포인팅의 정리(Poynting's Theorem)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "포인팅의 정리"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 맥스웰 방정식
2. 대칭적인 맥스웰 방정식
3. 정말 유용한 페이저 개념
4. 저항
5. 전기장의 에너지
6. 자기장의 에너지

[확인] 본 페이지는 exp(-iωt) 시간 약속을 사용하고 있습니다.

[그림 1] 쌍극자에서 복사되는 전자파(출처: wikipedia.org)

전자파(electromagnetic wave) 특성 계산에서 흔히 사용하는 포인팅의 정리(Poynting's theorem)는 전자파의 전력 전달 특성을 설명한다. 전기장(電氣場, electric field)과 자기장(磁氣場, magnetic field)으로 구성된 전자파는 전력(電力, power)을 어떻게 전달할까? 이름에서도 알 수 있듯이 포인팅 정리의 공식적인 증명은 1884년포인팅 32세, 조선 고종 시절에 포인팅John Henry Poynting(1852–1914)이 하였다[1, 3].[포인팅에게는 억울한 일이지만, 포인팅 벡터의 최초 증명[2, 4]은 은둔의 과학자인 헤비사이드가 먼저 했다.] 포인팅은 포인팅의 정리를 증명하기 위해 시간 편미분을 이용해 이론 전개를 했다. 우리는 시간 편미분 대신 페이저(phasor)를 이용해서 더 쉽게 접근한다. 이에 따라 대칭적인 맥스웰 방정식(symmetric Maxwell's equations)을 먼저 고려한다.

                                (1: 쿨롱의 법칙)

               (2: 패러데이의 법칙)

                                (3: 비오-사바르의 법칙)

                  (4: 변위 전류 포함 암페어의 법칙)

식 (2)와 (4)의 켤레 복소수(complex conjugate)에 자기장의 켤레 $\bar H^*$와 전기장 $\bar E$를 각각 곱하여 빼주면 식 (5)의 벡터 항등식 형태로 만들수 있다.

                         (5)

그러면 아래 식 (6)을 얻을 수 있다.

                         (6)

여기서 $\epsilon$과 $\mu$는 실수(real number)로 가정한다. 식 (6)에서 자기장에 켤레 복소수를 적용한 이유는 평균 전력(average power)을 적용하기 위해서이다. 이 부분은 아래 식 (13)에서 자세하게 설명한다. 별생각 없이 보면, 현재까지 유도한 식이 공식 놀음이라 생각할 수도 있다. 그래서 포인팅 정리는 다음 단계가 더 중요하다.

[그림 2] 체적과 표면적의 방향 정의(출처: wikipedia.org)

식 (6)을 [그림 2]의 $V$에 대해 체적 적분해서 좌변에 발산 정리(divergence theorem)를 적용해 포인팅 정리의 물리적 의미를 파악한다.

          (7a: $e^{-i \omega t}$)

          (7b: $e^{j \omega t}$)

여기서 표면 $s$를 만드는 $d\bar a$는 체적 $v$를 뚫고 바깥으로 나가는 방향을 가진다. 식 (7)에 존재하는 항목을 차례로 살펴본다.

• : 복소 포인팅 벡터(complex Poynting vector)로서 전자파가 이송하는 전력 밀도[W/㎡]를 나타내며, 벡터 $\bar S$의 방향은 전자파의 에너지 전달 방향; 전자장 계량기(EMF(electromagnetic field) meter)에서 mW/㎠ 단위를 쓰기도 하며, 1 mW/㎠ = 10 W/㎡로 환산됨
• : 전류(electric current)가 생산[음의 양]하거나 소비[양의 양]하는 전력 밀도[W/㎥]이며, 전력의 생산과 소비는 전기장(electric field)에 대한 전류의 방향이 결정
• : 자류(magnetic current)가 생산[음의 양]하거나 소비[양의 양]하는 전력 밀도[W/㎥]이며, 전력의 생산과 소비는 자기장(magnetic field)에 대한 자류의 방향이 결정
• : 전기장이 가진 에너지 밀도[J/㎥]이며, 전기장이 커지면 에너지도 커짐
• : 자기장이 가진 에너지 밀도[J/㎥]이며, 자기장이 커지면 에너지도 커짐

