조금은 느리게 살자

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "특성 임피던스의 이해"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 전송선 이론
2. 전압파와 전류파

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[그림 1] 전송선 특성을 표현하는 특성 임피던스(출처: wikipedia.org)

식 (1)이 표현하는 전송선 방정식(transmission line equation)의 해는 식 (2)와 같이 $\pm z$ 방향으로 진행하는 전압파(voltage wave)와 전류파(current wave)로 표현할 수 있다.

(1)

(2)

여기서 $V_0^+, V_0^-, I_0^+, I_0^-$는 계수로서 전압과 전류에 대한 경계 조건(境界條件, boundary condition)을 이용하여 정한다. 또한 전원($V_S$)에서 부하($R_L$)로 가는 $+z$ 방향으로 전원에 인가된 입사파[계수 = $V_0^+, I_0^+$]가 진행한다고 가정한다. 입사 방향과 반대인 $-z$ 방향은 부하에서 전원쪽을 향한다. 그래서 부하에서 반사된 반사파[계수 = $V_0^-, I_0^-$]는 파동 특성에 따라 $-z$ 방향으로 움직인다. 식 (2)에 있는 전파 상수(propagation constant) $\gamma$는 다음과 같이 정의한다.

(3)

여기서 $R$[Ω/m], $L$[H/m], $G$[S/m], $C$[F/m]는 단위 길이당 해당 물리량이다. 식 (2)는 전압과 전류가 파동임을 의미하므로, 전압과 전류의 비율은 일정한 관계를 가질 것 같다. 혹시 일반화된 옴 법칙(generalized Ohm's law)과 유사한 관계를 가지는가? 이를 알아보기 위해 $V_0^-$ = $I_0^-$ = $0$이라 가정하고,[혹은 전압파와 전류파는 한쪽 방향($+z$ 방향)으로만 흐른다고 가정하고] 식 (2)를 식 (1)에 대입하여 정리한다.

(4)

그러면 신기하게도 파동의 진폭이나 전달 방향과 관계없이 전압파와 전류파의 비율은 항상 일정한 양이 된다. 따라서 식 (4)의 셋째 줄에 등장한 전압파와 전류파의 비율을 전송선의 특성 임피던스(characteristics impedance)로 새롭게 정의한다. 특성 임피던스라는 이름에 임피던스(impedance: AC 저항)라는 말이 있지만 특성 임피던스는 전류파의 흐름을 방해하는 저항이 아니다. 특성 임피던스는 전송선을 따라 흐르는 전압파와 전류파가 존재하면 이 비율이 입력에 관계없이 항상 일정함을 뜻한다. 다시 강조하지만 특성 임피던스는 전압파와 전류파의 단순한 비율이다. 식 (4)에 있는 전압파와 전류파의 비율은 $R$, $L$, $G$, $C$와 주파수에만 관계되는 양이다. 특성 임피던스는 전류와 전압 비율이므로 특성 임피던스의 단위는 Ω(옴, ohm)으로 정의한다. 그런데 특성 임피던스는 단순 비율인데 왜 우리가 공부해야 하는가? 특성 임피던스는 전송선의 반사 특성을 알려주는 중요 지표이기 때문에, 전송선 이론에서 매우 중요한 양이다. 전송선의 특성 임피던스를 알면, 전압파와 전류파가 부하에서 반사되지 않도록 전송선을 구성할 수 있다.

전력 시스템(power system) 분야에서는 특성 임피던스 대신 서지 임피던스(surge impedance)란 표현을 쓰기도 한다. 서지(surge)는 회로에서 전력, 전압, 전류 등이 갑자기 급상승하는 상태를 뜻한다. 서지나 급상승이 생겨서 전압이나 전류가 갑자기 커질 때, 서지 전압(surge voltage)과 서지 전류(surge current)가 이루는 비율은 서지 임피던스로 정의한다. 이때 서지는 워낙 짧은 시간에 생겨서 식 (4)처럼 전압파와 전류파는 부하에서 반사되지 않기 때문에, 서지 임피던스는 결국 특성 임피던스와 같다.

만약 $R$ = $G$ = $0$인 손실없는 전송선이라면, 특성 임피던스는 인덕턴스 혹은 유도 용량(inductance) 및 커패시턴스 혹은 전기 용량(capacitance)의 비율로 표현된다.

(5)

전송선 내에서 유도 용량과 전기 용량의 관계를 고려하면 다음이 성립한다.

(6)

(7)

여기서 $L_{\rm ckt}$와 $C_{\rm ckt}$는 회로 이론 관점의 유도 용량[H]과 전기 용량[F], $\beta$는 위상 상수(phase constan t)이며, 손실이 없는 경우 $\gamma$ = $j \beta$가 된다.[원칙적으로 전파 상수와 위상 상수를 구별해서 써야 하지만, 손실이 매우 적은 경우가 대부분이다. 그래서 전파 상수와 위상 상수를 혼용해서 쓰는 경우도 있다.] 식 (6)은 유도 용량[$\Phi$ = $LI$]와 전기 용량[$Q$ = $CV$]의 정의를 이용해 유도한다. 식 (7)을 식 (5)에 대입하면 특성 임피던스 관계식을 더욱 간략화할 수 있다.

(8)

현실적인 저손실 전송선(low loss transmission line) 개념을 도입한다. 손실이 매우 작으면 $R, L, G, C$ 관점에서 $R \ll \omega L$, $G \ll \omega C$라 가정한다. 그러면 식 (4)는 아래처럼 간략화된다.

