2010년 8월 15일 일요일

전류(電流, Electric Current)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "전류"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 발산의 의미
2. 전압
3. 전기장



[전기의 기초(electricity)]

[전기의 쉬운 이해]

전류(電流, electric current, $I$)는 말 그대로 전기의 흐름이다. 전기를 만드는 원천이 전하(電荷, electric charge$Q$)이므로 전하의 흐름, 즉 전하의 시간($t$)적 변화율이라고 말할 수 있다. 이를 수식으로 표현하면 식 (1)이다.

                          (1)

식 (1)은 제대로 된 정의이기는 하나 전하의 흐름을 세부적으로 보여주지 못한다. 그래서 식 (1)을 미분 형태로 바꾼다. 이를 통해 전하의 미분소 $dQ$를 전하 밀도(電荷密度, charge density) $\rho$로 표현한다.

                          (2)

여기서 면적 미분소 $d \bar a$는 전류를 정의하기 위해 사용한 임의의 단면적(斷面積, cross-sectional area그림 1에서 $a$)이며 선 미분소 $d\bar l$은 전하가 실제로 지나간 방향의 통과 길이[그림 1에서 $l$]이다.
[그림 1] 도선에 흐르는 전류(출처: wikipedia.org)

체적 미분소 $dv$를 지나는 전하 미분소 $dQ$가 만드는 전류 미분소 $dI$는 아래와 같다.

                          (3)

여기서 벡터 $\bar u$는 전하의 유동 속도(流動速度, drift velocity)이다. 식 (3)으로부터 전체 면적을 통해 흐르는 총전류($I$)는 식 (4)가 된다.

                          (4)

식 (4)로부터 전하의 흐름을 세부적으로 표현할 수 있는 전류 밀도(電流密度, current density) $\bar J$의 중요성을 이해할 수 있다. 즉, 식 (4)로부터 전류 밀도의 방향은 전류가 흐르는 방향이 됨을 알 수 있다.

[전하 보존 법칙(conservation of electric charge)]
전류 밀도($\bar J$)의 원천을 검출하면 그 값은 전하 밀도($\rho$)의 시간적 감소와 같다.

                          (5)

[증명]
식 (5)를 체적 적분하고 발산 정리를 적용하면 식 (6)을 얻을 수 있다.

                             (6)

식 (6)의 좌변은 우리가 적분에 사용한 체적을 빠져나가는 전류[∵ 식 (4)로부터 전류 밀도와 면적 미분소의 내적은 전류이며 면적 미분소의 벡터 방향은 해당 체적을 뚫고 나가는 방향이다.]를 뜻한다. 식 (6)의 우변은 이 경우 체적에 존재하는 전하($Q$)는 그만큼 시간적으로 줄어듦을 의미한다. 식 (6)의 좌변과 우변은 서로 같으므로 식 (5)가 전하 보존 법칙을 의미함이 증명된다.
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전하 보존 법칙은 쿨롱의 법칙(Coulomb's law)이 제안되기 전에 프랭클린Benjamin Franklin(1706–1790)이 최초로 발견해서 1751년에 영국 왕립학회(The Royal Society)의 논문으로 발표했다. 마찰시키면 전기를 얼마든지 만들 수 있다는 사람들의 믿음과 달리, 프랭클린은 전기를 이송하는 실험[한 곳의 전기를 다른 곳으로 보내면, 원래 있던 전기가 줄어드는 현상을 확인]을 통해 전하 보존성을 찾아냈다. 미국 국부(國父, Founding Fathers) 중 한 명인 프랭클린은 다재다능해서 인쇄공, 발명가, 작가, 정치인 등의 분야에서 모두 성공했다. 전기의 근원에도 관심이 많아서 진짜 목숨을 걸고 피뢰침(避雷針, lightning rod)을 발명했다.

[그림 2] 하늘로부터 전기를 이끌어내는 프랭클린(출처: wikipedia.org)

식 (5)에 나오는 전하 밀도는 전류 밀도를 만들어내야 하므로, 정확히는 자유 전하 밀도(free charge density)로 불러야 한다. 자유 전하는 물질 속을 자유롭게 돌아다니면서 전기를 이송할 수 있는 근원이다. 자유 전하에 반대되는 개념은 물질에 묶여서 분극(polarization)을 일으키는 구속 전하(bound charge)가 있다. 쉽게 말해 금속에는 자유 전하가 전기를 이송하고, 유전체에는 구속 전하만 있어서 전기를 흘리지 못한다.

[그림 3] 키르히호프 전류 법칙(출처: wikipedia.org)


[키르히호프의 법칙(Kirchhoff's laws)]

[키르히호프 전류 법칙(KCL: Kirchhoff Current Law)]

                          (7)

[증명]
식 (6)에서 DC(직류, 直流, Direct Current) 조건을 적용하면 식 (7)이 바로 얻어진다. DC 조건은 시간적 변화[= $\partial / \partial t$]가 0이라는 조건이다.
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DC 조건인 경우 식 (7)을 전류 밀도의 경계 조건(boundary condition) 관점으로 살펴본다. 어떤 체적 $\Delta V$의 전하 축적이 없는 경우 식 (7)에 의해 들어간 전류[$I_1$ = $J_{n1} \Delta S_1$]와 나간 전류[$I_2$ = $J_{n2} \Delta S_1$]는 반드시 같아야 한다[$I_1$ = $I_2$]. 체적 $\Delta V$를 원기둥[$\Delta S_1$ = $\Delta S_2$]이라 가정하고 식 (6)을 이용해 $I_1$ = $I_2$를 전류 밀도 관점에서 쓰면 $J_{n1}$ = $J_{n2}$가 되므로, 전류 밀도의 법선 성분은 반드시 연속이 되어야 한다. 여기서 전하 축적은 커패시터(capacitor)의 전기 용량(capacitance) 때문에 생기므로 전하 축적이 없다는 말은 커패시터 성분이 없음과 같은 말이다.

[표 1] 물질별 전기 전도도(출처: wikipedia.org)
물질
(Substance)
전기 전도도 (S/m)
(Electrical conductivity)
온도 계수 (1/K)
(Temperature coefficient)
기타 사항
(Other details)
테플론(Teflon, PTFE)$10^{-25}$–$10^{-23}$--
규소(silicon)4.35 × $10^{-4}$-75 × $10^{-3}$-
바닷물(sea water)4.8--
(iron)1.03 × $10^7$5.00 × $10^{-3}$-
알루미늄(aluminum)3.77 × $10^7$3.90 × $10^{-3}$-
(gold)4.11 × $10^7$3.40 × $10^{-3}$-
구리(copper)5.96 × $10^7$4.04 × $10^{-3}$-
(silver)6.30 × $10^7$3.80 × $10^{-3}$-

전압에 대한 조건인 KVL(Kirchhoff Voltage Law)과 전류에 대한 조건인 KCL(Kirchhoff Current Law)회로 이론에서 매우 중요한 법칙이다. 이와 더불어 굉장히 중요한 회로 법칙인 옴의 법칙(Ohm's Law)을 증명해본다.

[옴 법칙의 미분형(Ohm's law in differential form)]

                          (8)

여기서 $\sigma$는 전기 전도도(電氣傳導度, electrical conductivity: 물질의 고유한 특성)[단위: S/m] 혹은 간단히 전도도라 부른다.

[증명]
식 (8)을 증명하기 위해서는 전하가 도선을 흐르는 특성을 고려해야 한다. 1897년톰슨 41세, 대한제국 원년 톰슨Joseph John Thomson(1856–1940)은 음극선관(cathode-ray tube)을 이용해 전자(電子, electron)의 존재를 실험적으로 증명했다. 그래서 톰슨의 실험으로 인해 전류를 구성하는 입자는 전자임이 분명해졌다. 전자가 만드는 전류의 특성은 보통 식 (8)로 기술한다. 옴 법칙의 미분형인 식 (8)을 증명하려면 전자가 도선에서 받는 힘을 정량화해서 표현해야 한다. 이 기법을 성공적으로 적용한 최초의 학자는 드루데Paul Drude(1863–1906)이다. 드루데가 1900년드루데 37세, 대한제국 시절에 제안한 방법인 드루데 모형(Drude model) 혹은 자유 전자 모형(free electron model)을 이용하여 식 (8)을 증명한다[1], [2], [7].

[그림 4] 도선 속에 있는 전자의 운동(출처: wikipedia.org)

도선을 따라 전자가 흐르면 [그림 4]와 같이 결정(結晶, crystal) 속을 따라 전자가 이동한다. 이때 결정을 구성하는 매우 무거운 양성자(陽性子, proton)로 인해 전자는 계속 이동하지 못하고 반대 방향으로 튕기게 된다. 이 상황을 뉴턴의 제2 운동 법칙(Newton's second law of motion)으로 표현하면 식 (9)와 같다.

                          (9)

여기서 벡터 $\bar p_n$은 $n$번째 전자의 운동량(運動量, momentum)이며 $\gamma$는 견인 계수(牽引係數, drag coefficient)이다. 식 (9)를 좀더 자세히 설명하면 $n$번째 전자가 받는 힘은 운동을 방해하는 방향[식 (9)에 (-)가 있는 이유]으로 작용하는 견인력(牽引力, drag force)이다.[물속을 이동하는 물체를 고려한다. 이 물체는 유체(fluid)에 의해 견인력 혹은 저항력을 느낀다. 실험에 의하면 물체 이동 속도가 느린 경우 견인력은 속도에 비례한다. 이를 운동량으로 표현하면 식 (9)처럼 된다.] 도선에 생기는 견인력의 원인은 양성자와 전자 사이에 생기는 전기력(electric force)이다. 또한 견인력은 전자가 받는 운동량에 비례한다. 전자에 작용하는 견인력으로 인해 [그림 4]처럼 전자가 튕기게 된다. 식 (9)에 있는 미분 방정식을 풀면 식 (10)을 얻을 수 있다.

                          (10)

여기서 벡터 $\bar C_n$은 임의의 적분 상수이다. 식 (10)처럼 시간이 흐르면 전자의 운동량은 기하급수적으로 줄어든다. 식 (9)는 전자 하나에 대한 운동 방정식이므로, 각 전자의 기여를 모두 모아서 평균을 낸다. 그러면 다음처럼 도선 속에 있는 전체 전자의 평균 운동량을 얻을 수 있다.

                          (11)

외부힘이 없는 상태에서는 도선 속에 있는 전자는 평균적으로 힘을 전혀 받지 않기 때문에 식 (11)의 둘째줄이 반드시 성립해야 한다. 만약 전자가 평균적으로 힘을 받는다면 이 힘을 외부에서 사용할 수 있기 때문에 현실과 맞지 않게 된다. 식 (11)에서 외부 전기장 $\bar E$가 가해지면 식 (11)은 아래와 같이 변형되어야 한다.

                          (12)

여기서 $e$는 전자의 전하량이다. 식 (12)에서 시간이 무한대로 흐르면, 외부 전기장에 의해 전자의 운동량 평균은 0이 아닌 값으로 수렴한다. 이 값을 식 (13)과 같이 계산할 수 있다.

                          (13)

여기서 $m_e$는 전자의 질량(質量, mass)이다. 전기 이동도(electrical mobility) $\mu_e$ 관점으로 식 (13)을 쓰면, $\bar u_f$ = $- \mu_e \bar E$라 할 수 있다.[$\mu_e$ = $e / (\gamma m_e)$] 전기 이동도 $\mu_e$는 사실 전자가 만들기 때문에, 전자 이동도(electron mobility)라 할 수도 있다. 식 (13)의 둘째식을 $0$으로 둔 이유는 시간이 무한대로 흐르면 전자 운동이 안정화되어 더 이상의 운동량 변화는 없기 때문이다. 즉, 전기장을 가하면 처음에는 전자가 가속받아 운동량이 증가하지만, 시간이 한없이 지나면 정상 상태(正常狀態, stationary state)가 되어 더 이상의 속도 변화는 없어진다. 식 (12)에 있는 미분 방정식은 쉽게 풀리는 방정식이다. 식 (10)과 (13)을 고려하면 식 (12)의 해는 식 (14)와 같다.