새로운 벡터 $\bar S$는 페이저를 사용해서 필연적으로 복소수가 포함되어 복소 포인팅 벡터(complex Poynting vector)라 부른다. 만약 포인팅을 따라 시간 편미분으로 유도하면 $\bar S$ = $\bar E \times \bar H$라 쓰고 그냥 포인팅 벡터(Poynting vector)라 한다. 이런 포인팅 벡터의 정의는 전자파가 전달하는 전력 밀도의 유일한 공식화라는 관찰을 거부하는 논문도 다수 있다[2, 5]. 예를 들어 포텐셜 관점에서 $\bar E$ = $i \omega \bar A - \bar \nabla \phi_e$, $\bar H$ = $i \omega \bar F - \bar \nabla \phi_m$으로 둔다면, 식 (6)에 $\bar S$ = $\bar E \times \bar H^*$ 대신 $(\bar E \pm \bar \nabla \phi_e) \times \bar H^*$, $\bar E \times (\bar H \pm \bar \nabla \phi_m)^*$ 등을 쓴다고 왜 문제가 되느냐는 주장이다. 혹은 $\bar S$는 발산 연산자 속에 있으므로, $\bar S + \bar \nabla \times \bar F$를 식 (6)의 좌변에 넣어도 관계식이 성립해서 $\bar S$는 유일하지 않다고 증명한다. 여기서 $\bar F$는 임의의 벡터이다. 그래서 포인팅 벡터의 정의가 유일하지 않으며 응용에 따라 선별해서 써도 된다는 의견을 펼치고 있다[5]. 이에 대한 반론으로 전자기력에 대한 국소성의 원리(principle of locality)를 도입한다[6]. 힘이 순간적으로 물체에 영향을 준다는 원격 작용(action at a distance)의 반대 개념인 국소성의 원리는 멀리 떨어진 물체에 힘을 미치려면 장(場, field)과 전달 시간이 필요하다는 뜻이다. 국소성의 원리에 따라 전기력과 자기력을 미치는 근원은 전기장과 자기장이며, 이 전자기장은 맥스웰 방정식에 따라 전달되어 전하나 자석에 힘을 전달한다. 전자기장 표현식은 다양한 포텐셜의 합으로 설명할 수 있지만 힘의 전달은 오직 전자기장에 의해서 이루어지므로, 전력 밀도는 전기장과 자기장을 이용해서 전개해야 국소성의 원리를 만족하게 된다. 이로 인해 전자파의 전력 밀도는 $\bar S$ = $\bar E \times \bar H^*$로 유일하다[6].

위에 제시한 설명을 바탕으로 식 (7)을 다시 표현할 수 있다. 식 (7)의 좌변은 포인팅 벡터를 포함하고 있다. 식 (7)의 좌변 앞에 ($-$) 부호가 있으므로 포인팅 벡터는 특정한 닫힌 면적을 뚫고 들어가는 방향[그림 2에서 $-n$ 방향]이다. 이 특성은 식 (7)의 우변과 같아야 한다. 식 (7)의 우변은 전류의 소비 전력, 자류의 소비 전력, 전기장의 저장 전력, 자기장의 저장 전력과 같다. 즉, 식 (7)의 우변은 모두 전력과 관계된다. 따라서, 식 (7)의 우변에 있는 포인팅 벡터는 전력 밀도를 의미해야 하고 특정 체적 $V$를 뚫고 들어가는 포인팅 벡터는 그 체적 $V$의 입력으로 작용해서 체적에서 사용하는 전력[소비 혹은 저장]과 같아야 한다. 이러므로 포인팅 벡터를 전자기파가 이송하는 전력 밀도로 정의함이 타당하다. 식 (7)의 우변에 있는 소비 전력을 이해하기 위해 식 (8)과 (9)를 고려한다.

