미분 방정식의 의미(微分方程式, Differential Equation)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "미분 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 미분법의 의미
2. 적분법의 의미

[그림 1] 미분 방정식을 이용한 열 운동의 표현(출처: wikipedia.org)

미분 방정식(微分方程式, differential equation: DE)은 미지수[혹은 미지 함수]를 구하기 위한 관계가 미분(微分, differentiation)으로 주어지는 방정식이다. 물리학에 나오는 대부분의 방정식은 미분 방정식으로 표현된다. 미분 방정식은 답이 아니라 답과의 관계를 표현하기 때문에 미분 방정식만 봐서는 전체 특성을 알기 어렵다. 따라서 설정된 미분 방정식을 풀어야 [그림 1]처럼 해당 개체의 변화 특성을 정확히 예측할 수 있다. 예를 들면 뉴턴의 운동 법칙(Newton's laws of motion), 훅의 법칙(Hooke's law), 파동 방정식(wave equation), 맥스웰 방정식(Maxwell's equations), 전송선 방정식(transmission line equation) 등은 미분 방정식으로 표현된다. 가장 일반적인 미분 방정식은 식 (1)에 제시한 미분 대수 방정식(微分代數方程式, differential algebraic equation)이다.

                        (1)

여기서 $F(\cdot), y$는 벡터(vector) 형태를 가질 수 있다.[예를 들면 $F$ = $[F_1~F_2~\cdots~F_M]$, $y$ = $[y_1~y_2~\cdots~y_N]$] 식 (1)에서 눈여겨 볼 부분은 복잡해보이지만 독립 변수는 $x$ 하나인 점이다. 독립 변수가 여러 개이면 편미분 방정식(partial differential equation: PDE)을 도입해야 한다. 너무 일반적인 식 (1)을 바로 풀기는 어려우므로 $F(\cdot), y$는 벡터가 아닌 일반 함수[예를 들면 $F$ = $F_1(\cdot)$, $y$ = $y_1(x)$]로 생각할 수 있다. 이 경우 식 (1)은 1계(階) 상미분 방정식(the first order ordinary differential equation: ODE)이 된다. 1계 상미분 방정식이란 1차 미분만 있는 평범한 미분 방정식을 의미한다. 즉, 편미분에 대비되는 개념으로 $x$에 대한 미분만 존재하는 상미분을 사용한다. 식 (1)에서 미분만 잘 분해해서 풀기 쉬운 식 (2)가 된다고 가정한다. 식 (2)는 상미분 방정식인 식 (1)의 표준형(normal form)이 된다.

                        (2)

여기서 $x_0, y_0$는 초기 조건(initial condition)이라 한다. 식 (2)는 신기하게도 조건만 잘 주어지면 풀리는 미분 방정식이 된다. 현재 상태에서는 식 (2)의 형태가 복잡해서 이게 잘 안보이지만 존재성(existence)과 유일성(uniqueness) 증명을 통해 식 (2)를 푸는 방법을 이해할 수 있다[1], [2].

[1계 상미분 방정식 해의 존재성과 유일성(existence and uniqueness of solution for the first order ODE)]

식 (3)이 성립하면 식 (2)는 영역 $R$의 일부 영역에서 반드시 해를 가지고 이 해는 유일하다.

      (3)

여기서 $M, N, a, b$는 유한하며, $f(x, y)$와 $y$에 대한 편미분은 연속(continuity)이다.

[증명: 테일러 급수]

먼저 식 (2)를 초기 조건을 만족하도록 적분한다.

                       (4)

사실 식 (4)은 식 (2) 미분 방정식에 대한 답이다. 문제는 어떻게 $y$를 구하는 방법을 보여줄까이다. 그래서 먼저 다음과 같은 반복법을 제안한다.

