레이다 방정식(Radar Equation)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "레이다 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 프리스 전송 방정식

2. 전자파의 편파

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(a) 연속파(continuous wave, CW)

(b) 펄스 혹은 맥파(pulse)

[그림 1] 레이다를 이용한 물체 탐지 원리(출처: wikipedia.org)

[그림 1]에 보인 레이다(radar: 무선 탐지와 거리 측정, radio detection and ranging)는 어원처럼 무선(radio)으로 물체를 탐지하고 거리를 측정하기 위해 사용한다. 레이다에 사용하는 신호는 연속적으로 파동을 쏘는 연속파(continuous wave, CW)와 간간이 맥박처럼 발사하는 펄스 혹은 맥파(脈派, pulse or pulse wave)가 있다. 요즘 민수 영역으로 응용을 확대하고 있는 레이다 기술은 국방 부문에서도 여전 맹렬하게 연구되고 있다. 다만 레이다 기술의 시작은 원래 민수 분야였다. 독일 카를스루에 대학교(Universität Karlsruhe)의 교수였던 헤르츠Heinrich Hertz(1857–1894)가 1887년헤르츠 30세, 조선 고종 시절에 전자파의 존재를 실증한 이후에, 또 다른 독일인인 휠스마이어Christian Hülsmeyer(1881–1957)가 1904년휠스마이어 23세, 대한제국 시절에 짙은 안개 속에 있는 배를 전자파로 탐지할 수 있는 원리를 특허로 출원했다. 이 방법이 바로 레이다의 직접적인 조상이 된다. 그후에 국방 분야의 응용을 찾기 위해 영국, 미국, 독일, 일본 등이 비밀리에 독자 연구를 계속 했다. 1935년왓슨-와트 43세, 일제 식민지 시절에는 영국 과학자 왓슨-와트Robert Watson-Watt(1892–1973)가 BBC 방송국의 송신기로 항공기를 탐지했고, 현재와 같은 원리를 가진 레이다 발명까지 이어졌다. 결국 제1차 및 제2차 세계대전을 거치면서 함정과 비행기를 가장 먼 거리에서 탐지할 수있는 레이다 방식은 확고한 국방 기술로 자리매김한다. 특히 효율적인 레이다 시스템을 설계하기 위해 미국 MIT(매사추세츠 공과대학교, Massachusetts Institute of Technology) 방사연구실(Radiation Laboratory)에 모인 최고 전문가들이 정립한 전자파 이론은 우리가 배우는 전파 공학의 뿌리가 되었다.

[그림 2] 패트리어트 시스템(Patriot System)의 레이다(출처: wikipedia.org)

레이다는 워낙 많이 쓰이기 때문에 다양한 방식으로 분류한다. 전파 응용을 기준으로 레이다를 나누는 경우는 다음과 같다.

