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2013년 5월 23일 목요일

원통 좌표계의 MNL 함수(MNL Functions in Circular Cylindrical Coordinates)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "원통 좌표계의 MNL 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 원통 좌표계의 전자장 표현식
2. MNL 함수를 이용한 전자장 표현식
3. 데카르트 좌표계의 MNL 함수

[확인] 본 페이지는 exp(-iωt) 시간 약속을 사용하고 있습니다.

데카르트 좌표계의 MNL 함수 유도와 유사하게 기계적인 방법으로 원통 좌표계의 MNL 함수를 만들 수 있다. 먼저 다음의 일반적인 MNL 함수 정의식을 고려하자.

(1)

(2)

식 (1)과 (2)에서 MNL 함수의 생성 함수(generating function) $\psi$는 아래 식을 만족한다.

(3)

식 (2)에 있는 안내 벡터(piloting vector) $\bar p$는 다음 관계가 성립해야 한다.

(4)

원통 좌표계는 데카르트 좌표계의 $z$방향을 공유하고 있으므로 안내 벡터는 $\bar p = \hat z$라 생각하자. 그러면 데카르트 좌표계와 비슷하게 식 (1)은 원통 좌표계에서 다음처럼 표현된다.

(5)

(6)

그러면 마지막으로 우리가 해야 할 일은 식 (3)의 생성 함수 $\psi$를 정하는 일이다. 이 과정 자체는 무척 번거로운 과정이지만 이미 다음처럼 원통 좌표계에서 전자장 표현식을 얻었기 때문에 어렵지 않다.

(7)

여기서 $Z_n(\cdot)$는 $n$차 베셀 함수 혹은 한켈 함수이다.

만약 자유 공간을 통해 전파하는 전자파를 원통 좌표계에서 표현한다면 식 (7)은 다음처럼 표현할 수 있다.

(8)

식 (8)을 식 (5)와 (6)에 넣고 정리하면 다음과 같다.

(9)

(10)

자유 공간의 경계 조건(boundary condition)은 복사 조건(radiation condition) 밖에는 없으므로 식 (9)와 (10)은 전기장(electric field)이나 자기장(magnetic field)을 마음대로 표현할 수 있다. 따라서 임의의 전기장과 자기장은 원통 좌표계 함수의 완비성(completeness of function in circular cylindrical coordinates)을 이용해 다음과 같이 표현된다.

(11)

여기서 $A_n (\zeta)$, $B_n (\zeta)$는 각각 $z$방향에 대한 TE(Transverse Electric)와 TM(Transverse Magnetic) 모드(mode)의 계수이다. 식 (2)에 있는 $\bar L$ 함수는 자유 공간에서는 의미가 없다. 이를 확인하기 위해 $\bar L$ 함수에 발산(divergence)을 취해보자.

(12)

즉, 생성 함수 $\psi$는 0이 아니기 때문에 $\bar L$ 함수의 발산도 0이 아니다. $\bar L$이 식 (11)처럼 전기장이나 자기장을 표현한다면 전하(electric charge)나 자하(magnetic charge)가 없는 전기장과 자기장의 발산은 반드시 0이 되어야 하므로 $\bar L$은 자유 공간의 전자장 표현식에 사용되면 안된다.

[다음 읽을거리]
1. 구 좌표계의 MNL 함수

2013년 5월 6일 월요일

데카르트 좌표계의 MNL 함수(MNL Functions in Cartesian Coordinates)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "데카르트 좌표계의 MNL 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 데카르트 좌표계의 전자장 표현식
2. MNL 함수를 이용한 전자장 표현식

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기계적으로 전자장 표현식(electromagnetic field representations)을 만들어 주는 획기적인 도구인 MNL 함수 개념을 이용해서 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system)의 MNL 함수 표현식을 만들어 보자.

(1)

(2)

식 (1)과 (2)에서 MNL 함수의 생성 함수(generating function) $\psi$는 아래 식을 만족한다.

(3)

다만 식 (2)에 있는 안내 벡터(piloting vector) $\bar p$는 다음 관계식을 반드시 만족해야 한다.

(4)

편하게 안내 벡터 $\bar p = \hat z$라고 가정하자. 그러면 $\bar p = \hat z$는 식 (4)를 쉽게 만족한다. 이 경우 식 (1)은 다음처럼 간략화될 수 있다.

