전압(電壓, Voltage)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "전압"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 좌표계 기반 벡터

2. 구배의 의미
3. 회전의 의미

4. 전기장

[전기(electricity)]

[위치 혹은 포텐셜 에너지(potential energy)]

전압(電壓, voltage) 혹은 전위(電位, electric potential)는 전기장(電氣場, electric field)을 쉽게 표현하기 위한 스칼라 양이다. 전기장은 벡터 함수이지만 전압은 간단한 스칼라 함수로 기술된다. 그래서 스칼라량인 전압을 이용해서 벡터량인 전기장을 표현하면 더 쉽게 전기적 특성을 이해할 수 있다. 임의의 전하 밀도에 의한 정전장(靜電場, static electric field or electrostatics)은 식 (1)로 표현된다.

                           (1)

식 (1)에 있는 거리 역제곱 특성은 식 (2)와 같은 구배 연산자로 표현할 수 있다.

                           (2)

식 (2)를 식 (1)로 치환하여 표현하면 전압 $V$를 구배 연산자로 정의할 수 있다.

                           (3)

식 (3)과 같은 전기 스칼라 포텐셜(electric scalar potential) 혹은 정전 포텐셜(靜電, electrostatic potential) $V$는 1824년푸아송 43세, 조선 순조 시절에 푸아송Siméon Denis Poisson(1781–1840)이 발견하였다[1]. 식 (3)을 보면 전기장은 전압 구배의 반대 방향으로 정한다. 여기서 구배 연산자는 꼭대기 검출기(peak detector)이며 식 (3)의 정의에 ($-$) 부호가 있으므로 꼭대기의 반대 방향인 골짜기[벡터에 ($-$)를 곱하면 정반대 방향이 된다.]를 찾아간다. 즉, 전압의 골짜기를 찾아가는 방향으로 전기장이 정의되며 전기장의 크기는 전압의 차이[미분]에 비례하게 된다. 이 정의를 이해하기 위해 [그림 1]의 양전하 ($+$)와 음전하 ($-$)를 고려한다.

[그림 1] 극성이 다른 전하에 존재하는 전기장(출처: wikipedia.org)

식 (3)의 둘째식을 이용하여 [그림 1] 구조의 전압 분포를 그려본다.

[그림 2] 양전하와 음전하에 의한 전압

[그림 1]에 있는 전하는 점전하이므로 양전하와 음전하가 있는 위치에서 전압은 [그림 2]와 같이 무한대가 된다. 식 (3)의 첫째식을 이용하여 전기장을 그려보면 [그림 3]과 같다.

[그림 3] 양전하와 음전하에 의한 전기장

[그림 3]을 보면 전기장은 전압의 골짜기(전압이 가장 낮은 지점)를 찾아 벡터 방향을 형성하고 있다. 이 방향은 [그림 1]의 전기장 방향과 동일하다. 또한 전압은 전기적인 높이(전위차, 電位差, potential difference)라고 생각할 수 있다. 마치 우리가 물리적인 높이를 재는 것처럼 전압도 제대로 정의되기 위해서는 두 지점의 전압 차이를 재야 한다. 이 개념을 수학적으로 보려면 식 (3)에 선 미분소 $d \bar l$을 내적해야 한다.

                           (4)

식 (4)는 전기장을 이용하여 전압을 정의한다. 즉, 전기장의 선 적분이 전압이 된다. 그런데 식 (4)에 ($-$) 부호는 왜 있을까? 식 (3)을 보면 당연히 ($-$)는 있어야 한다. 다만 ($-$) 부호의 의미를 물리적으로 더 이해하기 위해 식 (4)에 전하 $q$를 곱한다. 쿨롱 법칙에 의해 전기장($\bar E$)과 전하($q$)의 곱은 전기력($\bar F_e$)을 나타낸다.

                           (5)

식 (5)를 보면 전압($V$)과 전하($q$)의 곱은 에너지(energy)를 나타낸다. 만약 $q$ = 1C이라 생각하면 전압($V$)은 에너지(energy)라 생각할 수 있다. 이런 사실로 인해 전압을 전기적인 높이로 생각할 수 있다. 전압은 에너지와 관계 있으므로 [그림 4]와 같이 공을 이용하여 높이를 재는 방법을 고려해 전압 개념을 이해한다.

