하위헌스 원리와 그린 함수(Huygens Principle and Green's Function)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "하위헌스 원리와 그린 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 하위헌스 원리

2. 미분 방정식의 만병통치약: 그린 함수

3. 표면 등가의 원리

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[그림 1] 하위헌스 원리로 설명하는 전자파의 전파

표면 등가의 원리(surface equivalence principle)와 그린 함수(Green's function) 개념을 이용하면, 전자파의 전파는 점 전원(point source) 복사의 합이라는 하위헌스 원리를 명확하게 증명할 수 있다. 개념 이해에 집중하기 위해 2차원 경우부터 먼저 증명한다. 편리하게 $x$방향으로 진행하는 균일 평면파(uniform plane wave)의 전기장과 자기장을 다음과 같이 가정한다.

                  (1)

여기서 $\bar k$ = $k \hat x$, $k$ = $\omega \sqrt{\mu \epsilon}$, $\eta$는 고유 임피던스(intrinsic impedance)이다. 표면 등가의 원리에 따라, $x$ = $0$의 자기장은 표면 전류 밀도 $\bar J_s(0, y)$가 된다.

                  (2)

표면 전류 밀도 $\bar J_s$는 2차원 그린 함수 $G_A(\bar \rho, \bar \rho'; k)$와 합해져서 $x > 0$인 영역에 자기 벡터 포텐셜(magnetic vector potential) $\bar A_z$를 만든다. 점 원천인 $\bar J_s$의 무한한 합이 $\bar A_z$를 생성한다는 특성은 하위헌스 원리와 동일하다. 따라서 [그림 1]처럼 $x$ = $x_0$에 있는 $\bar A_z(x_0, y)$는 다음처럼 표현된다.

                  (3)

여기서 $x_0 > 0$이다. 식 (3)의 우변을 직접 적분하기는 어려워서 2차원 바일 항등식(2D Weyl identity)을 대입해서 처리한다.

                     (4)

                     (5)

여기서 $k^2$ = $\xi^2 + \varsigma^2$, $\delta(\varsigma)$는 디랙 델타 함수(Dirac delta function)이다. 결국 $x$ = $x_0$에서 모든 점 전원의 기여를 합한 전기장은 평면파가 $x_0$만큼 진행한 결과와 같다.

                     (6)

공간을 3차원으로 확장해도 증명 과정은 2차원 문제와 거의 동일하다. 3차원 공간에서도 균일 평면파의 전자장과 표면 전류 밀도는 각각 식 (1), (2)와 같다. 그래서 식 (3)에 있는 2차원 그린 함수만 3차원 그린 함수(3D Green's function) $G_A(\bar r, \bar r'; k)$로 늘려서 다시 기술한다.

                     (7)

여기서 $R$ = $\sqrt{x_0^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2}$이다. 식 (3)처럼 식 (7)의 결과도 그대로 적분하기가 매우 까다롭기 때문에, 바일 항등식(Weyl identity)을 도입해서 적분을 유도한다.

                     (8)

             (9)

여기서 $k^2$ = $\xi^2 + \varsigma^2 + \zeta^2$이다. 최종적으로 자기 벡터 포텐셜은 전기장으로 바뀌어서, 하위헌스 원리의 결과인 식 (9)와 평면파의 전파 특성인 식 (1)은 동일한 결론에 도달한다.

                     (10)

맥스웰 방정식(Maxwell's equations)이 제안되기 186년전에 나온 하위헌스 원리는 2차원이든 3차원이든 맥스웰 방정식으로 계산한 전자장 표현식과 완전히 동일하다. 시대를 앞서서 고독하게 빛의 파동론(wave theory of light)을 주장한 하위헌스의 혜안이 정말 돋보인다. 더불어서 맥스웰James Clerk Maxwell(1831–1879)의 이론도 학계에서 인기가 없었다. 수학을 잘 모르는 실험 물리학자 패러데이Michael Faraday(1791–1867)가 상상한 이상한 전기장과 자기장을 도구로 전기와 자기를 통합한 맥스웰 방정식도 주류 학계의 비판을 받았다. 여러 난관에도 불구하고 과학의 세계에서는 더 나은 진리가 항상 승리한다. 하위헌스 원리의 제안후 210년이 흐른 1888년헤르츠 31세, 조선 고종 시절에 헤르츠Heinrich Hertz(1857–1894)가 했던 전자기파의 유한한 속도와 반사 현상에 대한 실험으로 인해 빛의 파동론과 맥스웰 방정식은 굳건한 개념으로 결국 인정을 받게 된다.