                          (14)

식 (14)를 식 (12)에 대입해서 정리하면 쉽게 해가 됨을 증명할 수 있다. 전자의 유동 속도를 나타내는 $\bar u$는 전자의 실제 속도가 아니다. [그림 4]와 같이 전자의 실제 속도는 매우 빠르나 양성자에 부딪혀 얼마가지 못하고 반대 방향으로 가기 때문에 등가적으로 측정되는 전진 속도인 유동 속도는 그리 빠르지 않다. 이 유동 속도를 식 (4)의 좌변에 대입하면 식 (8)이 얻어진다.

                             (15)

여기서 전하 농도(charge concentration) $n_e$는 전자의 단위 부피당 개수[= $N/V$]이다. 전기 이동도 $\mu_e$를 사용하면, 전도도($\sigma$)는 $e n_e \mu_e$가 된다. 농도 $n_e$는 물질의 고유 특성으로서 밀도, 몰 질량(molar mass) 및 아보가드로 수(Avogadro constant, $N_A$)에 의해 결정된다.
______________________________

견인 계수 $\gamma$는 식 (10)이나 (14)와 같이 시간($t$)의 역수와 관계되므로 식 (16)처럼 바꾸어쓴다.

                          (16)

여기서 $\tau$는 평균 자유 시간(mean free time)을 나타낸다. 평균 자유 시간은 무엇을 의미하는가? 이를 이해하기 위해 확률(確率, probability) 개념을 도입한다. 식 (10)을 이용하여 시간 $t$와 $t + dt$ 사이에서 운동량이 줄어들 확률을 식 (17)과 같이 정의한다.

                          (17)

식 (17)이 제대로 된 확률인지 확인하기 위해 식 (18)을 계산한다. 전체 확률값이 $1$이 되므로, 식 (17)은 확률 관점으로 잘 정의된다.

                          (18)

식 (17)을 이용하여 시간의 기대값(expectation)을 계산하면 식 (19)가 된다.

                       (19)

그런데 시간의 기대값은 무슨 의미인가? 정의된 확률이 운동량을 기준으로 제시되므로, 시간의 기대값은 전자의 운동량이 존재하는 평균 시간이 된다. 그래서 $\tau$는 전자가 양성자에 부딪히지 않고 진행할 수 있는 평균 시간을 뜻한다. 전자의 실제 속력 $v$와 평균 자유 시간 $\tau$를 곱한 값인 $l$ = $v \tau$는 평균 자유 거리(mean free path)라 부른다. 평균 자유 거리 $l$은 전자가 충돌하지 않고 움직일 수 있는 평균 거리이다.


[옴의 법칙(Ohm's law)]

[옴의 법칙(Ohm's law)]

                          (20)

여기서 $R$은 저항(抵抗, resistance)[단위: 옴(ohm, Ω)]이다.

[증명]
미분형 옴의 법칙인 식 (8)로부터 식 (20)을 쉽게 증명할 수 있다. 먼저 식 (4)로부터 유도를 시작한다.

                          (21)

여기서 전류 밀도 $\bar J$와 면적 미분소 $d \bar a$는 같은 방향으로 잡아서[∵ 전류가 뚫고 지나가는 단면적은 우리 임의대로 잡을 수 있다. 즉, 단면적이 어떤 모양으로 있든지 전류 밀도 $\bar J$만 적절히 포함하면 흐르는 전류 $I$는 동일하다.] 벡터를 사용하지 않고 스칼라를 사용하였다.[∵ 내적을 구성하는 벡터가 같은 방향이면 두 벡터 크기의 곱으로 생각할 수 있다.] 전압과 전기장의 관계로부터 식 (22)가 정의된다.

                          (22)

여기서도 전기장 $\bar E$의 방향과 선 미분소 $d \bar l$의 방향을 동일하게 잡았다.[∵ 전기장을 정의하는 선 미분소의 방향도 우리가 임의로 잡을 수 있다.] 이와 같은 방식으로 전류 밀도, 전기장, 면적 미분소, 선 미분소가 동일한 벡터 방향을 가지게 만들 수 있다.[면적 미분소와 선 미분소의 방향이 같기 때문에 면적 미분소와 선 미분소의 단순곱은 정확히 공간을 이루는 부피 미분소($dv$ = $da\cdot dl$)가 된다.] 식 (22)를 식 (21)에 대입하여 전압 미분소 $dV$를 다음처럼 구한다.

                          (23)

여기서 전압 미분소 $dV$는 적분을 빠져 나올 수 있도록 단면적 $s$에 대해 상수로 정했다. 이 부분을 이해하기 위해 다음과 같이 생각한다. 선 미분소 $dl$의 방향은 전류 밀도 방향과 동일하게 잡았기 때문에, 선 미분소 방향으로만 전류가 흐른다. 그러면 미분형 옴의 법칙에 의해 전류가 흐르는 방향으로만 전기장이 생긴다. 이는 면적 미분소가 표현하는 단면적 방향으로만 전기장이 생긴다는 뜻이므로,[∵ 이 단면적에서는 등전위면(等電位面, equipotential surface)이 된다. 등전위면이 변화할 수 있는 유일한 방향은 길이 $l$방향이다.] 단면적 $s$ 상의 전압 $V$는 다음처럼 항상 상수가 된다.

                          (24)

여기서  $t_1$, $t_2$는 단면적 $s$를 구성하는 좌표 성분이다. 또한 $dl$은 전압이 최대로 변하는 방향이므로, $dl$을 잘 정의하면 단면적 $s$ 상에서 전압 미분소 $dV$가 상수가 되게 할 수 있다. 전체 전압을 구하기 위해 식 (23)을 길이 $l$에 대해 적분하면 최종식 (25)가 얻어진다.

                          (25)

여기서 $I$가 적분을 빠져나오는 이유는 선 미분소의 방향을 전류 방향과 동일하게 잡았으므로 전하 보존 법칙에 의해 들어간 전류는 나간 전류와 동일해서[혹은 KCL이 성립해서] 길이 $l$에 대해 상수로 취급할 수 있기 때문이다.
______________________________

식 (20)의 증명 시작은 식 (21)의 전류($I$)부터 하였다. 이와는 다르게 식 (22)의 전압($V$)부터 출발하면 식 (25)와 동일한 결과를 얻을 수 있을까? 이런 방식은 불가능하다. 전류는 전압과는 다르게 식 (24)의 등전위면과 유사한 정의를 할 수 없기 때문이다. 즉, 일반적으로 전류밀도는 전압을 정의한 선적분 바깥으로 나갈 수 없기 때문이다.
원론적으로 저항은 식 (26)으로 정의할 수 있다.

                          (26)

하지만, 식 (26)은 전기장 $\bar E$가 결정되지 않으면 계산될 수 없다. 따라서, 식 (25)가 저항 계산에 매우 유용한 공식이다.
[그림 5] 단순 저항기의 구조(출처: wikipedia.org)

예를 들어 [그림 5]처럼 전류가 $z$방향으로 흐르고 전도도가 일정하면, 저항 $R$은 식 (27)과 같이 얻어진다.

                          (27)

여기서 $l$은 저항의 길이, $A$는 저항의 단면적이다. 식 (25)에서 단면적 $s$와 길이 $l$을 구성하는 좌표계가 직교한다면, 직교 좌표계의 척도 인자(尺度因子, scale factor)를 사용하여 식 (25)를 다음처럼 간략화할 수 있다.

                          (A.1)

앞에서 정의한 전압(voltage), 전류(current), 저항(resistance)을 이용하면 전기 회로가 소비하는 전력을 정의할 수 있다. 먼저 전압의 정의를 이용해 전기 회로가 사용하는 일(work)은 다음처럼 정한다.

                       (28)

식 (28)을 미분하면 다음을 얻는다.

                          (29)

직류가 흐르는 전기 회로에서는 전압의 변화($dV$)가 없기 때문에 $dV$ = $0$이 된다. 이런 조건하에서 식 (29)를 시간 미분인 $dt$로 나누면 전기 회로의 전력(electric power of an electrical circuit)을 다음처럼 정의할 수 있다.

                          (30)

식 (30)에 옴의 법칙을 적용하면 저항 기반의 전력 공식도 유도할 수 있다.

                          (31)

고전 역학의 기본 언어는 (force)에너지(energy) 혹은 일률이지만, 회로 이론에서는 물성을 더 세밀히 설명하는 전류와 전압이 중심이고 필요한 경우 식 (31)을 이용해 전력으로 환산한다.

[참고문헌]
[1] P. Drude, "Zur Elektronentheorie der Metalle (On the electron theory of metals)," Annalen der Physik (Annals of Physics), vol. 306, no. 3, pp. 566–613, 1900.
[2] E. M. Purcell and D. J. Morin, Electricity and Magnetism, 3rd ed., Cambridge University Press, 2013.
[3] B. R. Russell, "Surface charges on conductors carrying steady currents," Am. J. Phys., vol. 36, no. 6, pp. 527–529, Jun. 1968.
[4] A. K. T. Assis, W. A. Rodrigues, and A. J. Mania, "The electric field outside a stationary resistive wire carrying a constant current," Found. Phys., vol. 29, no. 5, pp. 729–753, May 1999.
[5] T. Sauer, "Einstein and the early theory of superconductivity, 1919–1922," Arch. Hist. Exact Sci., vol. 61, no. 2, pp. 159–211, Mar. 2007.
[6] F. London and H. London, "The electromagnetic equations of the supraconductor," Proc. R. Soc. Lond. A, vol. 149, no. 866, pp. 71–88, Mar. 1935.
[7] T. Yamaguchi and T. Hinata, "Optical near-field analysis of spherical metals: Application of the FDTD method combined with the ADE method," Opt. Express, vol. 15, no. 18,  pp. 11481–11491, Sep. 2007.

[다음 읽을거리]

댓글 134개 :

  1. 식12에서 힘 -eE는 항력방향의 반대가 맞죠? e의 전하량이음수니까요??

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  2. 식 (12)의 우변은 시스템에 작용하는 전체힘입니다.
    e는 전자 전하량의 크기이기 때문에 (+)값이고 전자의 전하량을 표현하려면 -e를 써야 합니다. 그래서, 전자가 받는 전기력은 -eE가 됩니다.

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  3. 아! 잘알겠습니다. 감사합니다.

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  4. 별 말씀을요! 저도 인터넷에서 많은 정보를 얻고 있습니다.

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  5. 두루드 모델에서 도체의 원자와 충돌한는 것이 아니고, 도체의 양성자와 충돌하는 것인가요?

    이미 아시는 현상이시겠지만,
    전원 simulaiton 관련 자료 찾다가 하도 EM 문제라고 나오길래, 먼가해서 그림을 좀 찾아 보았었습니다.
    http://en.wikipedia.org/wiki/Electromigration
    현상을 직관적으로 그림으로 참고할 만한 site들
    http://www.semipark.co.kr/semidoc/waferfab/metal.asp?tm=8&tms=9 (한글)
    http://www.doitpoms.ac.uk/tlplib/electromigration/damage.php
    http://www.csl.mete.metu.edu.tr/Electromigration/emig.htm
    http://blog.naver.com/PostView.nhn?blogId=icesherbet&logNo=140190039826

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    답글
    1. 예, 맞습니다. 하지만, 드루데 모형은 고전 모형입니다. 에너지 분포를 포함한 양자 역학 관점이 아니라서 문제가 있는 모형입니다.

      전자 이송(electromigration)은 잘 모릅니다. ^^

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    2. 저도 잘은 모르고요. 전자가 도체의 원자와 충돌이 많아 지는 조건에서, EM 문제가 발생하는 것으로 알고 있었는데, 두루드 모델은 양성자 이길래, 혹시 좀더 구체화 시킨 모델인가? 해서여쭈어 본 것입니다.
      감사드립니다.

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  6. dl이나 da를 임의로 잡을 수 있는 것은 E는 conservative field라서(del V라서), 또 전류밀도도 결국 내적에 의해 수직한 성분만 남기 때문 맞나요?

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    답글
    1. 아닙니다. 공간은 우리가 마음대로 정의할 수 있습니다. 어떻게 정의하든 답이 같기 때문에 쉬운 결과를 내는 공간 구조를 우리가 잡은 것입니다.

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    2. 답이 같은 이유가, 전류는 단면적을 보통 |로 잡고 계산하지만 / 이렇게 비스듬히 잡아도 전류밀도에 수직한 단면적을 지나는 시간당 전하량은 일정하니까, 또 전기장 방향인 ->이 방향으로 dl을 잡지 않고 ~>이런 식으로 잡아도 수직 성분은 제거되니까 그런 것인가요?