        (8)

        (9)

여기서 전류 $I_e$와 자류 $I_m$은 일정하다고 가정하며, $V_e, V_m$은 전기와 자기 포텐셜(potential)을 나타낸다. 쉽게 말해 전기력[= 전하 × 전기장]이 작용할 수 있는 공간에서 전류가 전기력과 같은 방향으로 흐르면 전력이 소비된다는 의미이다. 자기장도 마찬가지로 생각할 수 있다. 자기력[= 자하 × 자기장]하에서 자류가 힘의 방향과 같은 방향으로 흐르면 전력은 소비된다. 이 부분이 잘 이해가 안 되면 맥스웰 방정식의 쌍대성(雙對性, duality)을 상기한다. 다만, 식 (8)과 (9)처럼 전기장과 자기장이 전기 포텐셜[전압]과 자기 포텐셜[자압]로만 표현되지 않고 전기와 자기 벡터 포텐셜(vector potential)까지 고려해야 정확한 계산이 된다. 식 (8)과 (9)에서 최종식이 포텐셜로만 표현되지만, 소비 전력의 의미 이해에는 큰 지장이 없다. 왜냐하면 전기장은 전기력과 연계되고 전기력을 거리에 대해 적분하면 전기 에너지가 되는 관계때문이다. 이를 이해하기 위해 다음 식 (10)을 본다. 이 경우 전기 포텐셜을 전기장의 거리 적분으로 생각하면 쉽다.

                (10)

식 (10)의 유도에서 $q_e$ = $0$ 조건을 가정한다. 저항(resistor)이나 도선에서는 전류가 계속 해서 흐르기 때문에 이 가정은 타당하다. $q_e \ne 0$인 경우는 전하가 축적되는 현상이므로 커패시터(capacitor)와 관계있으며 이는 전기장의 에너지 밀도인 식 (11)로 유도된다. 만약 $\bar M$ = $0$이면 소비 전력은 식 (8)로만 표현된다. 하지만 힘을 생성하는 원천은 전기력과 자기력인데 식 (8)에는 전기장만이 나타나 있다. 무엇이 문제일까? 사실 문제가 되는 부분은 전혀 없다. 자기력이 있지만 항상 전류가 흐르는 방향과 수직인 방향으로 생기므로 식 (8) 입장에서는 전력 기여가 없다. 이상의 논의를 고려하면 식 (8)과 (9)가 소비 전력을 의미함은 분명하다. 마지막으로 식 (7)의 마지막 두 항이 저장 전력 밀도가 되는 이유를 살펴본다. 이를 위해 페이저(phasor)를 쓰지 않고 시간 영역에서 두 항을 유도한다.

                         (11)

                         (12)

식 (11)과 (12)의 우변을 보면, 에너지 밀도는 시간에 대해 미분된다. 에너지의 시간 미분은 전력이 되므로 식 (11)과 (12)의 좌변은 전력 밀도가 됨을 쉽게 알 수 있다.

식 (7)의 포인팅 정리는 수학적 관계이므로, 시간 변화가 없는 직류(DC) 경우에도 성립한다. 이 경우 포인팅 벡터는 전자파가 아닌, 순수 전기장과 자기장이 이송하는 전력 밀도를 의미한다.[$\because$ 시간 변화가 없으면 통상적으로 전자파는 발생하지 않는다.]

페이저(phasor) 정의를 이용해서 전자기파의 평균 전력(average power) 특성을 살펴본다.

