로이드(cycloid)의 궤적은 [그림 1]처럼 그려진다.

[참고문헌]

[1] B. V. Khvedelidze, "Abel problem," Encyclopedia of Mathematics, 2011.

리만–스틸체스 적분(Riemann–Stieltjes Integral)

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1. 적분법의 의미

[그림 1] 리만 적분으로 정의하는 정적분(출처: wikipedia.org)

통상적인 정적분(定積分, definite integral)은 [그림 1]처럼 $x$축을 따라가면서 함수값 $f(x)$가 만드는 면적을 계산한다.

                  (1)

식 (1)을 더 확장하려면 어떤 방법을 택해야 할까? 고급 개념인 벡터(vector)를 적용해서 식 (1)을 선 적분(line integral)으로 만들 수 있다.

                  (2)

혹은 식 (2)에 도입한 벡터 개념을 버린 후, $x$를 대신하는 임의의 곡선 $g(x)$를 적분 변수로 두고 $f(x)$를 단순하게 정적분한다.

                  (3)

여기서 $dg(x)$는 $g(x)$의 미분소(differential), $g(x)$의 움직임을 결정하는 $x$는 단조 증가하거나 감소한다. 식 (3)과 같이 리만 적분(Riemann integral)을 일반화한 정적분은 리만–스틸체스 적분(Riemann–Stieltjes Integral)이라 한다. 리만–스틸체스 적분은 스틸체스Thomas Joannes Stieltjes(1856–1894)가 1894년스틸체스 38세, 조선 고종 시절에 제안했다. 리만 적분의 정의를 이용해서 리만–스틸체스 적분을 더 고상하게 표현할 수도 있다.

                  (4)

여기서 $x_n$은 정적분을 위해 구간 $[a, b]$를 나눈 점, $t_n$은 닫힌 세부 구간 $[x_{n}, x_{n+1}]$ 사이에 있는 임의점이다. 점 $x_n$이 단조 증가인 경우는 다음과 같은 순서 조건을 만족한다.

                  (5)

만약 $g(x)$ = $x$인 직선이라면, 리만–스틸체스 적분은 단순한 리만 적분이 된다. 식 (3)에는 $g(x)$의 미분소가 있으므로, 다음과 같이 $x$에 대한 적분으로 변형하기도 한다.

                  (6)

또한 부분 적분(integration by parts)을 이용해서 미분소 $dg(x)$를 $df(x)$로 바꿀 수도 있다.

                  (7)

여기서 $d[f(x)g(x)]$ = $g(x) df(x) + f(x) dg(x)$이다.

[다음 읽을거리]

1. 아벨의 적분 방정식

2. 오일러–매클로린 공식