로렌스Ernest Lawrence(1901–1958)가 1929년로렌스 28세, 일제 식민지 시절에 발명한 [그림 1]의 사이클로트론(cyclotron)은 최초의 입자 가속기(particle accelerator)이다. 사이클로(cyclo)라는 말은 회전을 의미하며 트론(tron)은 전자(電子, electron)의 축약이다. 사이클로트론은 자기장(magnetic field)으로 구심력(centripetal force)을 만들어 하전 입자(charged particle)를 원 운동 시키면서 전기장(electric field)을 이용하여 하전 입자를 가속한다. 자기장이 구심력을 만드는 원리는 [그림 2]와 같은 로렌츠 힘(Lorentz force)이다.
[그림 1]을 통해 사이클로트론의 동작 원리를 이해하자. 자기장 코일(magnetic field coils: 그림 1의 3)을 이용해 D 모양 전극(D electrode: 그림 1의 1과 2)을 뚫고 나가는 방향으로 자기장을 만든다. 하전 입자에 작용하는 자기력(magnetic force)은 아래와 같다.
(1)
그래서 [그림 1]의 좌측과 같이 원형으로 회전하는 하전 입자는 식 (1)에 의해 중심으로 향하는 구심력을 받게 된다. 즉 [그림 2]와 같이 자기장이 하전 입자를 가두어 둘 수 있다. 하지만, 구심력이 존재하는 경우는 하전 입자에 에너지(energy)를 줄 수 없기 때문에 D 모양 전극에 전압(voltage)을 걸어 전기장이 생기게 한다. [그림 1]의 우측에서 보듯 생기는 전기장은 하전 입자가 움직이는 궤적과 거의 평행이다. 우리가 걸어주는 전압만큼 하전 입자는 운동 에너지(kinetic energy)를 얻어 계속 가속되게 된다. 하전 입자를 전자(電子, electron)라 생각하고 에너지 보존 법칙을 이용해 변화되는 속도 증가 $\Delta v$를 구하면 다음과 같다.
(2)
여기서 $e$는 전자(electron)의 전하량(electric charge), $m_e$는 전자의 질량(mass), $V$는 D 모양 전극에 걸린 전압, $v$는 D 모양 전극에 입사하기 전의 속도이다. 그런데 D 모양 전극을 통과할 때 전자가 가속되기 위해서는 전자의 회전 주기에 따라 가해주는 전압을 주기적으로 바꾸어 주어야 한다. 즉, 전자가 원 운동하는 주파수 $f_c$를 알아야 적절하게 전자를 가속시킬 수 있다.
(3)
여기서 구심력과 자기력이 같다고 놓고 유도하였다. 또한 식 (3)에 있는 $f_c$가 그 유명한 사이클로트론 주파수(cyclotron frequency)이다.
[그림 3] 사이클로트론의 실제 모습(출처: wikipedia.org)
[그림 3]과 같은 실제 사이클로트론을 구동할 때는 가해주는 전압 주파수를 식 (3)에 있는 사이클로트론 주파수에 맞춘다. 그러면 하전 입자가 D 모양 전극을 돌 때 한 주기당 2번씩 가속을 받을 수 있다.
운동체는 [그림 1]과 같이 일정한 각주파수(angular frequency) $\omega$로 원 운동을 하므로, 특정 시간 $t$에서의 위치(displacement) $(x, y)$, 속도(velocity) $v$, 가속도(acceleration) $a$는 아래처럼 쓸 수 있다.
구심력 공식인 식 (3)은 뉴턴의 운동 법칙으로 보통 증명하지만, 최초 제안자는 네델란드의 만물박사인 하위헌스Christiaan Huygens(1629–1695)이다. 하위헌스는 뉴턴 이전인 1659년하위헌스 30세, 조선 효종 시절에 기하학적 논증만으로 식 (3)을 유도했다. 식 (3)에서 얻은 구심력을 [그림 3]과 같은 위치 벡터(position vector: 원점에서 좌표점으로 가는 벡터) 관점에서 바라보자.
식 (3)에 의해 구심력은 위치 벡터의 반대 방향이므로[∵ 위치 벡터는 원점을 뚫고 밖으로 나가는 벡터이므로] [그림 1]과 같이 원 운동의 중심으로 향하는 힘이 된다. 구심력을 에너지(energy) 관점으로 보면, 실제적인 일(work)이 없다. 왜냐하면 구심력이 작용하는 방향과 운동체가 움직이는 방향이 항상 수직이기 때문이다.
[원심 분리기(centrifuge)의 동작 원리]
원심력(遠心力, centrifugal force)은 구심력이 있기 때문에 존재할 수 있는 가상의 힘(fictitious force)이다. 즉, [그림 1]과 같이 회전 운동하는 운동체 내부에 있는 관찰자가 느끼는 가상의 힘을 원심력이라 한다. 예를 들면 자동차가 회전할 때 승객이 느끼는 바깥으로 밀려나는 듯한 힘이 바로 원심력이다. 승객이 자동차에 완전 결합되어 있으면 원심력을 느끼지 못하겠지만, 승객과 자동차의 연결은 느슨하기 때문에 자동차는 정상적으로 구심력[혹은 바퀴의 마찰력]에 의해 회전하나 승객은 관성에 의해 바깥으로 밀려나게 된다. 왜냐하면 자동차는 구심력에 의해 중심으로 당겨지나 승객은 관성에 의해 중심의 반대 방향으로 밀려나는 듯한 느낌을 받기 때문이다.
(1)
(2)
(3)
(1)
(2)
(3)