                          (13)

여기서 $\epsilon, \mu$는 실수(real number)로 가정한다.[∵ 전자파가 공기 중으로 전파될 때는 손실이 거의 없으므로 실수로 가정해도 된다.] 식 (8)과 (9)의 논의를 통해 식 (13)의 의미를 헤아린다. 식 (13)의 우변이 ($+$)이면 주어진 체적에서 소비되는 전력이다. 전자파는 전력 보존 법칙(conservation of power)이 성립해야 하므로, 식 (13)의 좌변은 반드시 체적내로 유입되는 전자파의 평균 전력이 되어야 한다. 이런 특성 때문에 식 (6)과 (7)에서 포인팅 벡터를 정의할 때, 자기장에 켤레 복소수를 취한다. 이와 비슷한 관계는 평균 AC 전력(average AC power)을 정의할 때도 쓰인다. 예를 들어, 전류의 켤레 복소수로 평균 AC 전력을 정의한 것처럼 전자파의 평균 전력은 자기장[자기장과 전류는 밀접한 관계]의 켤레 복소수를 사용한다. 식 (13)을 보면 전자기파의 평균 전력[식 (13)의 좌변]에 영향을 줄 수 있는 부분은 전류 혹은 자류가 만들거나 소비하는 전력이다. 원천(source) 역할을 하는 전류와 자류는 보통 유한한 체적[식 (13)의 우변에 있는 $v$]내에만 존재하므로 식 (13)의 좌변에 있는 표면적($s$)을 어떻게 잡더라도 식 (13)의 우변은 일정하다. 즉, 유입된 전자기파의 평균 전력[식 (13)의 좌변]은 전류와 자류의 전력 소비분[식 (13)의 우변]과 항상 일정하다. 혹은 전류와 자류의 전력 생산분[식 (13)의 우변에 ($-$)을 취함]은 방출된 전자기파의 평균 전력[식 (13)의 좌변에 ($-$)를 취함]과 같다. 그래서, 식 (13)은 수학적으로 재미있는 결론을 낸다. 전자파 전력을 계산하기 위한 표면적($s$)은 전류와 자류를 포함하게만 잡는다면 어떠한 표면적이라도[혹은 무한대로 잡아도] 관계없다.[혹은 전류와 자류를 포함하도록 어떤 표면적($s$)을 잡더라도 평균 전력은 항상 보존되어 어느 위치에서나 같다.] 우리에게 자유를 부여하기 때문에, 이와 같은 특성은 수학자들이 매우 좋아하는 관계이다.

발산 정리(divergence theorem)를 이용해 식 (13)을 미분형(differential form)으로 표현하면 아래와 같다.

                          (14)

즉, 평균 포인팅 벡터(average Poynting vector)의 발산은 전류와 자류 전력 밀도의 실수부(real part)가 된다.[여기서 평균은 시간 평균(time average)이다.]

                         (15)

예를 들어, 식 (13)과 (14)에 $\bar J$ = $\bar M$ = $0$ 조건[원천 없음]을 부여하면 식 (15)를 얻는다. 원천이 없기 때문에 표면 적분이 0이 되어 전자파의 평균 전력은 0이 된다. 이 뜻은 특정 영역에 유입된 전자파 전력은 반드시 다른 영역으로 방출된다는 뜻이다.

포인팅 벡터가 가진 다른 측면을 보려고 원역장(far field)에서 $\bar S$의 허수부(imaginary part)에 집중한다. 원역장이란 의미는 원천에서 매우 멀어진 영역을 의미한다.[이론적으로는 원천에서 무한대 만큼 멀어져야 원역장이 된다.] 원역장에서는 전기장과 자기장의 관계가 균일 평면파(uniform plane wave)가 되므로 포인팅 벡터의 허수부는 항상 0이 된다. 따라서, 원역장에서 다음 관계가 성립한다.

                       (16)

식 (16)을 예쁘게 모으면 전류와 자류 전력 밀도의 허수부는 다음 관계식을 반드시 만족해야 한다.

                        (17)

그래서 복사되지 못하는 전류와 자류의 전력 생산분은 전기장과 자기장의 에너지로 축적된다. 그리고 원천 위치에 몰려있는 전류와 자류의 전력 생산분이 유한하면 전공간에 퍼지는 전기장과 자기장의 에너지 차이도 반드시 유한하다.

[그림 3] 원천을 포함하는 가상의 구

이제까지 논의한 개념을 바탕으로 포인팅 정리를 원천 $\bar J, \bar M$ 없이 표현한다. 먼저 식 (7a)를 아래처럼 원천 관점에서 다시 쓴다.