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    3. 그렇게 생각해도 위 증명은 충분히 설명됩니다만 위의 설명은 더 일반적인 경우까지 포함하고 있습니다. ^^

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  7. 또 전자가 양성자와 충돌할 때 받는 힘이 운동량에 비례하는 것은 왜인가요?위키에서 찾아봐도 그 drag force에 대한 설명은 나와있지 않고 그렇게 가정한 거 같아서 잘 모르겠어요
    그리고 확률 구할 때에 p_n(0)로 나눠준 것은 그냥 normalization을 위한 것인가요 아니면 물리적인 의미가 있는 건가요?초기 운동량이 크다면...음 어찌될지 모르겠네요;;ㅠㅠ

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    답글
    1. 1. 견인력이 운동량에 비례하는 것은 경험에 기반한 관계식 정도로 생각하시면 됩니다. 물속을 움직일 때 그 속도가 작다면 물체가 받는 견인력(or 저항력)은 속도에 비례합니다.

      2. 확률의 총합이 1이 되도록 만들기 위해서입니다.

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    2. 그렇군요. 이런 가정을 공기 저항이 있을 때의 자유 낙하나 반도체 내의 전자 움직임 등에서도 본 거 같아서 이전에도 궁금했었어요.

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  8. 안녕하세요 글 잘 보고 있습니다.

    전류에 관해서 한가지 질문이 있는데요,
    위의 수식들로 보면 전류는 물처럼 흘러가는 것 같습니다.(식 5~6번에서, 전화변화량을 전류밀로의 발산으로 표현하기 때문)
    그런데 한가지 이해되지 안흔것이 있는데요, 전류는 순차적(연속적)으로 흐르는가, 아니면 동시에 흐르가 입니다.

    예를들면 평판 캐시터에 전압을 걸어 충전한다고 했을 때 보통 +전압쪽에서 -전압쪽으로 전자가 흘러가서 충전이 된다는 표현을 하는데요, 이 과정이 동시에 일어나는 것인가요? 아니면 전류의 흐르는 성질(발산)때문에 +쪽이 먼저 충전(전하가 빠져나가고)되고, 전자가 흘러가서 -극쪽에 쌓여 결국 시간차를 두고 이런 현상이 일어나게 되는 건가요??

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    1. 오타가 많아서 다시 치겠습니다. 죄송합니다.
      -------------------------------------------
      전류에 관해서 한가지 질문이 있는데요,
      위의 수식들로 보면 전류는 물처럼 흘러가는 것 같습니다.(식 5~6번에서, 전하의 시간적변화를 전류밀도의 발산으로 표현하기 때문)
      그런데 한가지 이해되지 않는것이 있는데요, 전류는 순차적(도미노처럼)으로 흐르는가, 아니면 모든 도선에서 동시에 흐르가 입니다.

      예를 들면, 평판 캐시터에 전압을 걸어 충전한다고 했을 때 보통 +전압쪽에서 -전압쪽으로 전자가 흘러가서 충전이 된다는 표현을 하는데요, 이 과정이 동시에 일어나는 것인가요? 아니면 전류의 흐르는 성질(발산)때문에 +쪽이 먼저 충전(전하가 빠져나가고)되고, 전자가 흘러가서 -극쪽에 쌓여 결국 시간차를 두고 이런 현상이 일어나게 되는 건가요??

      위 표현식처럼 생각한다면 전하가 흘러간다(물이 흐르는 것처럼 순차적으로)는 표현이 맞는 것 같은데, 어디선가 동시에 일어난다고 들은 것 같아서요..

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    2. 전자가 A 지점에서 B 지점까지 움직여 전류를 만드는 것이 아닙니다. 오히려 도미노가 더 타당한 설명입니다.

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  9. 안녕하세요. 질문이 있는데요. 키르히 전류법칙은 교류에서도 성립 한다고 알고있는데요. 교류에서는 수학적으로 어떻게 키르흐전류법칙이 성립되는 것인가요. 그렇니까 교류에서 유도 방법을 알고 싶어요

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    1. KCL은 전하량 보전 법칙을 의미하는 것이라, 직류든 교류든 항상 성립해야 합니다. 전류가 들어오면 전체 전하가 증가하고, 전류가 빠져나가면 전체 전하가 감소한다는 것이 KCL입니다.

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  10. 그러면 수학적 증명은 어떻게 되나요? 교류에서도 dc조건 dq/dt=0 으로 해야하나요?

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    1. 식 (5)가 증명입니다. 식 (5)를 AC 관점으로 생각하는 것은 아래 링크의 식 (11)을 보면 됩니다.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/06/capacitor.html

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  11. 식 (2)와 (3)에서 논리적 흐름이 살짝 헷갈리네요. (3)이 참이고, (3)의 결과를 얻기 위해 (2)가 선행 한다면, 식 (2)에서 시간에 대해 미분할 경우 밀도 rho에 대해서도 미분이 되야 하지 않나요?

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  12. 저기, 식 (6)에서 폐곡면 flux 적분을 하는 이유가 있나요? 0이 나올 것 같은데..아닌가..ㅠ

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    1. 전류는 어느 방향으로든 들어오거나 나갈 수 있어서 전체 표면에 대해 적분해야 합니다.

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    2. 그렇군요 ㅎㅎ 감사합니다!

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  13. 전류 밀도의 식이 직관적으로 이해가 되지 않습니다. ㅠㅠ
    도선으로의 방향벡터에 그냥 전하 밀도를 곱해준 값이 왜 전류 밀도 벡터라고 생각할 수 있는 것인가요??

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    1. 단위를 보면 분명하지만, 대충 생각할 때는 전하 밀도의 흐름이 전류 밀도가 된다고 생각하면 쉽습니다. 전하의 흐름은 전류가 되고요.

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  14. 전파거북이님, 살짝 헷갈리는게 있는데요.

    전류는 대류전류와 전도전류가 있다고 들었습니다(그 외 종류도 있지만..)
    식 (15)에서 rho*u 공식은 대류전류 공식으로 알고 있는데요, 그렇다면 전도전류는 대류전류의
    특별한 형태인가요?

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    1. 아닙니다. 서로 다른 전류이며, 식 (15)는 전도 전류 공식입니다.
      대류 전류는 전압 인가 방식에 따라 전기장과 전류 밀도가 비선형 관계를 가집니다.

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  15. 증명 과정에서 궁금한 점이 있습니다. 옴의 법칙의 미분형에서 옴의 법칙의 거시적 형태를 증명하셨는데 식25 마지막에서 I(어쩌구저쩌구)=IR 이 되는 과정에 문제가 있는 것 같네요
    괄호 안의 수식이 R이 되는 과정을 증명해주실 수 있나요? 옴의 법칙의 거시적 형태를 사용하지 않구요.

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    1. 저항을 $V = IR$이라 표현하는 것은 일종의 정의라고 할 수 있습니다. 식 (25)의 최종 결과에서 $V = I A$처럼 얻어졌기 때문에, $R$의 정의를 이용해 $R = A$라고 한 것입니다.

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  16. 궁금한 것이 있어 질문을 드립니다...
    도체에서 전류가 흐른다는것은 전기장이 존재한다는 것인데, 완전도체에서는 전기장이 존재하지 않는데 어떻게 전류가 흐를수 있는거죠? j=전도율*E 에서 전도율은 무한대, e=0이라서 수렴한다고 생각해야하나요?
    그리고 완전도체에서 전류가 흐를때, 전자들이 도체의 표면을 따라 움직이고, 전류가 표면에만 흐르게되나요?
    궁금합니다...

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    1. 맞습니다. 전도도가 무한대로 가는 극한으로 생각하시면 쉬워요.

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  17. 금속 내부에서는 전기장이 0이기 때문에 미분형옴의법칙에 의해서 j(전류밀도)가 0이여야 된다고 써잇는 글도 봤었는데.. 그런데 전류는 보통 금속을 타고 흐르지 않나요?.. circuit schematic에서 그리는 선로는 perfect conductor라고 가정한건데.. 모순인거 같아서 이렇게 질문 드립니다.

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  18. 혹시 도선 내부의 전기력은 소리처럼 소밀파로 전달되고 전자 자체의 이동과 별개로 취급가능한 것인가요?

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    1. 소리와는 다릅니다. 도선 내부의 힘은 정확하게는 전자기력이며, 접촉이 필요없는 원격 작용력입니다.

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  19. 저항의 직렬 연결에서 각 저항체마다 전류가 같은 이유를 모르겠습니다. 위에 나온 KCL에 따라, 분기점이 없으므로, 각 저항체의 흐르는 전류는 모두 같다는 것은 일단은 받아들 일수는 있겠는데요. 원자세계에서는 이해가 잘 되지 않습니다. 전류의 정의로부터 나온 식 I=nAqu(n은 부피당 전하개수, A는 면적, q는 전하량, u는 유동속도)에 비춰봤을 때, 유동속도는 드루이드 모형에서 볼 수 있듯이, 물질의 성질(free mean time)에 의해서 결정됩니다. 이때 직렬 연결에서 각 저항에 전하들은 모두 유동속도가 다르다는 것 까지는 이해할 수 있겠는데요. 전류가 같을 수 있도록(u의 값은 각 저항마다 다르므로, 각기 다른 유동속도를 보정해 줄 수 있도록, n의 값이 지정되어야만 I(전류)가 같을 수 있게 된다고 생각함), n의 값은 어떻게 되는지가 궁금합니다.

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    1. 저항이 직렬로 연결된 경우 각 전류가 다르다면 전하 저장이 가능한 커패시터가 있다는 뜻입니다. 현실에서는 이게 아니기 때문에 전류가 같다고 생각하는 것입니다.

      미시적으로 봐도 비슷합니다. 여러 이유로 산란이 있어 전자(electron) 파동이 반사되면 전류가 줄어듭니다. 파동 반사가 있다 하더라도 이건 전하가 모아진 것이 아닙니다. 반도체가 아닌 금속 내부이기 때문에 전하를 붙잡아둘 만한 커패시터 요소는 없습니다.

      이걸 전제로 여러 공식을 적용해야 오류에 빠지지 않습니다.

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    2. 커패시터가 없어서 전하 저장 요소가 없다고 해도, 전하밀도가 달라질 것 같다고 생각합니다. 간단하게 도선과 저항에서만 생각해도, 도선보다는 저항체에 전하밀도가 더 커질 것 같다고 생각이 듭니다.(제가 아직 미적분학 백터장 선적분까지 공부해서, 위에 전하량 보존 법칙에 발산법칙을 공부하지 못해 위의 내용은 완벽히 이해하지 못하는 상황입니다...)

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    3. 금속의 전하 밀도는 물질의 고유 특성입니다. 거시적으로 중요한 것은 단면적이 일정한 경우 전류 밀도가 일정하다는 것입니다. 따라서 물질과 단면적이 정해지면, 전류 밀도를 일정하게 만들기 위해 유동 속도가 바뀐다고 생각해야 합니다.

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    4. 좋은 답변 감사합니다.!!

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  20. 식(12)에서 미분하면 u=Ce^(-rt)-e/rm*E
    에서 적분상수 C가 -e/rm이 되어 u의 해가 u=uf(1-e^(-rt))가 되는것 같은데 적분상수 C는 어떤식을 기준으로 알수 있는건가요??

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    1. 식 (12)는 평균 운동량에 대한 미분 방정식이라서, 단일 전자에 대한 방정식인 식 (10)을 그대로 대입하면 안 됩니다.

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  21. 안녕하세요. 좋은글 감사합니다.

    질문 두가지 부탁드리겠습니다.

    1) 식 (10)을 이용하여 시간 t와 t+dt 사이에서 운동량이 줄어들 확률을 식 (17)과 같이 정의하자.

    부분에서 왜 17번식이 t에서 전자의 운동량이 존재할 확률을 표현하게 되는건지요?

    식만보면 t=0에서의 운동량에 대한 t에서의 운동량에서 t+dt에서의 운동량을 뺀 비율을 나타내는거

    아닌가요?

    2) 17번 식 전개과정에서 마지막 등호에서 넘어가는 과정이 이해가 안갑니다. dt를 0으로 극한을 취해준건지요?

