[경고] 아래 글을 읽지 않고 "특성 임피던스의 이해"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 전송선 이론
2. 전압파와 전류파
[확인] 본 페이지는 exp(jωt) 시간 약속을 사용하고 있습니다.
(1)
(2)
여기서 $V_0^+, V_0^-, I_0^+, I_0^-$는 계수로서 전압과 전류에 대한
경계 조건(境界條件, boundary condition)을 이용하여 정한다. 또한 전원
($V_S$)에서 부하
($R_L$)로 가는 $+z$ 방향으로 전원에 인가된 입사파
[계수 = $V_0^+, I_0^+$]가 진행한다고 가정한다. 입사 방향과 반대인 $-z$ 방향은 부하에서 전원쪽을 향한다. 그래서 부하에서 반사된 반사파
[계수 = $V_0^-, I_0^-$]는 파동 특성에 따라 $-z$ 방향으로 움직인다. 식 (2)에 있는 전파 상수
(propagation constant) $\gamma$는 다음과 같이 정의한다.
(3)
여기서 $R$
[Ω/m], $L$
[H/m], $G$
[$\mho$/m], $C$
[F/m]는
단위 길이당 해당 물리량이다. 식 (2)는 전압과 전류가 파동임을 의미하므로, 전압과 전류의 비율은 일정한 관계를 가질 것 같다. 혹시
일반화된 옴 법칙(generalized Ohm's law)과 유사한 관계를 가지는가? 이를 알아보기 위해 $V_0^-$ = $I_0^-$ = $0$이라 가정하고,
[혹은 전압파와 전류파는 한쪽 방향($+z$ 방향)으로만 흐른다고 가정하고] 식 (2)를 식 (1)에 대입하여 정리한다.
(4)
그러면 신기하게도 파동의 진폭이나 전달 방향과 관계없이 전압파와 전류파의 비율은 항상 일정한 양이 된다. 따라서 식 (4)의 셋째 줄에 등장한 전압파와 전류파의 비율을 전송선의
특성 임피던스(characteristics impedance)로 새롭게 정의한다. 특성 임피던스라는 이름에
임피던스(impedance: AC 저항)라는 말이 있지만 특성 임피던스는 전류파의 흐름을 방해하는 저항이 아니다. 특성 임피던스는 전송선을 따라 흐르는 전압파와 전류파가 존재하면 이 비율이 입력에 관계없이 항상 일정함을 뜻한다. 다시 강조하지만
특성 임피던스는 전압파와 전류파의 단순한 비율이다. 식 (4)에 있는 전압파와 전류파의 비율은 $R$, $L$, $G$, $C$와 주파수에만 관계되는 양이다. 특성 임피던스는 전류와 전압 비율이므로 특성 임피던스의 단위는 Ω
(옴, ohm)으로 정의한다. 그런데 특성 임피던스는 단순 비율인데 왜 우리가 공부해야 하는가? 특성 임피던스는 전송선의 반사 특성을 알려주는 중요 지표이기 때문에, 전송선 이론에서 매우 중요한 양이다. 전송선의 특성 임피던스를 알면, 전압파와 전류파가 부하에서 반사되지 않도록 전송선을 구성할 수 있다.
만약 $R$ = $G$ = $0$인 손실없는 전송선이라면, 특성 임피던스는
인덕턴스(inductance)와
전기 용량(capacitance)의 비율로 표현된다.
(5)
전송선 내에서 인덕턴스와 전기 용량의 관계를 고려하면 다음이 성립한다.
(6)
(7)
여기서 $L_{\rm ckt}$와 $C_{\rm ckt}$는 회로 이론 관점의 인덕턴스
[H]와 전기 용량
[F], $\beta$는
위상 상수(phase constant)이며, 손실이 없는 경우 $\gamma$ = $j \beta$가 된다.
[원칙적으로 전파 상수와 위상 상수를 구별해서 써야 하지만, 손실이 매우 적은 경우가 대부분이다. 그래서 전파 상수와 위상 상수를 혼용해서 쓰는 경우도 있다.] 식 (6)은
인덕턴스[$\Phi$ = $LI$]와
전기 용량[$Q$ = $CV$]의 정의를 이용해 유도한다.
식 (7)을 식 (5)에 대입하면 특성 임피던스 관계식을 더욱 간략화할 수 있다.
(8)
현실적인 저손실 전송선(low loss transmission line) 개념을 도입한다. 손실이 매우 작으면 $R, L, G, C$ 관점에서 $R \ll \omega L$, $G \ll \omega C$라 가정한다. 그러면 식 (4)는 아래처럼 간략화된다.
(9)
실제 식 (9)에서 특성 임피던스의 허수부는 존재하지만 저손실 조건을 이용해 보통 실수만 있다고 가정한다. 특성 임피던스는
반사도(reflection coefficient)를 정의할 때 주로 사용하는 개념이기 때문에 식 (9)의 매우 작은 허수부는 대세에 영향을 주지 않는다.
[∵ 특성 임피던스가 1 Ω 정도 변하더라도 반사도의 크기는 거의 변하지 않는다.]
[표 1] 부하 조건에 대한 입력 임피던스
특성 임피던스를 측정하려면 [표 1]에 제시한 부하의
입력 임피던스(input impedance) 특성을 이용해야 한다. 여기서 $l$은 전송선의 길이이다. 부하는 보통 개방
(open)과 단락
(short)을 선택한다. 이때 부하를 측정한 입력 임피던스를 각각 $Z_{\rm open}$과 $Z_{\rm short}$라 한다. [표 1]에 제시한 입력 임피던스 특징을 이용하여 다음을 얻는다.
(10)
식 (10)에 의해 개방과 단락의 입력 임피던스를 측정해 기하 평균
(geometric mean)을 취하면 특성 임피던스가 쉽게 환산된다. 여기서 입력 임피던스는
반사 계수(reflection coefficient)를 이용해 결정하며, 반사 계수는 [그림 2]에 있는 회로망 분석기
(network analyzer)를 이용해서 정밀하게 측정할 수 있다.
[그림 2] 회로망 분석기(출처: wikipedia.org)
식 (10)의 관계식을 약간 변형하면
위상 상수 $\beta$도 결정할 수 있다.
(11)