• 탐색 레이다(search radar) 혹은 감시 레이다(surveillance radar): 하늘 거의 전체를 하나의 안테나로 감시해서 표적 유무를 관찰하는 레이다; 많은 영역을 빠르게 검색해야 하므로, 안테나의 빔폭(beamwidth)을 넓게 설계해서 안테나 이득은 다소 작음
• 추적 레이다(tracking radar): 주로 배열 안테나(array antenna)를 사용해서 빔폭을 최대한 좁게 만들어 표적을 정확하게 따라가는 레이다; 빔폭이 작아서 안테나 이득이 크고 안테나의 물리적 크기도 매우 큼; [그림 2]에서 가장 크게 보이는 네모가 추적 레이다이며, 배열 원소의 위상 조정을 통해 탐색 레이다로도 작동함
• 영상 레이다(imaging radar): 레이다로 표적의 위치와 속도 뿐만 아니라 표적의 모양까지 얻으려는 레이다; 레이다가 쓰는 전자파 신호는 야간이나 기상 악화 상황에서도 수신이 되므로 사진기(camera)보다 영상 획득의 장점이 있음; 언제나 영상을 얻는 특징으로 인해 자율 주행차(self-driving vehicle or car)의 필수 기술이 됨; 3차원 상의 산란체 위치와 속도까지 검출해 형상화하는 제품은 4D(four-dimensional) 혹은 4차원 영상 레이다로 부름
• 지표 투과 레이다(ground-penetrating radar, GPR): 땅속에 숨겨진 표적이나 구멍을 찾기 위해 지면 바로 위에서 지하 방향으로 신호를 쏘는 레이다; GPR을 쓰면 땅을 파지 않고도 지하 정보를 획득할 수 있음
• 수풀 투과 레이다(foliage penetration radar) 혹은 FOPEN 레이다: 수풀 뒤쪽에 가려진 표적을 분석할 수 있도록 수풀에 침투가 가능한 신호를 쓰는 레이다[4]; 주로 초광대역(ultra-wideband, UWB) 신호를 써서 시스템을 구성함
• 벽 투과 영상 레이다(through-wall imaging radar): 건물 벽 뒤쪽에 있는 표적이나 상황을 알기 위해 넓은 벽면을 전자파로 주사해서 벽 넘어 영상을 획득하는 레이다[5]; 시가전(urban warfare)을 대비해서 군사용으로 다양하게 개발되고 있음
• 생체 레이다(bioradar): 생명체에서 반사되는 신호를 분석하여 활력 징후(vital sign)를 진단하는 레이다; 자동차 좌석에 부착한 생체 레이다로 운전자나 동승자의 상태를 실시간으로 감지해서 운전자 상태 경고(driver state warning, DSW)를 할 때 사용[11]

레이다가 가진 표적 탐지 기능을 활용한 다양한 응용을 아래에 간략히 소개한다.

• 이동 표적 표시(moving target indication, MTI): 표적에서 산란되는 정보를 지능적으로 처리하여 잡동사니 혹은 클러터(clutter)로부터 이동체를 탐지; 클러터는 표적과 관계없이 저절로 발생하는 불필요한 산란파를 의미; 공중 및 지상 이동체의 탐지는 각각 AMTI(공중 이동 표적 표시, airborne moving target indication), GMTI(지상 이동 표적 표시, ground moving target indication)로 이름 붙임
• 통합 탐지 및 통신(integrated sensing and communication, ISAC): 6G(세대, generation) 통신에서 레이다와 통신 기능을 통합하여 통신기기인 기지국이나 단말기가 주변 환경을 레이다 방식으로 인식할 수 있는 서비스[9]; ISAC를 활용해서 좀더 정밀한 측위(positioning), 사람을 포함한 이동체의 정교한 식별, 주변 환경 맞춤형 통신 채널 모형화 혹은 빔형성(beamforming) 등에 사용할 수 있음

레이다 시스템의 통신(communication) 영역을 만드는 방식에 따라 특별한 이름을 붙여서 구성 요소를 강조하기도 한다.

• 광자 레이다(photonic radar): 변조와 복조를 RF(radio frequency)로 하지 않고 레이저(laser), 광학 간섭계(optical interferometer), 광검출기(photodetector)를 포함한 광학 기술(optical technology) 혹은 광자 공학(photonics)을 이용해서 통신 변복조기를 구성한 레이다[6]; 광자 레이다는 통상적으로 높은 변조 주파수, 넓은 범위에서 변조 주파수 변경, 초광대역 등의 특성을 가짐
• 양자 레이다(quantum radar): 기존 레이다 개념은 그대로 차용하지만 자유 공간에는 전자파 파동이 아닌 초고주파 광자(microwave photon)를 쏘아서 이동체에 의한 양자 역학적 산란 특성을 분석해 표적을 탐지하는 미래형 레이다[10]; 양자 레이다가 발사하는 초고주파 광자들은 양자 얽힘(quantum entanglement)을 가져서 신호원에서 나온 광자와 물체에서 산란된 광자를 상관(correlation)시킴으로써 전자파 파동과 다른 독특한 산란 특성을 얻음

무선 통신 혹은 레이다가 사용하는 다양한 주파수 대역(frequency band) 혹은 무선 스펙트럼(radio spectrum)을 단일 문자로 표기하는 방법은 [표 1]과 같다.