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    답글
    1. 1) 확률 개념을 도입해 기대값을 구하기 위해서입니다. (이게 평균 자유 시간과 연결) 식 (17) 근방의 논증을 참고하세요.

      2) $dt$는 미분소(differential)로 생각하기 때문에 고차항은 0으로 간주합니다. ($dt$가 0으로 가는 극한을 취한 것은 맞지만, 정말 그렇게 하면 0이 되므로 미분소로 생각합니다.)

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  22. 좋은글 항상감사 드립니다.
    위 글에 다소 혼란스러운 부분이 있어 의견드립니다.

    "여기서  t1, t2는 표면적 s를 구성하는 좌표 성분이다. 또한 dl은 전압이 최대로 변하는 방향이므로, dl을 잘 정의하면 표면적 s 상에서 전압 미분소 dV가 상수가 되게 할 수 있다. "
    <= 맞습니다. 일반적으로 전기장 E는 면적소 da의 위치에 따라 변하는 함수입니다. E= -dV/dl 에서 dl 의 값을 위치에 관계없이 상수값으로 고정시키면 dV 값이 위치에 따라 변하게 되어 dV 값에 따라 각 위치의 전기장 E를 구할 수 있습니다. 역으로 dl=-dV/E 에서 dV를 고정시켜도 전기장 E 가 면적소 da 의 위치에 따라 변하기 때문에 dl도 위치에 따라 변합니다. 그러므로, dl=dl(x,y,z)=dV/E(x,y,z) 이므로 dl이 면적분 밖으로 나올 수 없습니다.

    그래서
    "식 (32)"<= 옳지 않습니다.
    위 식에서 dl=h3du3 인데 dV를 고정시켰기 때문에 dl 이 위치에 따라 변하는 함수가 되고, h3뿐만 아니라 du3도 위치에 따라 변하기 때문에 du3가 면적분 밖으로 나올 수 없습니다.
    예를 들어, 데카르트 직각 좌표계를 사용하면 h3=1, du3= dz 가 되며, dV를 고정시키고 dl(혹은 dz) 를 구하려면, 식 dz=dV/E 에서 여전히 면적소 da 의 위치에 따라 변하는 전기장E 때문에 dz의 값이 위치에 따라 변하므로 dz 는 면적분 밖으로 나올 수 없습니다.
    식(27)에서 올바른 결과가 나오는 이유는 이 예제에서 전기장E가 면적소 da 의 위치에 관계없이 일정하기 때문에 dV 와 dl 이 모두 상수이기 때문입니다.

    "하지만, 식 (26)은 전기장 E¯가 결정되지 않으면 계산될 수 없다. "
    <= 맞습니다. 저항을 계산하기 위해서는 면적소가 위치한 각 점의 전기장 E 를 알아야지만 면적분값을 구할 수 있습니다.

    "따라서, 식 (25)가 저항 계산에 매우 유용한 공식이다."
    <= 옳지 않습니다. 식(25)에서 dl역시 면적소 da 가 위치한 점에 따라 달라지므로 각 면적소의 위치에서 dl 값을 다 구야 합니다. 그 값은 dl=dV/E 으로 구할 수 있습니다.식(26)에서 E 를 100군데 위치에서 구했다면 식(25)에도 dl의 값을 100군데 같은 위치에서 구해야만 면적분값을 계산할 수 있고 두 면적분은 같은 값이 됩니다.
    (25)식에 dl=dV/E 를 대입하면 다시 (26)식으로 돌아 갑니다. 그러므로, 식(25)와 식(26)은 수식만 변형시켰을 뿐, 같은 식이며 (25)가 (26)보다 조금도 계산량을 줄여주지 않습니다. 오히려, 전위 V 가 주어 졌을 때 역으로 dl= dV/E 식으로 구해야 하므로 (26)식이 (25)식 보다 더 간편합니다. 같은 이유로 Capacitor도 전기장이 들어 있는 정의식이 더 간편합니다.

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    1. Eugene님, 여러 의견 감사합니다.

      다시 봤는데요, 오류는 없습니다. 직교 좌표계와 척도 인자를 가정했기 때문에, $u_1, u_2, u_3$는 서로 독립입니다. 상호 연관되는 성분은 척도 인자에 반영됩니다. 그래서, 본문처럼 적분하더라도 오류는 없습니다.

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  23. 답변 고맙습니다.
    제 생각은 다음과 같습니다.

    “직교 좌표계와 척도 인자를 가정했기 때문에, u1,u2,u3는 서로 독립입니다. “
    <= 옳지 않습니다. dV를 상수로 정하지 않았을 때는 u1,u2,u3는 서로 독립입니다.
    그러나,
    “여기서 전압 미분소 dV는 적분을 빠져 나올 수 있도록 표면적 s에 대해 상수로 정했다.”
    이 조건 때문에 u1,u2,u3는 서로 독립이 아닙니다.

    “상호 연관되는 성분은 척도 인자에 반영됩니다. “
    <= 옳지 않습니다. scale factor 는 원통좌표계와 구좌표계에서 각을 길이로 바꾸어 주는 역할 밖에 하지 않습니다. dV를 상수로 고정시키는 새로운 조건은 scale factor h1, h2,h3에 반영되지 않습니다.
    예를 들어, 거리가 D 만큼 떨어져 있으며 반지름이 R 인 두개의 평행한 원통 도체사이의 전계를 구해보면 알수 있습니다. 원통좌표계를 사용하면 h1=r, u1= phi, h2=1, u2= z, h3=1, u3= r 이 됩니다.
    원통도체 표면은 등전위면이 되며, 원통도체 표면으로부터 dV를 상수로 만들기 위한 특수한 거리 dl=dr=du3 는 도체표면에서 또 다른 등전위면까지의 거리가 되어야 합니다.
    두개의 원통도체의 전위분포를 그려보면, 원통도체의 표면에서 등전위면까지의 거리는 각 원통도체표면의 위치에 따라 다릅니다. 그래서, dV를 상수로 만드는 du3(=dr)은 u1(=phi)에 따라 달라지므로 du3와 du1는 서로 독립이 아닙니다.
    도체표면의 전기장 E를 고려해도 같은 결과가 나옵니다. dl=dr=du3=dV/E(r * phi)=dV/E(h1u1) 식에서 전기장 E는 h1(=r)뿐만 아니라 u1(=phi)에 따라 변합니다.
    따라서 (32)식에서 du3(=dr)는 du1du2 (=dphi dz)적분 밖으로 나올 수 없습니다.

    위 설명에 오류가 있다면 구체적으로 알려 주시겠어요? 전자기학을 더 잘 이해하는데 많은 도움이 될 것입니다.
    고맙습니다.

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    1. Eugene님, 아래 직교 좌표계 부분을 한 번 보시기 바랍니다.
      직교 좌표계에서는 기저 벡터가 서로 직교하기 때문에 $u_1, u_2, u_3$는 서로 독립입니다. 다만 길이, 면적 등으로 계량화할 때는 값이 달라질 수 있기 때문에, 척도 인자를 도입한 것입니다. (정확히는 계량 텐서와 관계되어 있습니다.)

      https://ghebook.blogspot.kr/2011/07/tensor-calculus-for-orthogonal.html

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    2. Scale factor 의 정의는 잘알고 있습니다. 제 질문은 "dV 가 상수라는 가정하에서도 u1, u2, u3가 독립인가?" 라는 것입니다. 즉, 식(25)는 옳지만 식 (32)의 마지막 식은 오류라는 것입니다. 아래 반례를 들어 이 주장이 사실이 아님을 증명하였습니다. 다른 사이트의 링크보다는 아래의 증명단계에서 잘못된 부분을 찾아주시면 검증이 명확하고 빠르게 끝날 수 있을 것입니다.

      (증명1)
      1. 그림(4)의 예에서 전기장 E가 균일하지 않다고 가정합니다. Conductivity sigma는 상수라고 가정합니다.
      2. 식 (26)과 (32) 는 모든 좌표계에서 성립합니다.
      3. 그러므로 식 (26)과 (32)는 데카르트 좌표계( Cartesian Rectangular Coordinate System)에도 성립해야 합니다.
      4. 데카르트 좌표계에 h1=h2=h3=1 이며 u1= x, u2= y, u3= z 입니다.
      5. 식(26)에서 저항 R=integral E dz / integral (sigma E) dxdy 입니다
      6. 식(32)의 마지막식은 (27) 식과 동일한 R=integral dz / integral sigma dxdy = l/(sigma A)이며 E가 없습니다.
      7. (26)식과 (32) 마지막 식의 결과가 다르므로 두 식중 하나는 옳지 않습니다.
      8. 식(26)은 저항의 정의이니 틀릴수가 없으므로 식(32)의 마지막 식이 옳지 않습니다.
      (증명1 끝)


      (증명2)
      1. 거리가 D 만큼 떨어져 있으며 반지름이 R 인 두개의 평행한 무한원통 도체 A, B가 진공중에 놓여 있으며, 원통도체 A의 중심이 원점에 있다고 가정합니다. 원통좌표계를 사용하면 h1=r, u1= phi, h2=1, u2= z, h3=1, u3= r 이 됩니다.
      2. 원통도체 표면은 등전위면이 되며, 원통도체 표면으로부터 dV를 상수로 만들기 위한 특수한 거리 dl=dr=du3 는 도체표면에서 또 다른 등전위면까지의 거리가 되어야 합니다.
      3. 두개의 원통도체의 전위분포를 그려보면, 원통도체의 표면에서 등전위면까지의 거리는 각 원통도체표면의 위치에 따라 다릅니다.
      4. 그래서, dV를 상수로 만드는 du3(=dr)은 u1(=phi)에 따라 달라지므로 du3와 du1는 서로 독립이 아닙니다.
      5. 따라서 (32)식에서 du3(=dr)는 du1du2 (=dphi dz)적분 밖으로 나올 수 없습니다.
      (증명2 끝)

      (증명3)
      증명2의 같은 예를 사용
      1. 원통도체 A 표면에서 dl=dr=du3=dV/E(r * phi)=dV/E(h1u1) 식에서 전기장 E는 h1(=r)뿐만 아니라 u1(=phi)에 따라 변합니다.
      2. 따라서 (32)식에서 du3(=dr)는 du1du2 (=dphi dz)적분 밖으로 나올 수 없습니다.
      (증명3 끝)

      고맙습니다

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    3. (증명4)
      1. 식(32)의 dl 은 da 에 따라 달라지기 때문에 면적분 da 밖으로 나올 수 없음을 알고 있습니다.
      2. 식 (32) 는 모든 좌표계에서 성립합니다.
      3. 그러므로 식 (32)는 데카르트 좌표계( Cartesian Rectangular Coordinate System)에서도 성립해야 합니다
      4. 데카르트 좌표계에 h1=h2=h3=1 이며 u1= x, u2= y, u3= z 입니다.
      5. l=z 라고 가정하면 dl=du3 입니다.
      6. dl 이 면적분 da 밖으로 나올 수 없으므로 du3역시 면적분 da 밖으로 나올 수 없습니다.
      (증명4끝)


      직교 좌표계에서는 기저 벡터가 서로 직교하기 때문에 u1,u2,u3는 서로 독립입니다.
      <= u1, u2, u3는 벡터가 아니고 매개 변수들이기 때문에 선형독립의 대상이 아닙니다. 정확히 표현하자면, u1,u2,u3의 방향 벡터들이 수직이므로 이 세 개의 방향벡터가 선형독립입니다. 그러나 방향벡터들이 선형독립이라 하더라도 매개변수 u1, u2, u3 가 서로 함수관계가 없는 독립된 변수들임을 보장하지 않습니다. 예를 들어, 두개의 벡터가 서로 수직이라 하더라도 두 벡터의 크기는 얼마든지 같이 증가하거나 감소하는 함수관계를 만들어 줄 수 있습니다. dV가 상수라는 조건하에서는 u3=u3(u1,u2)와 같이 u1,u2의 함수가 될 수 있음을 위 증명(2)와 (3)에서 보였습니다.

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    4. Eugene님, 같은 얘기가 계속 반복되고 있네요. 나머지 부분은 잘 고민해보시기 바랍니다.
      [위 답변에서 독립이라 한 이유는, $u_1,u_2,u_3$가 개별적으로 변할 때 직교 좌표계라서 서로 영향을 받지 않기(or 독립적으로 변할 수 있기) 때문입니다. 그러면 적분 관점에서는 상수로 취급할 수 있고요.]