                        (5)

식 (5)는 피카르의 반복법(Picard's iteration method)이라 부른다. 이 방법은 프랑스 수학자 피카르Charles Émile Picard(1856–1941)가 1890년피카르 34세, 조선 고종 시절에 제안한 탁월한 기법이다. 식 (5)를 풀기 위해 테일러 급수(Taylor series)를 이용해 $f(x, y)$를 급수로 전개한다. 식 (3)과 다른 강력한 조건이기는 하지만 $f(x, y)$가 영역 $R$에서 무한번 미분 가능하다면, 다음처럼 테일러 급수로 전개할 수 있다.

                       (6)

증명을 편하게 하기 위해 $x_0$ = $0$, $y_0$ = $0$라 가정한다.[∵ 좌표계 원점은 마음대로 옮길 수 있기 때문에] 그러면 수열 $y_n$은 다음과 같이 표현된다.

             (7)

      (8)

식 (8)은 좀 복잡해보이지만 이항 정리(binomial theorem)를 이용하면 쉽게 증명된다. 식 (7)과 (8)이 성립하는 근본적인 이유는 식 (6)의 테일러 급수가 수렴하기 때문이다.[∵ $f(x, y)$가 연속이므로 테일러 급수의 수렴성에 의해 $m, l$이 증가할수록 각 항의 크기는 반드시 줄어들어야 한다.] 식 (7), (8)과 같은 과정을 무한히 반복하면 $y_n$이 한 값으로 수렴함을 보일 수 있다.[∵ 테일러 급수의 수렴성으로 인해 식 (7)과 (8)에서 $n$이 커질수록 $R_n(x)$값이 계속 줄어드는 현상을 볼 수 있다.] 즉, 해의 존재성은 증명이 된다. 해의 유일성을 증명하기 위해 해가 $y^{(1)}, y^{(2)}$ 두 개가 있다고 가정한다. 이 두가지 해는 피카르의 반복법으로 구했기 때문에 다음처럼 멱급수(power series) 형태를 가진다.

                      (9)

식 (9)의 둘째줄은 초기 조건으로 인해 당연히 성립해야 한다. 다음으로 함수 $y$의 미분[= $dy/dx$]에 대한 초기 조건을 구한다. 식 (2)로 인해 $y$의 미분도 초기 조건이 동일해야 한다.[∵ $y$의 초기 조건이 같기 때문에 식 (2)에 의해 그 미분도 같다.] 이를 사용하면 다음이 증명된다.

                      (10)

이런 방식으로 계산하여 고계 미분[= $d^ny/dx^n$]에 대한 경계 조건을 추적해보면, 식 (9)의 첫째줄에 있는 $y^{(1)}, y^{(2)}$ 대한 멱급수가 서로 같아진다.[∵ 식 (2)를 $x$에 대해 미분하면 $y$의 2차 미분 관계식($d^2y/dx^2$)을 만들 수 있고 그 초기 조건은 같아야 한다. 식 (2)를 계속 미분하면 고계 미분의 초기 조건도 같음을 보일 수 있다.] 즉, $y^{(1)}$ = $y^{(2)}$가 반드시 성립해야 한다. 다시 말해 식 (2)가 제시되고 함수 $y$의 초기 조건이 정해지면, 그 해는 유일하게 딱 하나로 정해져야 한다.

[증명: 피카르 반복법]

테일러 급수와 같은 강력한 조건을 사용하지 않고 정공법인 피카르 반복법을 사용한다. 증명의 시작은 식 (4)이다. 적분 방정식(integral equation) (4)의 특성을 알기 위해 다음과 같은 부등식을 하나 만든다.

                      (11)

식 (3)의 조건에 의해 $Mh \le b$이므로 $h < b/M$을 만족해야 한다. 다만 $h$는 $a$보다 작거나 같기 때문에 $h$ = $\min(a, b/M)$을 만족해야 한다. 식 (11)에 의해 우리가 찾고 있는 해 $y$는 특정 영역 안으로 한정된다. 독립 변수 $x$가 정의되는 구간 폭인 $2h$를 더 줄이면 해 $y$의 변화 폭은 더 작아진다.[이건 미분의 특성이기 때문에 당연한 결과이다.] 이 개념을 이용해 해의 존재성을 증명하자[3]. 임의 함수 $\eta$에 대해 다음 최대 오차 함수를 정의한다.