[표 1] 주파수 대역 혹은 무선 스펙트럼(출처: wikipedia.org)

대역 명칭 (Band designation)	주파수 대역 (Frequency band or radio spectrum)	설명 (Explanation)
L	1–2 GHz	장파(long wave)를 나타내는 L이 쓰임
S	2–4 GHz	단파(short wave)라서 S를 배정
C	4–8 GHz	S와 X 사이의 타협(compromise) 대역이라 C를 선택
X	8–12 GHz	제2차 세계대전 때에 사격 통제의 목표점을 뜻하는 십자가 X에서 유래
Ku	12–18 GHz	K 대역보다 아래(under)에 있어서 Ku
K	18–27 GHz	단파에서 짧은을 뜻하는 독일어 Kurz(쿠르츠)의 첫자 K
Ka	27–40 GHz	K 대역보다 위(above)에 있어서 Ka
V	40–75 GHz	매우 높은(very high) 주파수라서 V를 채택
E	60–90 GHz	기간망(backbone network)에 연결하는 RF 백홀(backhaul) 대역
W	75–110 GHz	알파벳 V 다음에 나오는 문자 W를 사용
D	110–170 GHz	5G 및 6G의 차세대 이동 통신 대역
H	220–330 GHz	밀리미터파(millimeter wave: 파장이 밀리미터 정도인 파동)
O	광통신: 1260–1360 nm	광통신의 대역은 주파수가 아닌 파장으로 기술; O 대역은 최초로 광통신이 사용된 원래 대역(original band)이란 뜻; O 대역에서는 광섬유(optical fiber)의 손실과 왜곡이 최소

대역 명칭은 원래 제2차 세계대전 때에 쓰던 레이다의 주파수 범위를 명시하는 용어였기 때문에, 알파벳 순서대로 배정하지 않고 거의 무작위처럼 나열된다. 이런 측면에서 임의 숫자와 해괴한 알파벳을 많이 쓰는 군대 느낌이 조금 난다. 그래서 자주 쓰지 않으면 이미 알고 있던 주파수 대역도 까먹고, 대역 이름을 모르는 사람이 들으면 어떤 주파수인지 알 수가 없는 애매함이 있다. [표 1]에 제시한 주파수 대역은 주로 레이다에 사용하고 있으며, 같은 대역 명칭이더라도 상이한 응용에서는 약간 다르게 스펙트럼을 정의하기도 한다. 

[그림 3] 주파수에 대한 금속 구의 레이다 단면적 변화(출처: wikipedia.org)

레이다의 동작 특성을 설명하는 레이다 방정식(radar equation)은 프리스Harald Friis(1893–1976)가 만든 걸작인 프리스 전송 방정식(Friis transmission equation)으로부터 유도한다. 일단 레이다 방정식에 쓰이는 레이다 단면적(radar cross-section, RCS) $\sigma(\theta, \phi; \theta_i, \phi_i)$부터 도입한다[8]. 레이다 단면적 혹은 RCS는 물체에 의해 발생하는 산란 전력(scattered power)의 크기를 면적으로 환산해서 사용한다. RCS 개념과 측정 방식에 대한 고민은 제2차 세계대전에 쓰일 레이다를 연구하던 시절부터 시작되었다[1]. 문헌상 RCS 측정이 최초로 공개된 연도는 1942년일제 식민지 시절이지만, 레이다 기술은 원래부터 기밀 사항이어서 1942년보다 훨씬 이전에 많은 연구가 진행되었을 것이다. 레이다 단면적은 원역장(far field) 현상이라서 산란체와 수신기의 거리 $r$을 무한대로 보내는 정의를 사용한다.

                  (1)

여기서 $\bar r$ = $(r, \theta, \phi)$, $r$ = $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$, $(\theta_i, \phi_i)$와 $(\theta, \phi)$는 입사 및 산란되는 각도, $\bar E_i (\bar r), \bar E_s (\bar r)$ 및 $S_i(\theta_i, \phi_i), S_s(\theta, \phi)$는 각각 입사와 산란하는 전기장(electric field) 및 전력 밀도(power density)이다. 산란체에 의한 전자파 산란을 강조해서 RCS 대신 산란 단면적(scattering cross-section)이란 용어를 써도 된다. 레이다 단면적을 표현하는 식 (1)을 있는 그대로 보면 이해가 쉽지 않다. 전파 산란을 상상하며 식 (1)을 약간 비틀어서 다르게 살펴본다.