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    5. 같은 이야기 계속했는데 답변을 안하시네요.
      마지막으로 한번만 더 할께요.

      [위 답변에서 독립이라 한 이유는, u1,u2,u3가 개별적으로 변할 때 직교 좌표계라서 서로 영향을 받지 않기(or 독립적으로 변할 수 있기) 때문입니다. 그러면 적분 관점에서는 상수로 취급할 수 있고요.]
      <= dV 가 상수라는 조건에서도 u1, u2, u3 가 서로 독립인 변수임을 수식으로 증명해 주시기 바랍니다.

      저는 이미 위에서 서로 독립변수가 아님을 증명했기 때문에 더이상 고민할것이 없습니다.
      수식 증명만 부탁합니다.

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  24. 식 17 에 대해 자세히 설명해 주실수 있나요?

    확률을 도입한다는 것과 운동량이 줄어들 확률을 표현한 방법을 잘 모르겠어요.

    그리고 식 13에서 전기장 까지 더한 힘이 0 이 되야 하는 것은 전자들을 유체로 해석하기 때문인가요?

    0으로 둬야하는 물리적 이유가 뭘까요?

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    1. 1. 운동체가 충돌하면 분명 운동량이 줄어들 것입니다. 그걸 표현한 것이 식 (17)입니다. 충돌 관련 운동량을 표현하는 함수 형태를 얻기 위해 식 (9)를 사용했고요.

      2. 다수 운동체의 충돌 특성을 정확히 풀 수 있다면 확률을 도입할 필요가 없어요. 못하기 때문에 대안으로 확률을 사용하는 것입니다.

      3. 식 (13) 아래에 관련 설명을 추가했습니다.

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  25. 식 6에 대해 왜 시간에 대해 편미분 식으로 표현 하는지 알려주실 수 있으세요?

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    1. 발산 연산자에 이미 공간 편미분이 포함되어 시간도 편미분으로 표시해야 합니다.

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  26. 질문 하나만 드리고 싶습니다. 계속 헷갈려서요.
    도선이 x축 방향으로 놓여있고 전류가 +x 방향으로 흐르고 있는 상황에서, 도선 자체를 +z 방향으로 u라는 속력으로 계속 움직이게 해준다면

    전하가 +x방향으로는 drift velocity 만큼 움직이고 +z방향으로는 u로 움직이니까 최종전류는 (drift velocity)+u 방향이 되는 것인가요?

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    1. 전류 밀도는 벡터량이기 때문에 벡터적으로 생각해야 합니다. 즉 전류 방향은 $x, z$ 성분의 벡터 합 형태로 정해야 합니다.

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  27. 전파거북이님 예전부터 포스팅 잘 보고있습니다.
    전류의 공식에 대해서 가만히 생각해보면, i = dq/dt로 정의가되는데, 그러면 1A라 하면, 시간당(그냥 간단히 1초) 전하량이 1 C 2 C 3 C 이렇게 증가해야 1 A가 유지된다는 의미로 생각을 해봤습니다. 그런데 이는 말이 안돼는 이야기이죠.. 제 생각에서 뭐가 잘못되었나 생각해보면, '특정 면'(단면적 아님)을 지나는 전하라는게 단서라고 생각했습니다. 특정 면에서 미소 시간당 미소 전하가 지나가 1A를 만들고 그 지나가는 전하가 끊기고 다시 같은 전하량이 지나가 1A를 만드나라는 생각을 해봤습니다. 근데 이제 그 전하가 끊기는 시간(0 A가 되는 시점) 이 매우 짧아서 연속적으로 1 A가 지나는걸로 보이는게 아닐까 라는 생각을 해봤습니다. 제 고민에 대해서 더 좋은 표현(수학적) 이 있는지 좀 궁금합니다. 다른책에도 보면 바로 전류밀도로 개념이 넘어가던데.. 저는 전류밀도로 넘어가기 전 단계 개념이 헷갈리는 상황인듯합니다.

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    1. 아 0 A가 되는 시험이 아닌 0 C이 되는 시점으로 정정합니다.(아무전하도 지나가지않는 시점)

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    2. 1A는 1초 동안 전하 1C이 지나간 전류가 맞아요. 회로(circuit)이기 때문에, 지나간 전하는 전원에 의해 다시 에너지를 얻어 도선을 흐릅니다. 또한 이 모든 과정은 연속이라고 가정합니다. (이래야 미분이 됩니다.)

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  28. 안여하세요 전파거북이님. 저번 6월부터 가끔씩 들어와서 궁금한 내요잉 생기면 확인하는 대학생입니다.
    다름이 아니라 질문이 있어서 여쭙고싶습니다.
    제가 conduction current (전도전류) convection current(대류전류) 개념과 전류밀도에서부터 헷갈려 조금더 상위 개념까지 혼동이 오는 것 같은데.. 설명을 듣고싶습니다.
    먼저 J가 대류전류로 부터 J= rho_v(체적전하 밀도)*u 에서 J=sigma*E 가 유도 되었었는데 저는 시그마와 로의 관계에대해 여쭙고 싶습니다. 저는 유도 하면서 전도도와 체적전하 밀도가 굉장히 밀전합 관련이 있다고 생각했습니다. 예를들어 시그마가 n*e^2타우(충돌에 있어 평균간격)/m 으로 정의되니 시그마가 무한이면 n이 무한이고 따라서 체적전하 밀도도 무한이여야 한다고 잘못된 생각을 했던것 같습니다.
    하지만 왜 이게 잘못된건지 정확히 이해가 가질 않습니다..
    충돌하였던 것이 이상적 도체(similar 금속)은 전도도가 무한이니 J가 유한하려면 E=0 이고 따라서 발산 정리에 따라 체적전하 밀도rho_v가 0이여야 한다는 말이 여기서 약간 이해하는 것이 꼬인 것 같습니다.
    혹시 체적전하밀도와 식 유도과정중 n과는 다른 전하인가요??.. 전자기학의 앞 쪽 (전자기파 전 static 한 전기장 및 자기장) 까지는 그냥 이해안간 채로 넘어갔었는데 전자파를 다루는데 있어 lossy dielectric medium을 다루는데 있어 전도도가 0이 아닌데 체적전하 밀도 rho_v는 0인 상황이 이해가 잘 안갑니다.. 어떻게 이럴 현상이 일어 날 수 있는지.. 제가 잘못 오해하고 있는 개념이 무엇인지 어디서 제가 잘못 이해한 것인지 명확히 찾을 수 없었습니다. (조금 실례될 수 있는 말이나 다른 분께 질문시 그분은 rho_v를 source전하라고 생각하라고 하셨는데 이말도 잘 이해가 안간게 그럼 시그마 즉 전도도를 결정하는 전하는 다른 전하인가?라는 의문도 들었습니다.(앞서 전파거북이님의 몇가지 글을 읽었는데 전류의 연속방정식 유도시 시상수 및 여러개념 등등 제가 원하는 점을 찾지 못했고 몇 다른 글에서는 수식적 표현을 완전히 이해하진 못하였습니다. )
    제가 모르는 것이 너무 많기도 하며 뜬구름 잡을 만큼 방대하여 죄송하게도 요약해보려 했으나 제 능력으로는 너무 큰 범위라 요약할 수 없었습니다.. 죄송합니다.

    설명 잘 보고 있습니다. 감사합니다

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  29. 1. 전도도가 무한대가 되려면 전하 밀도가 무한대이든지 견인 계수가 0이 되어야 합니다. 물리적으로 전하 밀도가 무한대일 수는 없기 때문에, 견인 계수가 0이 되어야 합니다. (이건 전자가 이동할 때 충돌 없이 간다는 뜻입니다.)

    2. 전하 밀도 정의 자체는 하나이자만, 전기장에서 전하 밀도는 자유 전하와 구속 전하에 대한 밀도로 철저하게 구분합니다. 유전체 정의를 다시 한 번 보시기 바랍니다.

    3. 손실 유전체는 말 그대로 유전체 손실을 표현하기 위한 개념입니다. 유전체에 구속 전하 외에 자유 전하에 의한 전류가 있다면 옴 법칙처럼 손실이 생길 수는 있어요.

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  30. 저 질문있습니다. 전류밀도에서 J=I/S이고 I=JS인데 찾아보니간 I는 J와S의 내적으로 표현되는데 어떻게 내적으로 표현할 수 있는건지 모르겠습니다.

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    1. 식 (4)에 나와 있어요. 전류는 전하가 흐르는 방향으로 생기는 전하의 변화량입니다. 그래서 내적을 취해야 해요. 전하가 흐르지 않는 방향은 전류에 기여하지 않아요.

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  31. 선생님 식 29에 대해 의문점이 있는데요

    dW=Vdq+qdV에서 직류 전류에서 전하를 멈출 수 없기 때문에 q=0이다고 하셨는데, q=0이면 dq도 0이 되어야 하는 거 아닌가요?
    제 생각에는 직류에서 dV가 시간이 흘러도 바뀌지 않기 때문에 qdV 항이 시간으로 미분하면 사라질 것 같습니다.

    (29)

    직류가 흐르는 전기 회로에서는 전하(q)가 멈출 수 없기 때문에 q=0이라 생각할 수 있다.[∵ 전하가 저장되는 혹은 멈추는 영역이 있으면 여기에 커패시터(capacitor) 성분이 존재하지만, 직류가 흐르고 있기 때문에 커패시터는 있을 수 없다.] 이런 조건하에서 식 (29)를 시간 미분인 dt로 나누면 전기 회로의 전력을 다음처럼 정의할 수 있다.

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    1. 선생님이 아니고 전파거북이입니다.
      안녕하세요님, 멋진 지적입니다. ^^ 말씀하신 부분이 더 적절하네요. 본문도 수정했어요.

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    2. 혹시 dv=0인게 시간에 대해 미분할 경우에만 그런 게 아닌가요? 저항 내부에서는 전압강하가 있으므로 공간적인 전압변화는 있어도 시간에 대한 변화가 0인 게 아닐까요?

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    3. 익명님, 위 답글은 DC 전력 유도(그래서 $dV = 0$)를 더 쉽게 설명하는 내용입니다. 저항 공식 유도와는 관계가 없습니다.

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  32. 안녕하세요. 식(25)에서 dV가 적분 밖으로 나갈 수 있는 건 equipotential surface로 S를 잡고 적분해서 그렇고 dl의 방향을 equipotential surface의 노말 방향으로 잡아서 그런데요, 그렇다면 저항의 기하학적 모양이랑 equipotential surface로 적분을 잡은 거랑 dimension이 일치하지 않을 수도 있지 않나요 (오히려 dimension이 일치하는 경우가 특수한 경우 아닌가요)?

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    1. 전압 차이가 있으면 전류가 흐릅니다. 이렇게 전류가 흐르는 방향으로 $dl$을 잡았기 때문에 $dV$가 적분 밖으로 나갈 수 있어요.

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  33. 감사합니다. 혹시 R = L/(A*sigma)의 경우에는 저항의 dimension과 적분이 일치하는데, 저항의 기하학적 dimension이 (25)와 일치하지 않을 수도 있지 않나요? 제가 완벽하게 이해를 하지 못 한 상태로 질문을 드리는 것 같아서 죄송합니다. 예를 들어서 직사각형의 도체의 경우 equipotential surface의 노말이 그림[4]의 저항에서 대각선 방향이면 저항의 기하학적 모양과 R 적분이 달라질 수도 있을 것 같은데 뭔가 어디선가 제가 잘못 이해하고 있는 것 같은데 그 부분이 어딘지 잘 모르겠네요.. (전류의 방향에 따라 적분한 게)

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    1. 식 (25)는 일반식이라서 어떤 경우든 성립합니다. 그래서 저항의 기하학적 구조 뿐만 아니라 전압을 걸어주는 위치까지 고려해서 좌표계를 설정해야 합니다.
      예를 들어 식 (27)처럼 간단한 식을 얻은 이유는 전압을 $z$방향으로 걸었기 때문입니다. 만약 직육면체의 대각선 방향으로 전압을 걸면 적분이 복잡해지고 식 (27)처럼 나오지도 않아요.