[그림 4] 공을 이용하여 높이 재기

우리가 높이[$h$ = $B - A$]를 재려면 두 지점[A와 B]을 관측해야 한다. 빨간색 화살표는 중력(重力, gravity)이 작용하는 방향과 반대 방향[벡터 $\hat a$의 반대 방향]으로 높이를 재는 방식을 보여준다. 초록색 화살표는 중력 방향[벡터 $\hat a$]으로 높이를 결정한다. 중력 방향으로 움직이려면 공을 떨어뜨리면 되고 중력 반대 방향은 공을 던지면 된다. 높이 재기는 사실 위치 혹은 포텐셜 에너지(potential energy)를 측정하는 과정이므로, 힘[여기서는 중력]이 작용하는 방향을 고려하여 선 적분을 정의해야 한다. 빨간색 화살표부터 본다. 공을 던져서 높이 재기는 중력의 반대 방향[$-$ 부호]으로 높이 재기이다. 그러면 높이를 구하기 위한 최종 결과식은 끝점[공이 올라간 위치, $z$ = $B$] $-$ 시작점[공을 던진 위치, $z$ = $A$]이 되어야 한다. 다음으로 초록색 화살표를 고려한다. 중력 방향[$+$ 부호]으로 재기 때문에 최종 높이는 시작점[공을 놓은 위치, $z$ = $B$] $-$ 끝점[공이 떨어진 위치, $z$ = $A$]이 된다. 더 쉽게 설명하면 공을 던질 때[작용하는 힘과 반대 방향, $-$ 부호] 높이를 어떻게 재는가? 당연히 낮은 높이[시작점]에서 높은 높이[끝점]로 가기 때문에 끝점 $-$ 시작점로 정의해야 한다. 공을 떨어뜨릴 때[작용하는 힘과 같은 방향, $+$ 부호]는 높은 높이[시작점]에서 낮은 높이[끝점]로 가기 때문에 시작점 $-$ 끝점으로 정의해야 한다. 즉, 높이를 잴 때 작용하는 힘의 방향에 따라 시작점과 끝점을 어떻게 빼주어야[끝점 $-$ 시작점 혹은 시작점 $-$ 끝점] 적절한 높이가 되는지가 결정된다. 이 개념을 전압에 적용하면 식 (6)이 된다.

                           (6)

전기적 높이인 전압을 재려면 A에서 B로 혹은 B에서 A로 선 적분을 할 수 있다. 선 적분 경로에 따라 전압 정의 부호는 ($+$) 혹은 ($-$)로 정확히 집어넣어야 한다. 전압 정의에 ($-$)가 있으면 전기장이 작용하는 방향과 반대 방향[그림 4의 빨간색 화살표]으로 전기적인 높이를 잰다는 의미이다. ($+$) 부호가 있으면 전기장 방향과 동일한 방향[그림 4의 초록색 화살표]으로 전기적인 높이를 정의한다.

[그림 5] 키르히호프 전압 법칙(출처: wikipedia.org)

[키르히호프의 법칙(Kirchhoff's laws)]

[키르히호프 전압 법칙(Kirchhoff Voltage Law, KVL)]

전압은 적분 경로에 관계없이 동일한 값을 가진다. 혹은 폐회로를 따라 측정한 전압의 총합은 항상 $0$이다.

                           (7)

[증명]

식 (7)에 스토크스 정리(Stokes' theorem)를 적용한 후, 회전 연산자(curl operator)의 영인자(nullity)를 적용하면 다음을 얻는다.

                           (8)

따라서 식 (7)을 식 (4)와 같이 전압 관점으로 쓰면, 식 (8)에 의해 다음 식 (9)가 반드시 성립한다.

                           (9)

결과적으로 식 (9)는 식 (7)과 동일하다. 즉, [그림 5]와 같이 특정한 경로를 따라 측정한 전압값은 시작점과 끝점이 같으면 $0$[전압 변화가 없음]이다. 물리적으로 보면 식 (7)과 (9)는 에너지 보존 법칙(conservation of energy)을 표현한다. 한 바퀴 돈 전압의 합이 $0$이 됨은 전압 강하[에너지 소비, 전기 저항 존재]가 있으면 반드시 전압 상승[에너지 공급, 배터리 존재]이 있어야 함을 의미한다.

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헬름홀츠의 정리에 따라 벡터를 명확히 정의하기 위해서는 발산과 회전을 명확히 정의해야 한다. 전압 특성을 이용하여 전기장의 발산과 회전을 기술하면 아래와 같다.

[맥스웰 방정식(Maxwell's equations)]

                                 (10: 쿨롱 법칙의 미분형)

                                 (11: KVL)

맥스웰 방정식에 따라 전압이 만족하는 푸아송 방정식(Poisson's equation)도 유도할 수 있다.

