음의 주파수는 존재하는가?(Is Negative Frequency Real?)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "음의 주파수는 존재하는가"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 복소수

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삼각 함수의 푸리에 변환(Fourier transform)을 계산할 때 아래 공식을 많이 사용한다.

                       (1)

식 (1)의 우변에 음의 값을 가진 각주파수(angular frequency)가 등장하게 된다. 이때 책에서는 음의 주파수(negative frequency)는 의미가 없으니 무시하라고 한다. 식 (1)의 우변이 의미가 없다면 식 (1) 자체가 이상해지지 않나! 그래서, 이게 맞는 말인지 고민하게 된다. 단순하게 생각하면 음수인 주파수는 매우 이상하다. 그래서 음의 주파수를 무시할 수도 있지만 우리가 괜히 선입견을 가지고 보는 것은 아닐까? 이를 좀더 이해하기 위해 페이저(phasor)에 사용하는 오일러 공식(Euler's formula)을 살펴보자.

                       (2)

기계적으로 식 (2)의 각주파수 $\omega$에 (-)를 대입하면 아래식을 얻는다.

                       (3)

단순히 사인 함수(sine function)의 부호만 바뀌므로, 음의 주파수를 가정하더라도 문제가 생기지 않는다.

[그림 1] 양의 주파수의 기하학적 의미(출처: wikipedia.org)

페이저의 기하학적 의미인 [그림 1]을 보면 음의 주파수를 더 잘 이해할 수 있다. 별게 아니고 [그림 1]에 있는 양의 주파수와는 반대 방향으로 돌아가는 페이저를 음의 주파수로 생각할 수 있다. 그러면 식 (1)을 더 잘 이해할 수 있다. 복소수(complex number)로 표현한 페이저라는 개념은 실수(real number)인 실제 신호를 수학적으로 간편하게 표현하기 위한 표기법이므로 음의 주파수 존재성을 굳이 고민할 필요는 없다. 즉, 원래 실수인 신호를 계산 편의상 복소수인 페이저로 바꾸기 때문에, 이 복소수 표현식을 다시 실수로 만들려면 음의 주파수가 꼭 필요하다. 예를 들어, 식 (1)에 따라 실수 신호는 양과 음의 주파수를 가진 복소 지수 함수의 합으로 나타낼 수 있다. 특히 전자파 산란을 공부하는 연구자는 식 (4)에 제시한 음의 주파수를 항상 사용한다.

                          (4)

실제적인 고민은 파동 이론을 배울 때 생긴다. 전자파(electromagnetic wave)는 파동이므로 아래 주파수–파장 관계식을 만족한다.

                          (5)

식 (5)에 음의 주파수 개념을 넣어보자.

                          (6)

이 경우에도 음의 주파수는 문제가 되지 않는다. 파장(wavelength)이 음수가 될 수 있다는 가정을 추가하면 쉽게 해결된다.

[그림 2] 초음속을 돌파하는 전투기(출처: wikipedia.org)

음의 주파수의 물리적 의미를 보기 위해 [그림 2]의 초음속(supersonic speed)을 생각해보자. [그림 3]은 전투기가 음속을 넘어설 때 생기는 음속 폭음(sonic boom)을 보여준다.

[그림 3] 음속 폭음의 형성(출처: wikipedia.org)