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  34. 바쁘신와중에 질문하나 올려봅니다. 드루드 모형으로 전류밀도와 유동속간에 관계식을 유도할수있을까요? 직접적으로 해보지만 너무 어려워서요! 조금만 도움이 필요합니다...

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    1. 늙어가는대학생님, 말씀하신 부분은 드루데 모형을 쓸 필요는 없어요. 식 (4)를 보세요.

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    2. ㅠㅠ 그렇군요... 성실한 답변 감사합니다!!

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  35. 안녕하세요. 드루드 모델에 대해서 궁금한점이 생겨 이렇게 댓글을 쓰게 됐습니다. 타 블로그에서 드루드 모형에 관한 설명을 읽던 중에 전자의 속도를 Vxi = Uxi + {(eEx)/m}*(t - ti)} (여기서 Uxi는 충돌직후 x방향으로 i번째 위치에서의 속도, ti는 전자의 마지막 충돌시간, m은 전자의 질량) 라고 정의한 것을 봤습니다. 이 때 i = 1에서 i = N 까지 전자들의 평균속도는 Vavg = (1/N)*(Vx1 + Vx2 + Vx3 +...+ VxN) = {(eEx)/m}*τ 로 나와있안녕하세요. 드루드 모델에 대해서 궁금한점이 생겨 이렇게 댓글을 쓰게 됐습니다. 타 블로그에서 드루드 모형에 관한 설명을 읽던 중에 전자의 속도를 Vxi = Uxi + {(eEx)/m}*(t - ti)} (여기서 Uxi는 충돌직후 x방향으로 i번째 위치에서의 속도, ti는 전자의 마지막 충돌시간, m은 전자의 질량) 라고 정의한 것을 봤습니다. 이 때 i = 1에서 i = N 까지 전자들의 평균속도는 Vavg = (1/N)*(Vx1 + Vx2 + Vx3 +...+ VxN) = {(eEx)/m}*τ 로 나와있는데, 궁금한점이 충돌직후 속도인 Uxi 의 평균값이 왜 0이 되는건가요??? 혹시 양성자에 전자가 충돌하면서 전자가 가지고 있던 모든 운동에너지가 열에너지로 소비돼어 충돌직후에는 전자의 속도가 0이 되기 때문인가요??? 아래는 참고한 블로그 주소입니다.
    https://depletionregion.tistory.com/50

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    1. 반드시 그럴 필요는 없을 것 같은데요. 식 (13)처럼 시간이 한참 흐르면 전자의 운동은 정상화가 되기 때문에, 매우 긴 시간 후에는 전자의 운동량 변화가 평균적으로 없다는 표현이 더 합리적입니다.

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    2. 답변 감사합니다. 궁금한 것이 하나 더 있습니다. 식 (11)에서 외력이 작용하지 않을 때 전자의 평균 운동량의 변화량은 0이라고 하셨는데, 이를 전기장을 걸어주지 않은 상태에서(전자에 외력이 작용하지 않는 상태에서), 도선 내부(양성자와 전자들)를 하나의 계로 잡았을때, 양성자와 전자가 충돌할 때 발생하는 충격력은 내력이라서, 전자와 양성자들의 질량중심은 운동량이 보존되어(외력이 작용하지 않아 운동량이 보존되어) 운동량의 변화량이 0인 것이라고 생각해도 되는 것인가요??

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    3. 양성자는 움직이지 않고 고정된다고 가정합니다. 그래서 외력이 없는 경우, 전자의 운동량 총합은 0이 됩니다.

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  36. 거북님 궁금한점이있습니다.
    키로히호프 전류법칙에 대해 고민하다가 질문드리게 되었습니다.
    고전 전자기학에서 도체는 중성상태라면 원자하나당 자유전자를 갖는 성질로 알고 있습니다.

    반도체에서는 정공으로 설명을 하는데 도체도 정공에 자유전자가 체워지면서 이동하는 것으로 보면되나요?

    즉 전류가 흐를때 최외각 껍질의 자유전자가 옆에 있는 최외각 전자로 이동을 하는 것으로 알고 있는데요

    캐패시터를 설명할때 전자들이 캐패시터 도체판에 전자가 쌓인다고 표현하잖아요 만약 쌓이는 것이 맞다면 자유전자가 도체판끝에 있는 원자들의 최외각 껍질에 전자들이 쌓이는건가요??

    그리고 도체에서 전류가 흐를때 자유 전자를 미는 것처럼 움직이는 건가요? 즉 반도체가 정공을 채우듯이요 차이점이 있다면 도체는 최외각 전자가 없더라도 꼭 전자 채워지는 것은 아니라서 캐패시터 판에 자유전자들이 쌓일 수 있는 건가요??

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    1. 1. 도체의 전류는 자유 전자만 만들고 정공은 없어요.
      간단하게 보면 금속 원자의 최외각에 있던 전자가 떨어져 나와서 자유 전자를 구성해요. 더 현대적으로 에너지 띠(energy band) 관점으로 보면, 금속의 전도 띠(conduction band)에는 자연적으로 자유 전자가 존재해요. 왜냐하면 온도가 높아질 때 페르미 준위(Fermi level)를 넘는 전자가 있기 때문입니다.

      2. 금속의 자유 전자 이동은 전기력의 전달로 설명합니다. (-) 전하와 (-) 전하가 미는 척력이 전달되어 전류가 나타납니다. 그래서 정공을 채우면서 진행하지 않아요.

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    2. 거북님 답변 해주셔서 정말 감사합니다 ㅎㅎ
      캐패시터 극판에서 한쪽판은 전자가 쌓이고 한쪽판은 전자가 빠지는데 여기서 전자가 쌓인다는 것은 극판의 원자들 준위에서 더 높은 준위의 에너지 띠에 전자가 위치하면서 에너지를 갖는 건가요?? 즉 캐패시터에 전압을 가하여 에너지를 저장할때 극판의 원자들에 전자가 채워지면서 채우기위해 필요한 에너지 만큼(에너지 띠 차이만큼)충전되는게 전기장 에너지인가요??

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    3. 그렇게 보면 안되고요, 에너지 띠는 금속 결정의 성질입니다. 외부 에너지가 없더라도 전자가 이미 전도 띠에 있어서 자유 전자가 됩니다. 여기에 외부 전기장이 가해지면 전자는 파동적으로 움직이게 됩니다.

      커패시터에 저장되는 에너지는 양쪽 평행판에 모인 전하가 서로 당기는 인력에 의한 에너지입니다.

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    4. 거북님 답변을 지금 봤네요 친절한 답변 감사드립니다~
      거북님 외부 전원으로 부터 전자가 이동하면서 캐패시터 극판 원자들쪽에서 전자들이 정지하게 되잖아요 이때 저장되는 것이 전자가 전압으로 부터 얻은 에너지에 해당하는 높은 오비탈에 존재하게 되면서 에너지른 저장한다는 관점이 잘못 되었다는 것인지 궁금합니다~!!

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    5. 커패시터는 거시 세계입니다. 굳이 양자 역학을 도입할 필요가 있을까요? 물론 대응 원리(correspondence)에 의해 양자 역학적 결과를 확장하면 커패시터 결과가 나오기는 할 것입니다. 다만 커패시터를 구성하는 두 금속에 전자기력이 작용하기 때문에, 일반 도선의 전자 분포만으로는 부족할 것 같아요.

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  37. 배터리와 도선, 전구 그림에서요. 전구 대신 저항으로 바꿔서 생각해보면, 배터리 음극에 연결된 도선의 자유전자가 저항쪽으로 움직이고 저항(어떤 매질)에 있던 전자는 양극에 연결된 도선 쪽으로 움직이고, 그 도선의 자유 전자는 양극 방향으로 움직인다고 보면 될까요?
    또 저항이 없이 도선끼리 연결하면 실제론 스파크를 튀기면서 그럴것 같은데. V=IR 에서 저항이 0이면 전류는 무한하게 되고, 이것은 도선의 자유전자의 이동 속도가 무한대가 되는지 아님 전자의 갯수가 무한대로 늘어나는지 둘 중 하나의 이유로 중성자와 부딪히며 나는 현상이라고 봐야하는가요?

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    1. 1. 도선을 따라 흐르는 자유 전자의 유동 속도는 개미만큼 매우 느립니다. 하지만 반응 속도는 전기력에 비례하기 때문에 거의 광속입니다.
      그래서 저항을 설명하는 방식은 두 가지가 있어요. 첫째는 [그림 3]과 같은 이유로 저항에서 유동 속도가 느려진다는 가설이고요. 둘째는 전자가 파동처럼 움직여서 저항과 같은 불규칙 물질을 만나면 산란이 생긴다는 생각입니다. 현대적으로 보면 당연히 전자의 파동 특성이 더 잘 맞아요.

      2. 옴의 법칙을 잘 적용해야 합니다. 단순하게 회로 소자를 연결할 때 쓰는 이상적인 도선(저항이 0)을 보세요. 저항이 0인 경우는 전류가 일정하게 흐르고 전위차는 생기지 않아요. 전위차가 생기려면 전자가 에너지를 소비해야 하는데요, 이러면 저항이 0이라는 조건과 맞지 않아요.

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    2. 답변 감사드립니다.
      추가로 질문 드립니다. 부하(저항)의 음극이 만약 ground(earth)되어 있다면 전자가 지구땅에 들어가는게 아니라 반사되어 위상차로 인해 사라지는 것인가요? 사라진다는게 애매한데 그렇다고 열로 변환되지는 않는것 같습니다. 이걸로 지구온난화 얘기는 없으니까요..
      2번 답변은, 이상적인 도선인 경우 전위차도 저항도 제로인데 전류가 흐른다는 것은 생각치 못했습니다. 곰곰히 생각해보겠습니다..
      감사합니다.

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    3. 접지는 그 위치의 전압을 항상 0V로 맞추기 위해 존재합니다. 회로의 전압이 높으면 접지쪽으로 전류가 흐르고 전압이 낮으면 반대 방향으로 전류가 흘러요. 접지는 지구 그 자체라서 전기 용량은 거의 무한대로 생각할 수 있어요. 그리고 접지에 전류가 약간 흐른다고 지구 온도는 거의 영향이 없어요.

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    4. 글을 읽다가 저도 궁금했던 내용이라서 글을 적게 되었습니다.
      접지라는 것이 어떠한 도체가 외부의 전하에 의해 대전되어 대전 전하들이 붙잡혀 있다면 이때 도체를 접지할 경우 붙잡히지 않은 반대극성의 대전 전하가 땅으로 들어가거나 또는 대지로 부터 전하가 공급되어 붙잡힌 대전 전하를 제외한 반대극성의 대전전하를 상쇄시키는 역할을 하는 걸로 알고 있는데요 대지의 전위가 0v인 이유는

      대지는 도체적인 성질을 갖음과 동시에 도체로부터 대지로 공급받거나 대지가 도체로 공급하게되므로써 생기는 대지의 전하들은 대지의 도체의 성질에 의해 매우 멀리 퍼지기때문에 (매우 크기때문에) 대지 전하에 의한 영향이 거의 없다고 볼수있으므로 대지로 부터 무한지점을 기준 전위로 잡는다면 위에 언급한바와 같이 대지가 갖게된 전하들의 크기가 매우 작다고 볼 수 있으므로 이로 부터 발생한 전위는 0에 가깝기 때문에 0V라고 볼 수 있는 것일까요??

      추가적으로 질문한개만 드리겠습니다 위의 글에서 도체에 전류가 흐를때 전자들이 양성자와 충돌한다고 나와있는데 양성자와 전자의 충돌이라는 점은 양성자들이 이동하는 전자을 끌어당기는 알짜 인력이 방해 요소로 작용하기 때문인가요?? 일부 양성자는 전류의 방향으로 가속화 시키는 인력으로 작용할 수 있고 또는 전류의 방향으로 감속화 시키는 인력으로도 작용할 수 있다고 생각되어지는데 충돌은 방해요소를 말하는 것이므로 양성자의 알짜 인력이 결과적으로 방해 요소로 작용하는 것인가하여 여쭤보게 되었습니다~

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    5. 1. 땅은 표면적이 커서 전기 용량(capacitance)이 매우 큽니다. 그래서 $Q = CV$에 의해 땅에 전하가 좀 들어오더라도 전위는 거의 변동 없습니다. 전위는 상대적이니까 편한 기준으로 땅 전위를 0V로 둡니다.