[푸아송 방정식(Poisson's equation)]

                           (12)

[증명]

식 (3)의 전기장과 전압 관계를 쿨롱 법칙의 미분형에 대입하면 식 (13)을 얻을 수 있다.

                           (13)

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식 (12)에서 전하 밀도 $\rho$ = $0$인 경우는 라플라스 방정식(Laplace's equation)이라 부른다. 라플라스 방정식은 원래 중력의 에너지(gravitational energy)을 구하기 위해 라플라스Pierre-Simon Laplace(1749–1827)에 의해 제안되었다[3].

[푸아송 방정식의 유일성 정리(uniqueness theorem of Poisson's equation)]

푸아송 방정식의 해는 유일하다.

[증명]

푸아송 방정식의 유일성 정리는 헬름홀츠 정리의 증명과 비슷하게 유도한다. 먼저 동일한 전하 밀도 $\rho$와 경계 조건을 가진 전압 $V_1$과 $V_2$를 식 (14)와 같이 정의한다.

                           (14)

증명을 위해 제1 그린 항등식을 고려한다.

                         (15)

식 (15)에서 $f$ = $W$, $g$ = $W^*$[켤레 복소수]라 두고 식 (14)의 결과를 적용하면

                         (16)

여기서 닫힌 표면적에서의 함수값이 $0$이기 때문에 식 (16)의 좌변은 항상 $0$이다[∵ 전압 $V_1$과 $V_2$의 경계 조건은 같기 때문이다.] 그러면 $W$의 구배는 항상 $0$임을 알 수 있다.

                         (17)

식 (17)과 같이 구배가 $0$이면 $x, y, z$의 함수가 아니므로 $W$는 상수가 된다. 즉, 전압 $V_1$과 $V_2$는 상수 차이 만큼을 제외하고는 동일한 함수이다. 또한 전압은 차이가 중요할 뿐 절대값 자체는 중요하지 않으므로,[∵ 전압은 전기적인 높이인 포텐셜이므로 높이 기준을 어디에 두는가는 중요하지 않다. 다만 그 차이에 해당하는 구배만이 중요하다. 전압의 구배인 전기장이 실제적으로 중요한 물리량이다.] 전압 $V_1$과 $V_2$는 동일한 함수라고 생각할 수 있다.

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[그림 6] 건전지(dry cell)의 다양한 종류(출처: wikipedia.org)

[그림 7] 단추 전지(button cell)의 다양한 종류(출처: wikipedia.org)

전압의 특성을 실생활에서 느낄 수 있는 경우는 [그림 6, 7]의 전지가 될 수 있다. 우리에게 익숙한 AA, AAA형 건전지는 미국 표준 협회인 ANSI(American National Standards Institute)에서 제정했다[2]. 미국이 전지 이름을 정할 때 전지가 담을 수 있는 용량(capacity) 순으로 A, B, C 등의 이름을 붙였다. 즉, A는 매우 적은 용량, B는 적은 용량, C는 중간 용량, D는 약간 큰 용량 등으로 매겼다[2]. 제2차 세계대전 이후인 1947년에 등장한 A보다 작은 크기의 전지는 용량이 A와 비슷하므로 AA로 결정했다. 트랜지스터(transistor, TR)가 상용화된 이후인 1954년에 나온 전자 회로에는 매우 작은 크기의 전지가 필요해서 이름을 AAA로 붙였다. 다시 말하면 매우 적은 용량의 A형 전지의 이름은 나온 시간 순서대로 A, AA, AAA, AAAA 등으로 붙인다. A가 많이 붙을수록 최근에 나온 전지이므로, 기술 발달 과정을 생각하면 전지의 물리적 크기는 작아져야 한다.

[참고문헌]

[1] R. Nevels and C.-S. Shin, "Lorenz, Lorentz, and the gauge," IEEE Antennas Propagat. Mag., vol. 43, no. 3, pp. 70–71, June 2001.

[2] American National Standards Institute (ANSI) Accredited Standards Committee C18 on Portable Cells and Batteries, A Brief History of the Standardization of Portable Cells and Batteries in the United States, 2002.

[3] 김계환, 김성숙, "라플라스의 생애와 현대과학에 미친 영향", 한국수학사학회지, 제32권, 제6호, pp. 271–279, 2019년 12월.

[다음 읽을거리]
1. 전류
2. 금속의 성질
3. 맥스웰 방정식
4. 저항
5. 전자기파에 대한 유일성 정리
6. 커패시터
7. 전기장의 에너지
8. 전기 쌍극자 모멘트

9. 마디와 폐로 해석

10. 라플라스 방정식용 등각 사상