                  (2)

여기서 $P_s(\theta, \phi)$는 $\sigma(\theta, \phi; \theta_i, \phi_i)$에 의해 $(\theta, \phi)$방향으로 산란되는 전력이다. 전력 밀도 $S_i$를 가진 평면파가 산란체에 부딪혀서 $(\theta, \phi)$방향으로 재복사되는 전력이 바로 $P_s$이다. 원래는 산란파의 전력 밀도를 정확히 계산한 후에 원역장으로 보내서 $P_s$를 구해야 하지만, 식 (1)로 $\sigma(\theta, \phi; \theta_i, \phi_i)$를 결정한 상태라서 $\sigma S_i$만 계산하면 $P_s$가 즉시 구해진다.

[그림 4] 양상태 레이다(bistatic radar)의 개념도

강력한 RCS 개념을 바탕으로 [그림 4]와 같은 구조를 가진 양상태 레이다(倆狀態, bistatic radar)를 위한 레이다 방정식을 세밀하게 구한다. 양상태 레이다는 송신기와 수신기를 일정 거리만큼 떨어뜨려서 운영한다.

                  (3)

식 (3)을 조금 더 정리해서 최종적인 레이다 방정식을 공식화한다.

                  (4)

여기서 $\sigma(\theta, \phi; \theta_i, \phi_i)$는 양상태(bistatic) RCS이다. 단순하게 봐서 송신기에서 산란체, 산란체에서 수신기로 가는 경로에 프리스 전송 방정식을 각각 쓰면 식 (4)의 결과가 바로 나온다. 송신기와 수신기를 공통으로 쓰는 단상태 레이다(單狀態, monostatic radar)의 방정식은 더 간략화된다.

                  (5)

여기서 $\sigma(\theta_i, \phi_i)$는 단상태(monostatic) RCS라 부른다. 스텔쓰(stealth) 혹은 잠행(潛行) 항공기의 허를 찌르기 위해, 레이다의 산란 신호를 한 군데가 아닌 여러 군데에서 수신하는 다중 상태 레이다(multistatic radar)도 현재 활발히 연구되고 있다.

[그림 5] 2차원 구조를 3차원으로 확대하는 방법(원본 출처: wikipedia.org)

레이다 단면적 $\sigma$는 당연히 3차원에서 사용되지만, 3차원 공간에서 전자파 산란을 정확히 고려하기는 어려워서 문제 구조를 2차원으로 축약해서 산란파를 계산할 때가 매우 많다. 이 경우는 $\sigma$ 대신 반향폭(反響幅, echowidth) $\sigma_w$를 사용한다. 반향폭은 산란 전력의 강도를 길이로 환산한 값을 의미한다. 2차원인 $xy$평면상에서 입사하는 전기장 $\bar E_{z}^i(\bar \rho)$ = $E_{i}(\bar \rho) \hat z$는 $z$방향 성분만 있다고 가정해서 반향폭 $\sigma_w$를 유도한다.

                  (6)

여기서 $\bar \rho$ = $(\rho, \phi)$, $\rho$ = $\sqrt{x^2 + y^2}$, $\bar E_{z}^s(\bar \rho)$는 $z$방향 성분만 가진 산란 전기장이다. 그러면 원역장 근사(far-field approximation)를 적용한 후에 등가 자류 밀도를 $\phi'$에 대해 적분해서 $\bar E_{z}^s(\bar \rho)$를 구한다.

                  (7)

                  (8)

여기서 $\bar M_s (\bar \rho')$는 선 자류 밀도, $\rho_0$는 산란체를 둘러싸는 원의 반지름, $\rho'$ = $\rho_0$에서 잰 근역 전기장(near electric field)은 $\bar E_z^\text{nf}(\bar \rho')$ = $E_\text{nf}(\bar \rho') \hat z$, $R_2$ = $\sqrt{(x-x')^2 + (y-y')^2}$ $\approx$ $\rho - \bar \rho' \cdot \hat \rho$이다.