[그림 3]의 음속 폭음을 보면 음의 주파수 의미를 볼 수 있다. 전투기의 속도가 음속 이하일 때는 먼저 발생한 신호가 수신부에 먼저 도착한다. 이는 양의 주파수로 볼 수 있다. 하지만, 전투기의 속도가 음속을 초과하면 전투기를 진행하는 방향에서는 먼저 발생한 신호가 나중에 도착한다. 이 경우는 음의 주파수가 된다. 이 개념으로 식 (6)을 보면 음의 주파수와 음의 파장을 이해할 수 있다. 예를 들어, 신호원이 시간 $T_1$과 $T_2$[$T_2 > T_1$]에 한 번씩 파동을 쏜다고 가정하자. 신호원이 파동의 속도보다 느리면 먼저 발생한 신호[$T_1$]가 먼저 도착하므로 $T = T_2 - T_1$이 되어 시간의 주기 $T$[= $1/f$] 관점에서는 당연히 (+)가 된다. 반대로 신호원이 파동 속도보다 빠르게 움직이면 먼저 발생한 신호[$T_1$]가 수신부에는 늦게 도착해 시간의 주기 $T$[= $1/f$]가 역전되어 (-)가 된다.[∵ 수신부에서는 $T_1, T_2$ 순이 아닌 $T_2, T_1$ 순으로 측정되므로 $T = T_1 - T_2$가 되어 (-)가 된다.] 또한, 공간의 주기를 의미하는 파장도 먼저 발생한 신호[$T_1$]가 늦게 측정되므로 (-)가 된다. 그렇더라도 식 (6)에 의해 파동의 속도는 (+)로 일정하게 된다. 따라서, 음의 주파수는 송신부와 수신부의 시간 기준이 역전됨으로써 발생한다고 생각하면 된다.

[그림 4] 타키온의 가상적인 측정 모습(출처: wikipedia.org)

이상의 논의를 바탕으로 음의 주파수는 실체가 있는 개념으로 생각할 수 있다. 하지만, 애석하게도 전자파 관점에서는 신호원의 속도가 진공중의 광속을 초과할 수 없다. 바로 특수 상대성 이론(special theory of relativity)때문이다. 신호원의 속도가 점점 증가해 광속에 가까이 가면 에너지(energy)가 무한대로 접근하므로 광속을 넘어갈 수는 없다. 하지만, 신호원이 원래부터 광속을 초과한 상태라면 문제가 되는가? 이론적으로는 문제가 없다. 아직 발견되지 않았지만[혹은 실제로 존재하지 않을 수도 있지만] 광속을 초과한 가상의 입자에도 이름이 붙어져 있다. 바로 [그림 4]의 타키온(tachyon)이다. 그리스어 타키(ταχύ)는 빠름을 뜻한다. 타키온이 존재하더라도 이 입자의 속도는 광속을 초과하기 때문에 가까이 오기 전까지는 절대 측정할 수 없다. 타키온이 가까이 오는 경우와 지나쳐가는 경우 [그림 3]과 같은 음속 폭음 현상이 나타나기 때문에 [그림 4]와 같은 가상적인 측정 결과를 얻을 수 있다. 하지만 현재까지 타키온은 발견된 적 없으므로 상상의 입자이다.

우리 생각을 더욱 확장해보면, 우리가 쓰는 주파수는 실수 범위에만 머물 필요가 없다. 복소 주파수(complex frequency)도 충분히 가능하다[1], [2]. 복소 주파수가 특별히 새로운 개념은 아니다. 라플라스 변환(Laplace transform)에 나오는 $s$가 바로 복소 주파수이다. 이런 상식적인 개념과는 약간 다르게 [1], [2]에 나오는 복소 주파수는 공진기(resonator)나 안테나(antenna)를 위한 개념이다. 각주파수를 복소 각주파수(complex angular frequency)로 바꾼 경우, 전기장(electric field) $\bar E$, 에너지(energy) $W$, 손실 전력(loss power) $P_l$의 특성을 보자.

                          (7)

여기서 $\Omega$는 복소 공진 주파수(complex resonant frequency)라 한다. 식 (7)을 이용하면 공진기 혹은 안테나가 가진 품질 계수(quality factor)를 계산할 수 있다[2].

                         (8)

식 (8)에서 공진 각주파수(resonant angular frequency) $\omega_0$는 당연히 복소 각주파수의 실수부 $\Omega_r$이 된다.

[참고문헌]

[1] M. Tsuji, H. Shigesawa, and K. Takiyama, "On the complex resonant frequency of open dielectric resonators," IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. 31, no. 5, pp. 392–396, May 1983.

[2] L. Li and C.-H. Liang, "Analysis of resonance and quality factor of antenna and scattering systems using complex frequency method combined with model-based parameter estimation," Progress In Electromagnetics Research, vol. 46, pp. 165–188, 2004.