(9)

실제 식 (9)에서 특성 임피던스의 허수부는 존재하지만 저손실 조건을 이용해 보통 실수만 있다고 가정한다. 특성 임피던스는 반사도(reflection coefficient)를 정의할 때 주로 사용하는 개념이기 때문에 식 (9)의 매우 작은 허수부는 대세에 영향을 주지 않는다.[∵ 특성 임피던스가 1 Ω 정도 변하더라도 반사도의 크기는 거의 변하지 않는다.] 추가적으로 무왜곡 전송 조건(distortionless transmission condition)인 $R/L$ = $G/C$에서 특성 임피던스는 $Z_0$ = $\sqrt{L/C}$처럼 주파수에 무관한 상수가 된다.

[표 1] 부하 조건에 대한 입력 임피던스

특성 임피던스를 측정하려면 [표 1]에 제시한 부하의 입력 임피던스(input impedance) 특성을 이용해야 한다. 여기서 $l$은 전송선의 길이이다. 부하는 보통 개방(open)과 단락(short)을 선택한다. 이때 부하를 측정한 입력 임피던스를 각각 $Z_{\rm open}$과 $Z_{\rm short}$라 한다. [표 1]에 제시한 입력 임피던스 특징을 이용하여 다음을 얻는다.

(10)

식 (10)에 의해 개방과 단락의 입력 임피던스를 측정해 기하 평균(geometric mean)을 취하면 특성 임피던스가 쉽게 환산된다. 여기서 입력 임피던스는 반사 계수(reflection coefficient)를 이용해 결정하며, 반사 계수는 [그림 2]에 있는 회로망 분석기(network analyzer)를 이용해서 정밀하게 측정할 수 있다.

[그림 2] 회로망 분석기(출처: wikipedia.org)

식 (10)의 관계식을 약간 변형하면 위상 상수 $\beta$도 결정할 수 있다.

(11)

위상 상수와 각주파수(angular frequency)의 관계를 이용하면 전송선 내부를 흐르는 전압파와 전류파의 속도(velocity)도 알 수 있다.

(12)

[다음 읽을거리]
1. 전압파의 반사 계수
2. 전송선의 입력 임피던스

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "전압해와 전류해의 유일성"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 페이저를 이용한 임피던스 정의
2. 전송선 이론
3. 전자기파에 대한 유일성 정리

회로 이론(circuit theory)이나 전송선 이론(transmission line theory)으로 문제를 풀 때 한 가지 걱정되는 부분은 유일성(uniqueness)이다. 우리가 얻은 전압이나 전류는 푸는 방법에 관계없이 단 한 가지인가? 다행히 회로 이론과 전송선 이론을 포함하는 맥스웰 방정식(Maxwell's equations)에 대한 유일성 정리(uniqueness theorem)가 증명되었기 때문에 어렵지 않게 회로 이론 전압해와 전류해의 유일성을 증명할 수 있다. 전자기파에 대한 유일성 정리가 성립하려면 전기장(electric field)과 자기장(magnetic field)의 접선 방향 경계 조건(boundary conditions)이 유일하게 정해져야 한다.

[그림 1] 전기장의 연속 조건

전기장의 접선 방향 성분이 연속이라는 조건을 전압(voltage) 관점에서 생각해보자. 이 경계 조건은 [그림 1]을 이용해 생각할 수 있다. 즉, 영역 (I)과 (II)에서 경계면에 접하는 전기장의 접선 성분[노란색 화살표]은 반드시 같아야[연속이어야] 한다. 이 개념을 식 (1)에 제시한 전압 개념에 넣어보자.

(1)

전기장[$\bar E_1 = \bar E_2$]이 같기 때문에 식 (1)에 의해 발생하는 전압[$V_1 = V_2$]도 반드시 같아야 한다. 즉, 경계면에서 전기장이 연속이라는 말은 경계면에 걸리는 전압이 같아야 한다는 조건과 동일하다. 이 개념이 바로 KVL(Kirchhoff Voltage Law)이 된다.

[그림 2] 자기장의 경계 조건

다음으로 [그림 2]를 이용해 자기장의 접선 방향 연속성을 전류(current) 관점에서 알아보자. 자기장의 연속성에 의해 영역 (I)과 (II)의 경계면에 존재하는 자기장[노란색 화살표]은 서로 같아야 한다. 각 영역의 자기장[$\bar H_1 = \bar H_2$]이 같다면 식 (2)의 암페어 법칙에 의해 경계면을 통과하는 전류[$I_1 = I_2$]가 서로 같아야 한다.

(2: 변위전류 포함 암페어의 법칙)

즉, 경계면에서 자기장이 연속이라는 말은 경계면을 통과하는 전류가 같아야 한다는 조건과 동일하다. 이 개념이 바로 KCL(Kirchhoff Current Law)이 된다.

이상을 종합하면 KVL과 KCL의 중요성을 인식할 수 있다. 회로 이론 문제를 풀 때 KVL과 KCL을 연속해서 적용하면 항상 전압해와 전류해를 유일하게 결정할 수 있다. 회로 이론과 전송선 미소 구간(微小區間, infinitesimal interval)의 모형화를 결합하면 전송선 방정식을 얻을 수 있다. 회로 이론의 극한이 전송선 이론이 된다고 생각할 수 있으므로 KVL과 KCL을 적용하면 전송선 이론의 답도 유일하게 얻을 수 있다.