                  (9)

                  (10)

여기서 $\hat \rho \times \hat \phi'$ = $\cos (\phi - \phi') \hat z$, $\bar s_w(\phi; k)$는 반향폭과 연결된 2차원 산란 벡터(scattering vector)이다. 식 (9)를 식 (6)에 대입해서 반향폭 $\sigma_w$를 간단히 결정한다.

                  (11)

신기하게 2차원 산란 벡터 $\bar s_w(\phi; k)$의 크기 제곱은 정확히 반향폭이 된다. 이번에는 2차원 구조를 3차원으로 확장하기 위해, [그림 5]처럼 동일한 단면이 $z$축으로 $L_z$만큼 증가한다고 생각한다. 이때 생기는 산란 전기장 $\bar E_s(\bar r)$은 식 (9)에 $z$방향 적분을 추가해서 얻는다.

                  (12)

여기서 $R$ = $\sqrt{(x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2}$ $\approx$ $r - \bar r' \cdot \hat r$ = $r - \sin \theta \bar \rho' \cdot \hat \rho - \cos \theta z'$이다. RCS가 커지는 $\theta$ $\approx$ $90^\circ$ 근방만 고려해서 식 (12)를 더 근사화한다.

             (13)

여기서 $\bar E_z^i (\bar r)$ = $E_i (\bar r)\hat z$, $\hat r \times \hat \phi'$ $\approx$ $\sin \theta \cos (\phi - \phi') \hat z$, 3차원 산란 벡터 $\bar s_\sigma(\theta, \phi; k)$는 RCS $\sigma$를 생성한다.

                  (14)

                  (15)

                  (16)

RCS가 가장 큰 $\theta$ = $90^\circ$로만 한정한 경우에 식 (16)은 반향폭과 그대로 연결된다[2], [7, p. 584].

                  (17)

결국 최대 RCS는 2차원 반향폭에 완전히 정비례하며, 그 비례 상수는 원역장 거리(far-field distance) 혹은 프라운호퍼 거리(Fraunhofer distance) $r_\text{ff}$가 된다.

식 (13)을 임의 편파(polarization)로 확대하기 위해, 3차원 산란 벡터 $\bar s_\sigma(\theta, \phi; k)$를 대신하는 산란 다이애드(scattering dyad) $\bar{\bar s}_\sigma(\theta, \phi; k)$를 도입한다.

                  (18)

전자파의 편파는 2차원이라서 산란 다이애드는 $2 \times 2$ 행렬과 등가이다.[∵ 진행 방향은 편파에 기여하지 못하므로, 편파는 항상 2차원으로 구성된다.] 예를 들어, 수평 및 수직 편파(horizontal and vertical polarizations)를 사용하는 산란 다이애드는 다음과 같이 표현된다.

                  (19)

여기서 $H, V$는 각각 수평 및 수직 편파를 의미한다. 식 (19)를 식 (18)에 넣어서 행렬 형태로 방정식을 바꾼다.

                  (20)

송수신기의 배치가 [그림 4]와 같고 산란체에 의한 편파간 변화는 없다고 가정하면, 식 (18)의 크기 제곱은 식 (3)에 나온 양상태 레이다 방정식으로 간략화된다.

                  (21)

여기서 $s_{HV}$ = $s_{VH}$ = $0$, $\sigma_H$ = $|s_{HH}|^2$, $\sigma_V$ = $|s_{VV}|^2$, $S_i (\theta_i ,\phi_i)$ = $|\bar E_i(\bar r)|^2 \mathbin{/}(2 \eta)$이다.