                      (12)

해는 아니지만 식 (3)의 조건을 모두 만족하는 함수 중 하나를 아래처럼 기술한다.

      (13)

여기서 $n \ge 2$. 그러면 식 (4)에 의해 함수 $y_n$을 다음처럼 표현할 수 있다.

   (14)

식 (14)에 있는 두 구간에 대해 정의된 함수 $y_n$을 식 (12)에 대입해서 오차를 계산한다. 먼저 $[x_0, x_0 + h/n]$ 구간에 대한 오차는 쉽게 계산된다.

                      (15)

그 다음 구간인 $[x_0 + h/n, x_0 + h]$에 대한 오차도 다음과 같다.

        (16)

식 (15)와 (16)에 의해, 구간에 정의된 함수 형태가 다르더라도 최대 오차는 동일하다. 만약 $n$이 무한대로 가면 최대 오차는 0이 된다. 오차 함수 $F(y_\infty)$ = $0$은 바로 해를 의미한다. 그래서 해의 존재성이 식 (12)에 의해 쉽게 증명된다. 이러한 1계 상미분 방정식 해의 존재성은 페아노의 존재 정리(Peano's existence theorem)라 부른다. 페아노Giuseppe Peano(1858–1932)는 1886년페아노 28세, 조선 고종 시절에 이미 증명을 출판했지만 틀린 증명이어서, 1890년에 다시 증명을 완성했다.
해의 유일성 증명을 위해 식 (5)에 제시한 피카르 반복법에도 식 (11)과 비슷한 부등식을 적용한다. 먼저 반복으로 얻은 근사 해 $y_{n+1}, y_n$의 차이를 본다.

                      (17)

반복을 진행할 때 현재 해와 이전 해의 차이를 알려면 $y$에 대한 $f(x, y)$의 변화를 알아야 한다. 평균값의 정리(mean value theorem)에 의해 다음이 성립한다.

                      (18)

여기서 $\widetilde{y}$는 $y^{(1)}$과 $y^{(2)}$ 사이에 존재하는 적당한 값이다. 식 (3)에 제시한 조건에 의해 식 (18)은 다음과 같은 한계를 가진다. 이 한계는 립쉬츠 조건(Lipschitz condition)이라 부른다.

                       (19)

식 (19)를 식 (17)에 대입하면 반복 해에 대한 다음 관계를 얻을 수 있다.

                      (20)

여기서 $\sup (\cdot)$는 최소 상계(最小上界, supremum or least upper bound)이다. 만약 $h < 1/N$이라면 $Nh$는 항상 1보다 작기 때문에, 반복을 진행하면 최종 결과는 해 $y$에 수렴한다. 또한 $h$는 $a$보다 작거나 같아야 하는 조건도 동시에 만족해야 한다.
______________________________

위에 나온 용어 중에서 초기 조건(initial condition)이나 경계 조건(boundary condition)은 미분 방정식에서 매우 중요하다. 초기 조건은 시간에 대한 미분인 경우 사용하고 경계 조건은 공간 편미분을 위함이다. 시간 미분은 아주 특별한 경우이고 보통은 공간 편미분을 사용하기 때문에 문제를 풀기 위한 미분 방정식의 조건은 경계 조건이라 부른다. 명칭에서도 알 수 있듯이 경계 조건은 보통 양 끝이나 바깥쪽[외곽] 값이다. 하지만, 함수가 유한하다든지 이런 경우도 [경계값은 아니지만] 경계 조건이라 부른다. 따라서 이 개념을 더 확장하면 미분 방정식을 풀기 위해 사용하는 조건이 경계 조건이다. 식 (5)에 있는 피카르의 반복법을 더 간단히 이해하기 위해 다음 미분 방정식을 고려한다.