                        (18)

여기서 문제 영역은 [그림 3]처럼 반지름이 $r$ = $r_1$인 가상 구[그림 3의 초록색 구]이며, 이 가상 구는 모든 원천을 포함한다. 식 (13)과 (17)을 살펴보면, 원천이 만드는 실수 전력(real power)은 복사 전력($P_r$)이며, 원천의 허수 전력(imaginary power)은 해당 체적이 포함하는 전기장과 자기장 에너지의 차이와 관련된다. 회로 측면에서 실수와 허수 전력은 각각 유효 전력(effective or available power) 및 무효 전력(reactive power)을 의미한다. 따라서 식 (18)에서 체적 반지름을 $r \to \infty$로 설정한 경우, 다음처럼 원천에 대한 체적 적분 관계식을 새롭게 얻을 수 있다.

                       (19)

여기서 $P_r$은 실수이며 전자파의 복사 전력(radiated power)을 나타낸다. 식 (19)를 식 (18)에 대입하면 임의 위치의 포인팅 벡터는 다음을 반드시 만족한다.

                        (20)

여기서 $r \le r_1$ 안에 모든 원천이 위치한다.

[그림 4] 태양빛의 복사 압력을 이용한 우주 탐사선(출처: wikipedia.org)

포인팅 벡터는 전자파의 에너지 전달을 표현하고 있다. 에너지(energy)는 힘(force)과 관계되므로, 전자파는 에너지 전달 방향으로 운동량(momentum)을 만들고[전자파를 포함한 파동은 운동량을 만든다. 해변에 생기는 파도에 물체가 밀리는 이유는 파동의 운동량 때문이다.] 압력(pressure)을 가하고 있다. 이 현상은 복사 압력(radiation pressure)이라 부른다. 복사 압력 관계식을 구하기 위해 먼저 전력과 힘 관계식을 고려한다. 

                       (21)

파동의 경우는 속도가 일정하므로 식 (21)에서 $\bar v$는 상수이다. 또한 압력은 힘을 면적으로 나눈 값이므로, 전자파에 대해 다음 관계가 성립한다.

                       (22)

여기서 $\mathfrak{\bar f}$는 단위 면적당 힘[혹은 복사 압력]이다. 식 (22)에서 면적 적분의 방향을 포인팅 벡터 방향으로 잡으면, 포인팅 벡터를 이용해 복사 압력 $\mathfrak{\bar f}$를 정의할 수 있다.

                        (23)

따라서 전자파의 전력 밀도 $\bar S$는 복사 압력 $\mathfrak{\bar f}$와 파동 속도 $\bar v$로 쉽게 설명된다.

[참고문헌]

[1] J. H. Poynting, "On the transfer of energy in the electromagnetic field," Proc. Roy. Soc. London, vol. 175, pp. 343–361, Jan. 1884.

[2] A. E. Emanuel, "About the rejection of Poynting vector in power systems analysis," Journal of Electrical Power Quality and Utilisation, vol. 13, no. 1, 2007.

[3] G. Pelosi and S. Selleri, "[Historical Corner] Energy in electromagnetism: The Poynting vector," IEEE Antennas Propag. Mag., vol. 59, no. 6, pp. 148–153, Dec. 2017.

[4] O. Heaviside, "The induction of currents in cores," Electrician, vol. 13, pp. 133–134, Jun. 1884.

[5] C. O. Hines. "Electromagnetic energy density and flux," Can. J. Phys., vol. 30, no. 2, pp. 123–129, Mar. 1952.

[6] A. Bossavit, "A note on the uniqueness of the Poynting vector and of the Maxwell tensor," Int. J. Numer. Model.: Electron. Netw. Devices Fields, vol. 31, no. 2, pp. 1–6, Mar./Apr. 2018.

[다음 읽을거리]
1. 전자기파에 대한 유일성 정리
2. 로렌츠 상반 정리
3. 전자파의 운동량

4. 포스터의 리액턴스 정리