식 (6)에서 사용한 전기장은 항상 경계면에 평행하게 입사하므로, 음파의 기준을 빌려서 $\sigma_w$를 연성 반향폭(soft echowidth) $\sigma_s$로 더 구체적인 이름을 붙이기도 한다[7]. 만약 전기장 $\bar E_z^i (\bar \rho)$가 아닌 자기장 $\bar H_z^i (\bar \rho)$의 입사를 가정한 경우에 $\sigma_w$는 경성 반향폭(hard echowidth) $\sigma_h$가 된다. 연성과 경성이란 명칭을 붙이는 이유는 음파의 반사와 PEC에서 전자기장의 반사 특성이 매우 비슷하기 때문이다.

대부분의 산란체는 식 (1)로 정의한 RCS로 충분하지만, 안테나(antenna)가 만드는 산란 특성은 식 (1)에서 약간 달라진다[12]. 금속, 유전체, 자성체 등으로 구조물을 만들어 전자파가 이 구조에 의해 산란되는 단면적은 구조 모드(structural-mode) RCS, $\sigma_s(\theta, \phi; \theta_i, \phi_i)$라 부른다. 통상적으로 RCS라 할 때는 구조 모드 RCS를 뜻하며 식 (1)로 도출한다. 이와 상반되게 단순 구조가 아닌 안테나로 작용해서 외부로 산란되는 특성은 안테나 모드(antenna-mode) RCS, $\sigma_a(\theta, \phi; \theta_i, \phi_i)$로 계량한다. 안테나 모드 RCS는 안테나의 송신 및 수신 성질을 모두 포함한다. 구체적으로 입사파가 안테나의 유효 면적(effective area) $A_e$에 흡수된 후, 안테나 내부에 연결된 부하[수신 전력을 전원, 안테나에 연결된 회로를 부하로 생각] $Z_L$에서 반사(reflection)가 $\Gamma$만큼 일어나서 다시 안테나에서 자유 공간으로 안테나 이득 $G$에 따라 재복사된다. 부하 임피던스(load impedance)의 변동을 생략하려고 전반사 조건인 $|\Gamma|$ = $1$을 가정해 계산한 값이 바로 안테나 모드 RCS이다.

                  (22)

여기서 $\Gamma$ = $(Z_L - Z_a) \mathbin{/} (Z_L - Z_a)$, $Z_a$는 안테나의 입력 임피던스(input impedance of antenna), 실제 산란에 기여하는 크기는 $\sigma_a |\Gamma|^2$이다. 만약 구조와 안테나 모드의 RCS가 서로 독립이라면, 전체 RCS는 $\sigma_t$ = $\sigma_s + \sigma_a |\Gamma|^2$으로 단순화된다. 이 두 모드의 RCS가 독립이 되는 경우는 구조와 안테나 모드가 만드는 산란파의 위상이 $\pm 90^\circ$인 때이다. 산란파 위상이 $\pm 90^\circ$에서 벗어나면, 각 모드의 산란 전압파로 근사화해서 현상을 공식화한다[12]. 그러면 $e^{j \omega t}$인 페이저(phasor) 관점에서 전체 산란 전압파 ${\bf V}_t$를 구조와 안테나 모드에 의한 산란파의 합으로 표현할 수 있다.

                  (23: $e^{j \omega t}$ 시간 약속)

여기서 구조 모드 산란파 기준으로 잰 안테나 모드 산란파의 위상차를 $\Delta \phi$로 둔다. 산란파의 제곱은 산란 전력과 관계되므로, 식 (1)에 따라 식 (23)의 둘째식을 RCS로 바꾼다.

                  (24)

위상차 $\Delta \phi$가 $\pm 90^\circ$일 때는 $\sigma_s, \sigma_a$의 연관성이 끊어진 독립 상태가 된다.

[그림 6] 선형 시불변 시스템의 시간 및 주파수 응답(출처: wikipedia.org)

레이다 수신기(receiver)는 [그림 6]에 보인 선형 시불변(linear time-invariant, LTI) 시스템으로 근사할 수 있다. 함수 $h(t)$를 시스템의 충격 응답(impulse response: 디랙 델타 함수를 입력으로 넣어 얻은 출력 특성)으로 두면, 시스템의 입력 $x(t)$와 출력 $y(t)$는 다음 관계가 성립한다.