      2. 식 (9)는 경험적입니다. 유체의 경험을 도체 전도에 적용해도 옴의 법칙이 나온다는 증명이 식 (15)입니다.
      또한 양성자와 전자 사이에는 전기적 인력이 작용해요. 전자가 전기를 이송할 때, 계속 흐르지 못하고 인력에 의해 양성자에 잡힙니다. 전자가 양성자에 잡힐 때 감속이나 가속될 수 있지만, 어쨌건 전자는 전류를 흘리지 못해요. 그래서 이 힘은 등가적으로 견인력이기 때문에 식 (9)는 매우 타당해요.

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    6. 친절한 답변 감사드립니다~~

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  38. 안녕하세요 전파거북님 위에 질문을 했던 익명입니다. 궁금한점이 있는데요 이에 대해 답변해주시면 감사드리겠습니다.

    1. 도선에 전지와 같은 부품으로 전위차를 걸어주면 도선내에 전기장이 작용하는 것은 알고 있는데요 이때의 전기장은 균일하다고 보는 것일까요 아니면 정확히 알 수 없다라고 보는 것이 맞을까요?? 도체 내에 전기장이 어떻게 분포하든지 신경을 쓰지 않아도 되는 논리적인 이유가 따로 있는 것일까요 ??

    2. 유동속도라는 외부 전기장에 의해 전자가 진동하면서 이동할때 정상 전류가 흐르는 충분한 시간이 지났다고 가정했을때 어떠한 주기적인 진동의 영향을 받고 이러한 주기적인 진동이 일어나는 시간 즉 충돌시간동안 이동한 거리를 나눈 값인 전자들 각각의 평균 백터들의 합을 전자의 총수로 나눈 값이 유동 속도라고 부르는 것인가요??
    위에 "어떠한 주기적인 진동의 영향을 받고" 라고 언급한 것에 대해 제가 추측을 하고 적었을 뿐입니다. 이게 진짜 이런지는 정확히 모르겠습니다. 금속결정은 일반적으로 규칙적인 배열을 하고 있는 것을 알고 있는데요 이러한 규칙적인 배열로 인해 자유전자들이 전기장의 영향을 받고 이동하는 과정에서 양성자와 자유전자들 사이의 인력 및 척력으로 인해 충돌시간동안으로 봤을때는 결과적으로 견인력으로 작용하며 이때의 견인력은 전자하나당 충돌시간동안의 평균 운동량에 비례하는 힘을 받는다고 생각하고 있습니다. 또한 여기서 충돌시간이란 정상 전류 상태라는 가정하에서 "자유전자 1개로는 주기성을 알 수 없으며 전체적으로 봤을때 즉 전체 자유전자들이 주기적인 충돌영향을 받는다 하였을때 한 주기에 해당하는 시간"으로 생각하고 있습니다.

    3. 식 (9)에서 미소시간에대한 운동량의 변화량 표현되어 있는데 엄밀하게는 이 미소극한 시간 dt가 아닌 dt시간 보다 큰 충돌 시간동안인가요??
    충돌시간이 맞다면 충돌시간에 매우 작기 때문에 0으로 근접하는 dt시간으로 간주하는 것일까요??

    4. 도선에 전위차를 걸어주면 전기장에 의해 전류가 흐른다고 하잖아요 이때 전위차를 지속적으로 가하게 된다면(시간이 어느 정도 지난다면) 정상 유동 속도를 갖게 된다고 이해했는데요 이렇게 정상 유동속도를 갖게되면 유동속도의 속력 및 방향은 거시적으로 봤을때 일정하게 유지 되는 건지 궁금합니다.

    5. 도선내에서 키로히호프 전류 법칙이 성립한다고 알고 있는데 키로히호프 전류법칙이 성립하려면 전류밀도의 폐곡면에 대한 면적분이 0이 되어야 된다고 알고 있습니다. 이는 닫힌 폐곡면에 대해 들어오는 전류와 나가는 전류가 같아야함을 말하는 것으로 이해하고 있습니다. (즉 단면적으로 나오는 전하들이 있다면 폐곡면내의 시간에 따른 전하가 일정하기 위해서는 들어오는 전류가 있어야한다.) 이러한 키로히호프 전류법칙은 도선내에 성립하는 실험적인 과정에서 나온 법칙이라고 보면 되나요?? 옴의 법칙처럼 전압이 매우크지 않다면 저항이 일정한 상수로써 작용할 수 있는 것 처럼요

    6. 식 (6)에서의 어떠한 폐곡면을 잡았을때 그 폐곡면 위에 해당 하는 전류밀도는 식(4)와는 다르게 전하밀도와 유동속도의 곱이 아닌 전하 밀도와 실제입자의 순간속도로 표현하는 것이 맞다고 생각이되는데 맞는지 궁금합니다.

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    1. 1. 편하게 할 때는 완전 전기 도체(PEC: perfect electric conductor)로 가정해서 전기장이 0이라 생각합니다. 손실 도체의 거의 정확한 전기장 분포는 참고문헌 [3], [4]를 보세요. 재미있는 내용이 많아요.

      2. 유동 속도는 식 (16)에 있는 평균 자유 시간과 관계됩니다. 복잡한 도체 내의 전도 현상을 견인 계수로 설명한 관점은 드루데의 위대한 기여입니다. 드루데가 논문을 썼던 1900년은 원자 구조를 모르던 시대였는데도 드루데는 제대로 된 길을 갔습니다.

      전도 현상을 금속 결정을 통과하는 전자(electron)의 파동으로 설명하는 개념은 드루데 이후에 나온 양자 역학의 결론입니다. 옴의 법칙을 다루는 현재 본문에서는 언급하지 않았어요. 잘 설명하려면 플로케 이론(Floquet theory)부터 시작해 블로흐의 정리(Bloch's theorem)까지 가야 합니다.

      3. 식 (9)는 유체에 대한 관찰로부터 얻어진 결과입니다. 이걸 식 (17)처럼 분석하다 보면 평균 자유 시간 개념까지 도달이 됩니다.

      4. 큰 범위로 보면, 도선에 DC 전압을 걸어준 경우 전류는 일정합니다. 당연히 유동 속도도 변동이 없다고 봅니다. 하지만 더 미시적으로 들어가면, 전류를 이루는 전자는 이산적인 전하를 가지고 이동하기 때문에 변동성이 존재합니다.

      5. 키르히호프는 대단한 천재입니다. KCL과 KVL을 만들 때 실험보다는 전하량과 에너지 보존을 생각했을 것 같습니다.

      6. 아닙니다. 전자의 속도는 거의 광속이라서 맞지 않아요. 거시적으로 혹은 통계적으로 봐야 하기 때문에 유동 속도가 맞아요.

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    2. 친절한 답변 감사드립니다.
      그런데 5번 답변에서요 키로히호프 전류법칙이 성립하기 위해서는 전하량 보존법칙이 성립되어야 한다라고 볼 수도 있겠지만 전하량 보존 법칙이 성립한다고 키로히호프 전류 법칙이 성립해야 될 이유는 없다고 생각이 듭니다 즉 실험적인 과정이 추가적으로 있었기에 키로히호프 전류법칙이 나왔지 않나 싶네요 예를들어 도선내의 총 전하량은 그대로유지한다면 전하량 보존법칙이 성립하지만 단면적마다 흐르는 전류의 크기는 다를 수 있지 않을까 생각되기 때문입니다.

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    3. 5.1. 식 (5)에 증명이 있습니다.

      5.2. 회로 이론의 발견에는 열 방정식(heat equation)이 큰 기여를 했습니다. 약간의 오류는 있었지만, 열류(heat flow)의 유사성을 이용해서 옴과 키르히호프는 전류를 합리적으로 설명했습니다. 아래 링크도 참고해보세요.

      https://ghebook.blogspot.com/2012/07/heat-becomes-communication-heat-equation.html

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  39. 전파거북님 옴의 미분형의 식은 정상상태의 전류가 흐르는 경우에 성립하는 식인가요??
    또한 궁금한점이 일정시간이 지나 정상상태가 되면 견인력이 견인상수와 평균속도의 곱으로 표현가능한건가요?? 즉 옴의 미분형은 견인력이 견인상수를 이용할 수 있는 정상상태의 전류일때 성립하는 것인가요?

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    1. 1. 맞습니다. 과도 응답(transient response)이 아니고 안정된 상태를 가정해서 유도합니다.

      2. 식 (9)는 유체에서 실험한 결과를 바탕으로 유추한 것입니다. 식 (9)가 맞는 조건에서 옴의 법칙이 성립해요.

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  40. 친절한 답변 감사드립니다~

    왠지 일반적으로 캐패시터와 같은 전원은 전기장 분포가 도선에 크기가 다르게 작용할텐데 견인계수가 일정하면 키로히호프 전류법칙이 성립하지 않을 것이라고 판단되서 입니다. 정상 상태가 되기전까지는 자유전자에 작용하는 견인계수가 서로 다르게 작동되어야 된다고 판단되서 입니다. 제가 이해한 내용이 맞는지 궁금합니다.

    또한 한가지 궁금증이 있는데요 캐패시터와 같은 전원은 도체판에 정전하로써 작용하므로 도선에 작용하는 전기장은 일반적으로 다르게 작용할텐데 도선에 전기장이 동일하게 작동하는 것으로 가정으로 부터 옴의 법칙을 증명하는 이유도(물론 단위길이당 단면적이 일정할경우) 정상상태에서 전류가 흐르는 과정에서 자유전자들이 이동하는 과정에서 발생하는 전기장이 전원 역할을 하는 캐패시터의 정전하들의 전기장을 도선내에 균일하게 분포하고 평균 충돌 시간을 간격으로 일정한 규칙적인 충돌이 일어나기 때문에 전기장이 도선에 동일하게 작용한다고 가정하고 증명하는 것인가요?? (단 이때도 도선의 단위길이당 단면적은 동일)

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    1. 익명님, 식 (8)은 유전율이나 투자율과 같은 매질 상수인 전도도에 대한 유도입니다. 즉, 모든 공간이 같은 물질로 채워진 경우에 전류 밀도와 전기장이 선형 관계를 가진다는 증명이 식 (8)입니다.

      이후에 실제적인 문제를 풀려면, 이미 확립한 식 (8)과 함께 다른 경계 조건을 적용해서 풀면 다 풀립니다.

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    2. 전파거북님 답변 감사합니다^^
      식(8)이 식(9)로 부터 유도 된것이므로 결국 식(8)도 정상상태에서 성립할 수 있는 식이겠네요??

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    3. 맞습니다. 또한 금속의 이완 시간(relaxation time)은 0.1 아토초(as) 정도로 매우 짧기 때문에 대부분의 경우에 식 (8)은 잘 성립합니다.

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    4. 전파거북님 많은 도움이 됬습니다 정말 감사합니다ㅎㅎ

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  41. 전파거북님 키로히호프의 전류법칙에 의문점이 생겨서 질문드리게 되었습니다.

    그림4를 예시로 들어 질문 드리도록 하겠습니다.
    그림4에서 직사각형 단면을 A 원통단면을 B라고 하고 단면 A와 B 각각이 길이 L 방향으로 작용하는 전기장을 E1 E2라고 가정하도록 하겠습니다.

    키로히호프 법칙에서 도선의 경우 임의의 폐곡면에 대해 들어가고 나오는 값이 같아 총 전류는 0의 값을 갖는 것으로 알고 있습니다. 이때 키로히호프 전류법칙을 만족하기 위해 넓이가 원통에 비해 상대적으로 더 큰 직사각형의 단면 A에 작용하는 전기장 E1은 단면이 작은 원통 단면 B에 작용하는 전기장 E2보다 더 작게 작용하는 것으로 알고 있습니다. 단, 이때의 폐곡면은 원통 단면 B로 부터 직사각형 A단면까지 도체표면을 둘러쌓은 형태로 잡았습니다.

    그런데 만약 폐곡면을 단면이 B인 원통형태로만 폐곡면을 잡는다면 직사각형 내부에 있는 원통단면 B'에 작용하는 전기장은 E1이고 실제 원통내에 있는 단면 B에 작용하는 전기장은 E2로 서로간의 차이가 발생하고 원통의 표면에 해당하는 전기장은 L방향의 전기장만이 존재하므로 결국 폐곡면내에 있는 전류는 0이 아닌 값으로 존재하게 된다고 생각이 되어집니다.