(5)

(6)

[그림 1] 구형 도파관의 구조(출처: wikipedia.org)

위 내용을 가지고 구형 혹은 사각 도파관(矩形導波管, rectangular waveguide)의 전자장을 표현해 보자. 먼저 생성 함수는 다음처럼 두 가지로 정의한다.

(7)

식 (7)의 첫째식에서 위첨자 $H$는 자기장 경계 조건을 의미한다. 따라서 생성 함수와 안내 벡터 $\bar p = \hat z$를 동시에 고려하면 위첨자 $H$는 $z$방향에 대한 TE(Transverse Electric) 모드(mode)를 표현한다. 마찬가지로 위첨자 $E$는 전기장 경계 조건을 의미하며 $z$방향에 대한 TM(Transverse Magnetic) 모드를 나타낸다.

MNL 함수의 유용성은 구형 도파관 내부의 전자장을 구할 때 나타난다. 식 (7)은 단순한 스칼라 함수를 나타내지만 식 (5)와 (6)에 대입하면 구형 도파관에 존재하는 모든 전자장을 쉽게 나타낼 수 있다.

(8)

(9)

(10)

(11)

따라서 구형 도파관의 모든 전기장은 다음처럼 간단히 표현된다.

(12)

여기서 $A_{mn}$과 $B_{mn}$은 각각 TE$_{mn}$과 TM$_{mn}$ 모드의 계수이다. 식 (12)에 회전(curl)을 취하고 식 (1)과 (13)을 적용하면 자기장도 식 (14)처럼 얻을 수 있다.

(13)

(14)

여기서 $\eta$[= $\sqrt{\mu/\epsilon}$]는 고유 임피던스(intrinsic impedance)이다.

MNL 함수에서 $\bar M$과 $\bar N$ 함수는 위에서 사용했지만 $\bar L$ 함수는 쓰지 않았다. $\bar L$ 함수가 없더라도 도파관 내부의 모든 전자장을 표현할 수 있었다. 이 특성은 왜 성립할까? 이를 이해하기 위해 $\bar L$ 함수를 다음처럼 구해보자.

(15)

(16)

위에 제시한 $\bar L$ 함수에 발산(divergence)을 취하면 다음 관계를 만족한다.

(17)

즉, 생성 함수 $\psi$는 0이 아니기 때문에 $\bar L$ 함수의 발산도 0이 아니다. $\bar L$이 식 (12)나 (14)처럼 전기장이나 자기장을 표현한다면 전하(electric charge)나 자하(magnetic charge)가 없는 전기장과 자기장의 발산은 반드시 0이 되어야 하므로 $\bar L$은 구형 도파관의 전자장 표현식에 사용되면 안된다.

식 (5)를 이용하면 함수 $\bar M$과 $\bar L$은 항상 수직임을 보일 수 있다.

(18)

식 (6)의 마지막식에 $\bar M$의 내적을 취하면 $\bar M$과 $\bar N$도 수직이다.

(19)

$\bar N$과 $\bar L$의 내적은 좀 생소하다. 식 (6)을 이용해 $\bar N$과 $\bar L$의 내적을 구해보자.

(20)

식 (20)이 0이 되어 $\bar N$과 $\bar L$이 수직이 되는 경우를 찾아보자. 예를 들면 다음 관계식이 가능하다.

(21)

전자파가 어떤 경우일 때 식 (21)이 나올까? 우리가 잘 아는 균일 평면파(uniform plane wave)일 때 식 (21)이 성립한다.

[다음 읽을거리]
1. 원통 좌표계의 MNL 함수
2. 구 좌표계의 MNL 함수

2013년 4월 7일 일요일

MNL 함수를 이용한 전자장 표현식(Electromagnetic Field Representations Using MNL Functions)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "MNL 함수 이용 전자장 표현식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