                  (25a: $e^{j \omega t}$ 시간 약속)

여기서 $(h*x)(t)$는 길쌈(convolution), $X(\omega)$와 $Y(\omega)$는 각각 시스템 입력 $x(t)$와 출력 $y(t)$의 푸리에 변환(Fourier transform), $h(t)$의 푸리에 변환인 $H(\omega)$는 시스템의 주파수 응답(frequency response); 수신 신호(received signal) $x(t)$는 잡음에 노출되어 원본 신호(original signal) $s(t)$와 잡음(noise) $n(t)$의 합인 $s(t-t_0) + n(t)$, $t_0$은 송신에서 수신까지 걸리는 시간 지연(time delay)이다. 평균(average) 혹은 기대값(expectation) 연산을 식 (25a)에 적용할 때[∵ 펄스 반복 주파수(pulse repetition frequency, PRF)에 따라 매초 많은 반사 펄스가 수신되어 평균 처리가 가능하다.], 주어진 대역폭(bandwidth)에서 수신기 출력 $Y(\omega)$는 원본 신호인 $S(\omega)$를 최대로 포함해야 한다. 이를 위해 $H(\omega)$ = $H_0 S^*(\omega)$를 선택해 $Y(\omega)$ = $H_0 |S(\omega)|^2 e^{-j \omega t_0}$ $+$ $H_0 S^*(\omega) N(\omega)$로 만든다. 여기서 $H_0$는 시스템의 상수 이득(constant gain)이다. 이 결과에 평균을 취하면 $|S(\omega)|^2$는 살아남고, 신호간에 연관이 없는 $S^*(\omega) N(\omega)$는 줄어들게 된다. 결국 충격 응답 $h(t)$는 원본 신호 $s(t)$에 비례하게 설계되어야 한다.

             (25b)

여기서 $R_{ss}(t)$는 $s(t)$의 자기 상관(autocorrelation), $R_{sn}(t)$는 원본과 잡음간의 교차 상관(cross-correlation)이다. 원본 신호가 수신되는 $t$ = $t_0$에서 자기 상관은 최대가 되고 서로 관계없는 신호의 교차 상관인 $R_{sn}(t)$는 크게 감소한다.

식 (25b)가 나타내는 충격 응답은 정합 필터(matched filter)로 부른다[13]. 주어진 입력에 맞는 정합 필터를 사용한 시스템은 잡음이 있더라도 원본 신호를 최대로 검출할 수 있다. 더 정확하게 정합 필터는 수신기의 신호대 잡음비(signal-to-noise ratio, SNR)를 최대로 만든다. 위너–킨친 정리(Wiener–Khinchin theorem)를 적용해서 SNR을 최대화하는 $H(\omega)$의 공식을 찾는다[13]. 시간 $t$에서 수신기를 통과한 출력 신호 $y(t)$의 SNR은 다음 관계를 따른다.

                  (26a)

여기서 $y(t)$ = $y_s(t) + y_n(t)$, $y_s(t)$ = $(h*s)(t)$, $y_n(t)$ = $(h*n)(t)$; $\langle \cdot \rangle$는 시간 평균(time average), $E[\cdot]$는 기대값, $n(t)$는 광의 정상성(wide-sense stationarity, WSS)과 에르고드 성질(ergodicity)을 가진다. 계산 편의를 위해 신호와 잡음 전력(signal and noise power)을 주파수 영역에서 공식화한다.

                  (26b: $e^{j \omega t}$ 시간 약속)

여기서 $S_n (\omega)$는 잡음 전력 스펙트럼 밀도(noise power spectral density)의 기대값이다. 식 (26b)를 식 (26a)에 대입한 후, 푸리에 변환의 코쉬–슈바르츠 부등식(Cauchy–Schwarz inequality)을 식 (26b)의 첫째식에 활용해서 SNR의 최대 한계 $\text{SNR}_{\max}$를 유도한다.

