멱영 행렬(冪零行列, Nilpotent Matrix)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "멱영 행렬"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 행렬

2. 행렬의 고유값과 고유 벡터

[그림 1] 상삼각 행렬(upper triangular matrix)의 멱영(nilpotent) 성질(출처: Gemini)

차원(dimension)이 $n \times n$인 정방 행렬(square matrix) $\bf N$을 $k$번 곱해서 영 행렬(zero matrix)이 나오는 행렬을 멱영 행렬(冪零行列, nilpotent matrix)이라 부른다.

                          (1)

여기서 $\bf N$은 영 행렬이 아니며, $k$는 멱영 행렬의 차수(degree)이다. 0이 아니면서 곱해서 0이 되는 성질인 멱영(冪零) 혹은 멱영인(冪零因, nilpotent)은 실수나 복소수(complex number)가 가지지 못한 행렬의 고유한 특성이다. 멱영 행렬은 행렬 곱셈으로 정의되기 때문에, 멱영 행렬의 성질은 주로 고유값(eigenvalue)으로 분석한다.