전자파(electromagnetic wave) 연구하기는 맥스웰 방정식(Maxwell's equations), 정확히는 편미분 방정식(partial differential equation) 풀기와 같다. 편미분 방정식 해법은 다양하게 있지만 그 첫걸음은 함수 표현식(function representations)부터 시작한다. 전자파인 경우 좌표계에 따라 다양한 전자장 표현식(electromagnetic wave representations)을 만들 수 있다. 편미분 방정식의 특성을 이용해 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system), 원통 좌표계(circular cylindrical coordinate system), 구 좌표계(spherical coordinate system)의 전자장 표현식을 만들 수 있다. 하지만 이 과정은 매우 번거롭고 귀찮다. 이 과정을 도와주는 획기적인 기법 중의 하나는 MNL 벡터 파동 함수(MNL vector wave functions) 혹은 간단하게 MNL 함수(MNL functions)이다. MNL 함수를 이용하면 임의 좌표계의 전자장 표현식을 기계적으로 구할 수 있다. MNL 함수를 유도하기 위해 맥스웰 방정식을 일반화한 다음 편미분 방정식을 생각한다.

(1)

(2)

식 (1)과 (2)를 비교하면, 식 (2)는 식 (1)의 비동차 미분 방정식(inhomogeneous differential equation)이다. 만약 $\bar \nabla \cdot \bar \Phi = 0$이면 $\bar \Psi = \bar \Phi$이다. 식 (1)과 (2)를 풀기 위해 고리형 전자장(solenoidal field) $\bar K$와 비회전형 전자장(irrotational field) $\bar L$을 도입한다.

(3)

고리형 전자장은 발산(divergence)이 0이지만 회전(curl)은 0이 아니므로, 접선 방향 전자장(transverse field)이라고도 한다. 비회전형 전자장은 반대로 회전이 0이지만 발산은 0이 아니므로, 진행 방향 전자장(longitudinal field)이라 할 수 있다. 식 (3)에 의해 벡터 함수 $\bar K$는 식 (1)과 (2)를 모두 만족하는 일반식이다. 하지만 $\bar L$은 함수의 발산이 0이 아니므로 식 (1)만 만족한다. 식 (3)의 특성에 의해 벡터 함수 $\bar K$는 다음으로 표현할 수 있다.

(4)

여기서 $A_i, B_i$는 벡터 함수 $\bar M_i, \bar N_i$의 상수 계수이다. 벡터 함수 $\bar K$를 $\bar M_i, \bar N_i$으로만 표현하는 이유는 전자파의 TE(Transverse Electric) 모드(mode)와 TM(Transverse Magnetic) 모드를 생각하면 쉽게 이해할 수 있다. 즉, 전자파는 TE와 TM 모드로만 표현되므로 전자장 표현식도 독립적인 두 함수인 $\bar M_i, \bar N_i$만 생각하면 된다.

헬름홀츠의 정리(Helmholtz' theorem)에 의해 임의의 벡터 함수를 유일하게 정의하려면 식 (3)처럼 그 함수의 발산과 회전을 정해야 한다. 따라서 $\bar M, \bar N$의 발산은 0이므로 이 함수의 회전만 정의하면 된다. 쉽게 생각하기 위해 $\bar M$의 회전을 새로운 함수 $\bar N$으로 정한다.

(4)

식 (4)에 발산을 취하면 벡터 함수 $\bar N$의 발산이 0이 되므로, $\bar N$은 식 (3)의 첫째식을 만족하는 또 다른 해이다. 식 (4)에 다시 회전 연산자를 적용하면 $\bar N$의 회전도 정할 수 있다.

(5)

신기하게도 벡터 함수 $\bar M, \bar N$은 서로가 서로를 회전으로 생성한다. 꼬리에 꼬리를 물고 서로를 생성하므로 식 (3)의 첫째식을 만족하는 함수는 $\bar M, \bar N$ 뿐이다. 또한 헬름홀츠의 분해 정리(Helmholtz' decomposition theorem)를 식 (1)에 적용하면 해 $\bar \Psi$는 다음처럼 표현되어야 한다.

(6)

여기서 $A_i, B_i, C_i$는 벡터 함수 $\bar M_i, \bar N_i, \bar L_i$의 상수 계수이며 $\bar L_i$는 식 (1)만 만족한다. 함수 $\bar L$은 식 (3)의 둘째식을 만족하므로 다음 스칼라 함수 $\psi$로 표현할 수 있다.

(7)

스칼라 함수 $\psi$의 성질을 알기 위해 식 (7)을 식 (1)에 대입한다.