                  (26c: $e^{j \omega t}$ 시간 약속)

여기서 신호의 전력 스펙트럼 밀도는 $S_s(\omega)$ = $|S(\omega)|^2 \cdot \text{BW}$, $\text{BW}$는 신호의 대역폭[단위: Hz]이다. 우리가 찾는 정합 필터는 식 (26c)에서 등호를 만드는 $H(\omega)$이다.

                  (27a: $e^{j \omega t}$ 시간 약속)

주파수 응답 $H(\omega)$의 표현식 (27a)는 식 (26c)에 직접 대입해서 증명한다. 백색 잡음(white noise)으로 가정해서 $N_0$ = $S_n(\omega)$로 두고,  식 (27a)의 좌변을 푸리에 역변환함으로써 $t$ = $t_0$을 위한 충격 응답 $h(t)$를 구한다.

                  (27b)

이때 SNR은 식 (27a)의 우변으로 계산한다.

                  (28)

여기서 $P_s, P_n$은 각각 수신기 대역폭 범위에서 계산한 신호 및 잡음 전력이다. 따라서 정합 필터를 쓴 수신기의 출력은 입력 SNR을 그대로 보존한다.

[참고문헌]

[1] P. Blacksmith, R. E. Hiatt, and R. B. Mack, "Introduction to radar cross-section measurements," Proc. IEEE, vol. 53, no. 8, pp. 901–920, Aug. 1965.

[2] E. F. Knott, A. W. Reed, and P. S. P. Wei, "Broadside radar echoes from wires and strings," Microw. J., vol. 42, pp. 102–110, Jan. 1999. (방문일 2022-10-16)

[3] 안병준, "함정 RCS 저감 설계를 위한 최신 분석기법 연구", 한국전자파학회논문지, 제25권, 제3호, pp. 333–338, 2014년 3월.

[4] 박규철, 선선구, 조병래, 이정수, 하종수, "수풀투과를 위한 초 광대역 레이더의 송수신기 설계," 통신위성우주산업연구회논문지, 제7권 제1호, pp. 75–81, 2012.

[5] J. E. Peabody, G. L. Charvat, J. Goodwin, and M. Tobias, "Through-wall imaging radar," Linc. Lab. J., vol. 19, no. 1, pp. 62–72, 2012. (방문일 2022-11-06)

[6] 류성준, 배영석, 이민우, 장성훈, 유준형, 남정빈, 신진우, "고해상도 ISAR 영상을 위한 광자 기반 FMCW 송수신 시스템 설계", 한국전자파학회논문지, 제32권, 제3호, pp. 215–222, 2021년 3월.

[7] C. A. Balanis, Advanced Engineering Electromagnetics, 2nd ed., New York, USA: Wiley, 2012.

[8] C. Uluisik, G. Cakir, M. Cakir and L. Sevgi, "Radar cross section (RCS) modeling and simulation, Part 1: a tutorial review of definitions, strategies, and canonical examples," IEEE Antennas Propag. Mag., vol. 50, no. 1, pp. 115–126, Feb. 2008.

[9] 백동명, 김태연, "6G 통신에서의 센싱과 통신의 결합 서비스(ISAC)", 전자통신동향분석, 제38권, 제6호, pp. 107–118, 2023년 12월.

[10] F. Bischeltsrieder, M. Würth, J. Russer, M. Peichl, and W. Utschick, "Engineering constraints and application regimes of quantum radar," IEEE Trans. Radar Syst., vol. 2, pp. 197–214, Feb. 2024.

[11] C. Gouveia, C. Loss, P. Pinho, J. Vieira and D. Albuquerque, "Low-profile textile antenna for bioradar integration into car seat upholstery: wireless acquisition of vital signs while on the road," IEEE Antennas Propag. Mag., vol. 66, no. 1, pp. 22–33, Feb. 2024.

[12] S. Shrestha, M. D. Balachandran, M. Agarwal, L.-H. Zou, and K. Varahramyan, "A method to measure radar cross section parameters of antennas," IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 56, no. 11, pp. 3494–3500, Nov. 2008.

[13] N. R. Rypkema, "A straightforward derivation of the matched filter," Technical Manuscript, Woods Hole Oceanographic Institution (WHOI), MA, USA, 2019. (방문일 2024-07-15)