    즉 폐곡면을 어떻게 잡는가에 따라 전류가 0이 될 수도 0이 안될수도 있다고 판단되어지는데 맞는지 궁금합니다~

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    1. 맥스웰 방정식을 이용해 전류 밀도부터 계산하셔야 합니다. [그림 4]를 보면, 말씀하신 대로 단면이 달라집니다. 만약 단면이 작은 곳에서 큰 곳으로 전류가 흐르면, 전류 밀도 벡터는 도선의 길이 방향 뿐만 아니라 도선의 불연속면으로도 생깁니다. 정확한 전류 분포는 비오-사바르 법칙과 암페어 법칙에 경계 조건을 대입해서 풀어야 합니다. 아마도 구조가 복잡하기 때문에 수치 해석으로 계산할 수밖에 없을 것입니다.

      위와 같은 과정으로 전류 밀도를 계산한 후에 식 (8)을 이용해 도체 내부에 존재하는 전기장을 구합니다. 정자장 문제에서는 전류 밀도가 주이고, 전기장은 부수적인 특성입니다.

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    2. 전파거북님 친절한 답변 감사드립니다~^^
      위에 질문한 그림4에서 원통과 직육면체가 만나는 면을 포함하는 부근의 공간에 있는 도체에 작용하는 전기장은 복잡하게 작용할텐데 소비되는 줄열 에너지를 구할때도 까다롭긴 하겠네요?? 하지만 실사용 관점에서는 일반적으로 무시할 수 있을 정도의 에너지로 전기장이 균등하게 작용한다고 가정하고 풀어도 큰 문제가 없을까요??

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    3. 맞습니다. 정확하게 풀려면 Ansys Maxwell과 같은 상용 SW가 필요해요.
      대충 근사적으로 풀려면 KCL로 J를 구하고 식 (8)로 E를 구해도 됩니다. 왜냐하면 불연속면으로 인해 생기는 전하 밀도 혹은 추가 전기장 성분이 크지 않기 때문입니다.

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  42. 전파거북님께서 올려주신 자료에서
    https://ghebook.blogspot.com/2010/08/metal.html
    식 (3)에서 시간 t에 대해 E가 상수일때 키로히호프 전류 법칙이 성립하는 것이라고 볼 수 있는 것인가요??
    즉 식 (3)은 옴의 법칙 및 전하량 보존 법칙으로 부터 유도된 식인데 여기서 키로히호프 전류 법칙을 만족하기 위해서는 해당 시간에 대해 전기장이 상수로써 작용해야된다고 생각하고 있습니다.
    물론 꼭 상수일 필요는 없고 바로 위에 질문에서와 같이 현재 본문에서의 [그림4]에서 원통과 직사각형이 만나는 부분의 영역은 키로히호프 전류법칙을 만족하도록 전기장이 불균일하게 분포하고 있다고 보고있습니다.

    제가 의문이 드는 점은 전원에서 고르지 않는 불균등 전기장을 주었을때 키로히호프 전류법칙을 만족하기 위해 전기장이 결국 고르게 균등한(도선의 면적에 따라 다른 전기장이 분포되겠지만 면적이 동일한 연속적인 도선의 경우 키로히호프 전류법칙을 만족하기 위해 동일한 전기장이 가해질 것이라고 생각하고 있습니다.) 전기장이 분포되는 현상이 일어나는 것으로 생각하고 있는데 이것이 맞다면 키로히호프의 전류법칙은 도체의 어떠한 성질까지 포함된 법칙을 의미한다고 생각됩니다.
    키로히호프의 전류법칙은 금속의 성질중 하나라고 받아들이는 것이 맞을까요?? 도체내에 전하밀도를 일정하게 유지하는 어떠한 양자역학적 성질인지 궁금합니다

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    1. 1. KCL은 철저히 전하 보존 법칙의 결과물이고 전류에 대한 법칙입니다. 전류 밀도와 전기장과 관계를 설명하는 법칙은 옴의 법칙입니다.

      2. 전도도가 상수인 경우는 식 (8)을 만족해야 합니다. 이때는 보통 정전장 근사를 해서 전기장을 먼저 구하고, 식 (8)에 따라 전류 밀도를 구하면 됩니다.

      3. KCL을 설명하기 위해 양자 역학을 쓰는 것은 과해요.

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  43. 안녕하세요. 직선도선을 따라 일정하게 흐르는 전류가 회전하는 자기장을 형성하는데 발산하는 전기장도 만드나요?

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    1. 1. 손실이 없는 도선이면 전기장 자체가 생기지 않아요.

      2. 손실이 있으면, 옴의 법칙에 따라 전기장이 생겨요. 하지만 이 전기장은 전류가 흐르는 방향으로 일정하게 생겨서 발산은 없어요.

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  44. n에 대한 전자에 대한 운동량식(10)을 식(11)과 같이 평균한식으로 나타낸다고 하더라도 t가 무한으로 갈경우 운동량은 식(10)이나 식(11)처럼 0으로 되야되는거 아닌가요?? 즉 식(13)의 =u 유동속도는 0이 되야만되는거 아닌가요??
    정리하자면 전자 1개에 대한 운동량 식(10)은 시간이 무한이 되면 0이 되고
    식(10)을 이용해서 무한의 시간에 대해 N개의 전자들을 평균화 한다면 결국 운동량 0들을 더하는것이니까 0이 되야되는거 아닌가요

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    1. 혹시 전자의 개수가 엄청나게 많기때문에 식(10)이 0에 가까워지더라도 매우큰 N개를 더하기때문에 결국 0이 아닌 어떤 속도 값에 수렴하게 된다고 보면 되는건가요??

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    2. 외부에서 전기장을 걸기 때문에, 전하를 가진 전자는 반드시 특정 방향으로 움직여야 합니다. 시간이 흘러도 전기장은 그대로라서 특정 방향으로 흐름이 꼭 생겨야 합니다. 다만 전자 개수가 너무 많아서 모든 충돌을 고려하기 어려워서 통계적으로 처리합니다.

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    3. 친절한 답변 감사합니다.
      근데 단일전자에 대한 식(10)으로 봐서는 시간이 흐를수록 기하급수 적으로 운동량의 크기가 감소하는데 전자의 질량이 일정하니까 시간이 흐를수록 속력이 기하급수적으로 감소하는것인데 이는 평균화하더라도 수학적으로 봐서는 유동속력이 0이 나온다는 건데 실험적으로는 거북님 말씀데로 전기장에 의해 전자들은 평균적으로 해당 방향으로 이동하잖아요 즉 식(10)만으로는 설명하기가 부족하다고 생각되어지고 어떤 성질에 의해 운동량이 0에 수렴하지는 않는다는 성질이 있을꺼 같은데 그 성질이 뭘지 모르겠네요

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    4. 식(9)로 부터 식(10)을 유도하는 과정에서 dp/dt을 견인력으로만 표현하셨는데 전기장도 더한식을 미분방정식을 풀어야된다고 생각합니다.

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    5. 식 (9)는 외부 전기장이 없는 조건이고요, 식 (12)에서 외부 전기장을 추가해서 이론을 전개하고 있어요.

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    6. 그런거군요 오해가 있었네요 답변 감사합니다ㅎㅎ

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  45. 거북님 글을 읽다가 의문이 생겨 글을 올립니다.
    도체내 자유전자가 이동할때 엄청빠르지만 지그재그처럼 충돌하면서 이동하고 자유전자들의 평균속도가 상대적으로 작다는 것으로 알고 있습니다.
    그런데 식(9)에 pn은 n번전째 전자에 대한 견인력이라고 하셨는데 견인력을 n번째 단일 자유전자에 대해 도입하게되면 자유전자가 매우 빠른속도로 이동한다는 오류를 범하게 된다고 생각됩니다.
    즉 평균적으로 나타낼때만 견인력이라는 식을 이용할 수 있는 것 아닌가요??

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    1. 그렇게 생각하지 않습니다.
      전자 하나가 겪는 운동 현상을 식 (9)로 근사화합니다. 이는 유체 역학의 견인력에서 유추한 가정입니다.
      이걸 그대로 계산하기 어렵기 때문에, 식 (12)처럼 통계적으로 처리합니다.

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  46. 1. 회로도에서의 이상적인 도선은 저항이 0인 것을 뜻하는지요? 2. 회로도에서의 이상적인 도선과 완전도체는 다른 개념인지요? 3. 혹시 완전도체는 길이가 0에 가까운 인덕터라고 봐야하는지요?

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    1. 1. 맞습니다.

      2. 완전 전기 도체(PEC)로 회로선을 만든다고 생각하면 좋겠는데요. 완전 전기 도체는 매질이고, 회로선은 소자를 연결하기 위한 이상적 도선입니다.

      3. 완전 전기 도체는 접선 전기장이 0이 되는 매질입니다. 아래 링크도 참고해보세요.

      https://ghebook.blogspot.com/2010/08/metal.html

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    2. 링크 주신 페이지를 읽어봤지만 이해하기 어렵습니다. 제가 이런 질문을 드린 이유는 회로도의 연결선이 저항이 0인 도선이라면 이거 초전도체 아냐? 라는 엉뚱한 생각이 나서였습니다.(요즘 초전도체 초전도체하니까 이렇게 까지 생각이 들었고 뭐 회로해석에는 전혀 도움이 안되지만요) 그래서 어, 그러면 초전도체는 완전도체와는 다르네?(이름이 다르니까) 그럼 회로에서 연결선은 완전전기도체가 아니네? 이런 생각에 질문을 드린 것입니다. 엉뚱하지만 자꾸 생각나네요.

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    3. 초전도체는 저항이 0이면서 완전 반자성인 성질이 있어요. 전기뿐만 아니고 자기까지 고려한 매질이 초전도체입니다.(회로선은 전압 연결 용도) 완전 반자성이 나오는 이유는 저항이 없어서 회오리 전류(eddy current)가 완전하게 외부 자기장을 상쇄시키기 때문입니다.

      초보적이지만 더 자세한 설명은 위 참고문헌 [6]에 있는 론돈 형제 논문(론돈 방정석 출현)을 보는 게 좋아요.

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    4. 엉뚱한 질문에도 답변 하나하나 해주셔서 진심 감사드립니다. 무더위 잘 보내시고 건강하세요!

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  47. 전파거북님 좋은 글 항상 감사합니다.
    궁금한것이 있어서 몇가지 여쭤보게됬습니다.

    (1) 일상생활에서 비선형 부하들이 많을텐데 비선형 부하에 소비되는 전력도 전압과 전류를 곱하는식으로 구할 수 있는 건가요??

    (2) 만약 (1)번질문이 맞다면 실제 비선형 소자에 작용하는 전류와 전압은 다르고 해당 비선형 소자에 적용하는 물리법칙으로 구해진 일률을 해당 전압과 전류의 관계로 등가화해서 나타내나요??

    (3) 비선형 소자는 본문의 식(8)에 해당하는 전도도가 시간에 변화한다고 생각하면 되는건가요??
    (제가 이런 의문이 드는 이유는 식(8)의 전도도는 도체와 같은 성질을 갖는 물질들만 적용되는 걸로 알고 있어서 입니다. 만약에 시간에 대해 변하는 전도도로도 설명이 안되는 비선형 부하라면 전력으로 등가화 조차 못할 수도 있다고 생각하고 있습니다. )

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    1. 거북님 질문을 이상하게 했네요 죄송합니다.
      질문(2)는 무시해주세요~~

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    2. 1. 가능합니다. 비선형 소자라 해도 순시 전력은 전압과 전류를 곱해서 구해요. 필요하면 순시 전력을 평균내서 평균 전력으로 처리할 수도 있고요.

      3. 아닙니다. 비선형은 전기장과 전류 밀도의 관계가 선형이 아니라는 뜻입니다. 예를 들면, 진공관에서 생기는 차일드–랭뮤어 법칙(Child–Langmuir law.)이 있습니다. 이걸 검색해보세요.

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    3. 거북님 항상 친절한 답변 감사합니다 참고하겠습니다~~

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  48. 박사이신건가요..?

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