                       (21)

그냥 풀기는 어려우므로 식 (5)를 이용한다. 지수 함수(exponential function)의 테일러 급수인 식 (23)을 이용하면 식 (21)의 해를 쉽게 구할 수 있다.

                       (22)

                         (23)

식 (22)의 방법론은 단순하지만 강력하지 않은가? 피카르의 반복법은 정말 대단하다.

우리가 증명한 해의 존재성과 유일성은 식 (2)의 1계 상미분 방정식에만 적용된다. 이를 고차원으로 확장하는 방법은 없을까? 이 부분은 의외로 쉽다. 먼저 2계 상미분 방정식부터 살펴본다.

                      (24)

여기서 $(\cdot­)'$는 $x$에 대한 미분을 표현하기 위해 사용한다. 식 (24)를 식 (2)와 같은 형태로 고치려면 역함수(inverse function) 개념을 활용하면 된다.

                       (25)

여기서 $h(x, y')$는 $g(x, y)$의 역함수라 생각할 수 있다. 식 (25)가 성립하려면 함수 $g(x, y)$가 존재해야 한다. 원론적으로는 식 (26)을 풀면 함수 $g(x, y)$가 얻어진다.

                      (26)

하지만 식 (23)의 좌변과 우변에 $y'$가 있고 $y$의 미분이 $y'$가 되어 $g(x, y)$를 구하기는 쉽지 않다. 잘 보면 식 (26)은 식 (1)과 같은 형태이므로 식 (1)이 식 (2)로 항상 유일하게 변환된다면 $g(x, y)$의 존재성이 증명된다. 하지만 애석하게도 식 (1)은 식 (2)로 유일하게 변환되지 않는다. 예를 들면 $\sin(y'×y)$ = $0$는 삼각 함수(trigonometric function)의 주기(period) 때문에 유일하게 $y'$ = $f(x, y)$로 표현되지 않는다. 그래서 벡터 기반으로 피카르의 반복법을 새롭게 변환한다.

                 (27)

여기서 벡터 $\bf z$의 $m$번 성분은 $y$의 $m-1$번 도함수이며 $z_m$ = $y^{(m-1)}$이다. 식 (27)의 마지막식을 이용해서 피카르의 반복법을 다시 정의한다.

                   (28)

여기서 ${\bf z}_n$은 식 (28)을 $n$번 반복한 중간 과정을 담은 벡터, $z_{m,n}$은 $z_m$을 구하기 위해 $n$번 반복한 중간해이다. 따라서 식 (28)은 식 (5)와 같은 형태이므로 해의 존재성과 유일성이 고계 상미분 방정식(higher-order ordinary differential equation)으로까지 확장될 수 있다.[∵ 벡터로 표현된 식 (28)을 각각의 적분식으로 분해하고 식 (5)를 증명하기 위해 썼던 식 (7), (8)의 방법을 이용해 꼬리에 꼬리를 물도록 식을 배치하면 자연스럽게 식 (28)이 증명된다.] 여기서 고계(高階)는 고계 도함수(higher-order derivative: 고차 도함수라고도 하지만, 용어의 일관성을 위해 고계를 선택)란 의미이다. 이를 이해하기 위해 다음 미분 방정식을 고려한다.

                   (29)

식 (29)를 식 (28)에 대입해서 피카르의 반복법을 사용한다.

                   (30)

여기서 $z_1, z_2$는 삼각 함수의 테일러 급수를 비교해 얻는다. 식 (30)의 최종 결과를 식 (29)의 미분 방정식에 대입해서 식 (30)이 해임을 확인할 수 있다. 다만 식 (29)에 초기 조건으로 아무 함수값 두 개를 넣는다고 해서 해의 유일성이 그냥 나오지는 않는다. 해의 유일성이 성립하려면 식 (27)이나 (29)에 있는 초기 조건을 사용해야 한다. 예를 들어 다음 문제를 고려한다.