(8)

스칼라 함수 $\psi$가 식 (8)의 마지막식을 만족하면 자동적으로 식 (1)이 성립한다. 즉 식 (8)을 만족하는 $\psi$는 식 (7)을 통해 $\bar L$을 생성하고 식 (1)도 만족한다. 또한 $\bar M, \bar N$도 $\psi$를 통해 만들 수 있다. 이런 측면 때문에 $\psi$를 스칼라 생성 함수(scalar generating function)라 한다. 따라서 $\bar M, \bar N$은 어떤 벡터 함수의 회전이라는 성질과 $\psi$를 이용해서 $\bar M, \bar N$을 다시 표현하면 다음과 같다.

(9)

식 (9)에서 생성 함수 $\psi$를 도와주는[혹은 스칼라 특성이 벡터가 되게 하는] 벡터 $\bar p$는 안내 벡터(piloting vector)이다. 식 (9) 정의식 자체로는 $\bar M, \bar N$이 식 (2)를 만족하지 못하므로, $\bar p$가 반드시 필요하다. 이를 이해하기 위해 벡터 항등식(vector identity)을 이용해 식 (9)의 둘째식을 바꾼다.

(10)

식 (10)을 간단히 하기 위해 안내 벡터 $\bar p$가 다음 방정식을 만족한다고 가정한다.

(11)

그러면 식 (10)은 다음처럼 간략화된다.

(12)

식 (12)를 이용해 $\bar M$에 대한 식 (2)를 계산한다. 그러면 자동적으로 식 (2)가 성립함을 보일 수 있다.

(13)

이 부분이 좌표계에 독립적인 MNL 함수의 유용성이다. 맥스웰 방정식은 벡터 기반 방정식이라서 스칼라 함수 관계로 기본식을 표현하기는 매우 어렵다. 하지만 스칼라 방정식인 식 (8)을 계산해서 스칼라 생성 함수 $\psi$만 구하면, 벡터 기반 전자장 표현식을 임의의 좌표계에서 손쉽게 얻을 수 있다. 다만 스칼라 특성을 벡터로 바꾸는 안내 벡터 $\bar p$가 반드시 식 (11)을 만족해야 한다.

[그림 1] 잠자는 비너스(출처: wikipedia.org)

사실 위에 소개한 MNL 함수 이론은 무척이나 따분하다. 맥스웰 방정식을 효과적으로 풀려면 반드시 거쳐가야 하는 관문이니 더 힘들다. MNL 함수를 이해하려다 한국을 비롯한 전세계 대학원생들이 많이 졸았을 것이다. 전자파의 기계적 공식화에서 자그마한 인간미라도 찾기 위해 이 함수의 제안자[1]를 한 번 알아본다. MNL 함수의 발명자는 바로 클라이스트론(klystron)의 발명자 중 한 명인 공학자 겸 물리학자인 핸슨William Webster Hansen(1909–1949)이다. 핸슨은 대학생 시절부터 X선(X-ray)에 관심이 매우 많았다. 특히 고출력 X선 발생기에 관심이 많았지만, 초고전압 DC를 이용한 기술로는 값싼 고출력 X선 발생기를 만들 수 없었다. 그래서 제안한 발명이 AC 전압을 이용하는 고출력 전자파 발생기인 클라이스트론이다. 클라이스트론의 연구 과정에서 나온, 전자기파를 공식화하는 편리한 도구가 MNL 함수이다. 하지만 핸슨은 그렇게 바라던 실용적인 고출력 전자파 발생기의 완성을 보지 못하고, 39세의 젊은 나이에 죽음을 맞았다. 핸슨이 사랑하던 장치인 X선 발생기에 쓰였던 베릴륨(beryllium)에 의한 중독으로 인해, 원래 좋지 않았던 폐에 심각한 이상이 생겼기 때문이다. 핸슨에게는 불행한 특성이지만, 산화 베릴륨(beryllium oxide)은 열 전도성(thermal conductivity)이 매우 좋으면서도 전기 절연체(electric insulator)가 될 수 있는 특이한 물질이어서 X선 발생기에 많이 쓰였다. 핸슨이 죽고 몇 달 후 그의 아내도 자살하였다. 마치 전설로 내려오는 모딜리아니Amedeo Modigliani(1884–1920) 부부의 자살처럼, 한 젊은 연구자 부부에게도 갑자기 불행이 찾아왔다.