                   (31)

식 (29)와 (31)을 비교하면 초기 조건이 약간 다르다. 식 (29)는 함수 $y$의 미분에 대한 초기 조건이 있으나 식 (31)은 없다. 식 (31)의 미분 방정식 해를 구하기 위해 식 (28)과 동일한 피카르 반복법을 사용한다. 다만, 함수 $y$의 미분에 대한 초기 조건이 없으므로 이 값을 $c$라고 둔다.

                   (32)

다음으로 식 (32)에 있는 미정 계수(未定係數, unknown coefficient)인 $c$를 정하기 위해 사용하지 않은 초기 조건인 $y(\pi)$를 쓴다.

                        (33)

하지만 운 나쁘게도 초기 조건 $y(\pi)$는 $c$를 결정할 수 없게 만든다. 따라서 식 (31)을 만족하는 해는 무수히 많다. 해는 존재하지만 해의 유일성이 성립하지 않는 전형적인 예가 식 (31)이다.

다양한 상미분 방정식을 분류하는 이름으로 제$m$계 제$n$차 상미분 방정식(ODE of the $m$th order and $n$th degree)을 많이 사용한다. 미분 방정식에서 $m$계(order)는 $y$를 $m$번 미분한 $d^m y \mathbin{/} dx^m$이 있다는 뜻이다. 또한 가장 고계인 $d^m y \mathbin{/} dx^m$의 거듭제곱 차수가 $n$인 경우는 추가적으로 $n$차(order)까지 붙인다. 이러한 개념은 르장드르 함수(Legendre function)의 명칭에도 동일하게 나타난다. 다만 우리 수학 용어에서 계수(階數, order)와 차수(次數, degree)가 혼용되어 쓰이고 있어서 더욱 주의를 기울여 구분해야 한다. 보통 계수는 미분한 회수, 차수는 거듭제곱의 숫자에 활용한다. 예를 들어, 2계 미분(the second order differentiation)은 $y$를 2번 미분한 $y''$이며, 2차 방정식(quadratic equation or second degree equation)은 고차 항이 $x^2$인 식이다. 미분 방정식의 명칭에 계수와 차수를 쓰는 이유는 이 개념이 해법과 밀접히 연결되어 있기 때문이다. 고계 미분 방정식은 그대로 풀기 어려워서, 식 (28)처럼 초기 조건을 가지고 1계부터 시작해 계수를 하나씩 늘리면서 푼다. 즉, 1계, 2계, 3계 미분 등을 차례로 적분하면서 해답을 무한 급수로 나타낸다. 마지막에 푸는 $m$계 미분의 차수가 1이면 식 (27)과 같은 꼴이 된다. 만약 차수가 2보다 큰 경우는 $y^{(m)}$에 대한 대수 방정식을 풀어서 식 (27)과 같은 모양으로 바꾸어야 한다. 그래서 가장 큰 계수의 거듭제곱이 중요하므로 차수란 개념을 도입해 미분 방정식을 추가로 분류한다.

[참고문헌]

[1] E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 10th ed., John Wiley & Sons, 2011, pp. 38–42.
[2] S. Miller, "Proof of existence/uniqueness theorem for first order differential equations," Williams College, 2009. (방문일 2019-12-05)
[3] R. L. Pouso, "Peano’s existence theorem revisited," arXiv:1202.1152, 2012.

[다음 읽을거리]
1. 선형 상미분 방정식
2. 멱급수 기반 상미분 방정식
3. 1계 선형 상미분 방정식
4. 스튀름-리우빌 이론

5. 라플라스 변환

6. 적분 방정식의 의미

7. 편미분 방정식의 의미

8. 클레로의 미분 방정식

9. 자율 미분 방정식