불균일 전송선로(Nonuniform Transmission Line, NTL)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "불균일 전송선로"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 전송선 이론

2. 전압파와 전류파

3. 다절 정합 변환기

4. 베르누이 미분 방정식

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[그림 1] 불균일 전송선로의 구조(그림 출처: [3])

이산적인 다절 전송선로(multisection transmission line)를 사용해서 임피던스 정합망을 설계할 수 있지만, 조금 더 넓은 대역에서 성능을 높이고 싶을 때는 [그림 1]에 보인 연속적인 불균일 전송선로(nonuniform transmission line)를 많이 사용한다[1]–[3]. 불균일 전송선로는 신호의 진행 방향인 $z$축을 따라서 단위 길이당 회로량인 $R,L,G,C$가 연속적으로 변하는 선로이다. 이로 인해 전파 상수(propagation constant)와 특성 임피던스(characteristic impedance)가 $z$의 함수로 표현되어서 각각 $\gamma(z)$ 및 $Z_0(z)$로 표기된다.

불균일 전송선 이론(nonuniform transmission line theory)의 시작점은 그 유명한 균일 전송선 이론(uniform transmission line theory)이다. 균일 전송선 이론에 바탕을 두고 진행 거리 $z$에 따라 전압파(voltage wave) $V(z)$와 전류파(current wave) $I(z)$의 공간 변화를 모형화한다.

                  (1)

여기서 $\zeta(z)$ = $R(z) + j \omega L(z)$, $\eta(z)$ = $G(z) + j \omega C(z)$이다. 식 (1)의 첫째식을 둘째식에 대입해서 $V(z)$에 대한 미분 방정식을 새롭게 만든다[1].

                        (2a)

여기서 $\zeta'(z)$ = $d\zeta(z) / dz$; 균일 전송선 이론의 전파 상수 개념을 받아들여서 $\gamma(z)$ = $\sqrt{\zeta(z) \eta(z)}$로 정의한다. 마찬가지 방식으로 $I(z)$에 대한 미분 방정식도 구성한다.

                        (2b)

여기서 $\eta'(z)$ = $d\eta(z) / dz$이다. 만약 $\zeta'(z)$ = $\eta'(z)$ = $0$이면, 균일 전송선 이론에 나타나는 통상적인 전압파와 전류파의 미분 방정식으로 간략화된다. 위치 $z$에서 전원 방향으로 반사되는 일반화 반사도 $\Gamma(z)$는 기존 반사도 정의를 기반으로 다시 만든다.

                        (3)

여기서 선로의 특성 임피던스는 $Z_0(z)$ = $\sqrt{{\zeta(z)}/{\eta(z)}}$, 위치 $z$에서 부하 방향을 바라본 입력 임피던스는 $Z(z)$, 식 (1)에 나온 전압파와 전류파의 비율이 바로 $Z(z)$ = $V(z)/I(z)$이다.[∵ $V(z), I(z)$는 입사와 반사를 모두 포함하므로 그 비율은 특성 임피던스가 아닌 입력 임피던스가 된다.]

[그림 2] 불균일 전송선로에서 임피던스 $Z(z)$의 변화

이번에는 불균일 전송선로에서 입력 임피던스의 미분 $dZ(z)/dz$를 구한다. 입력 임피던스의 정의인 $Z$ = $V/I$를 그대로 미분하면 쉽게 답이 나온다.

                        (4a)

여기서 $(\cdot)'$는 $z$에 대한 $(\cdot)$의 미분을 뜻한다. 식 (4a)가 가진 물리적 함의를 이해하려고 [그림 2]에 보인 임피던스 차분 $\Delta Z$를 추적한다[4]. 입력 임피던스는 전원에서 부하를 바라보는 방향으로 계산하므로, $Z(z+\Delta z)$를 선택하고 병렬 및 직렬 연산을 활용해서 $Z(z)$를 추산한다.

                  (4b)

여기서 $\Delta z \ll 1$이다. 식 (4b)에서 거리 차분 $\Delta z$가 0으로 가는 극한을 취해서 식 (4a)를 동일하게 획득한다. 또한 식 (4a)에 $\gamma(z)$ = $\sqrt{\zeta(z) \eta(z)}$ 및 $Z_0(z)$ = $\sqrt{{\zeta(z)}/{\eta(z)}}$를 대입해서 $\eta(z)$가 없는 단순화된 미분 방정식을 유도한다.

                        (4c)

다시 식 (4c)에 식 (3)을 적용해서 $Z_0(z)$가 없고 반사도 $\Gamma(z)$가 출현하는 미분 방정식도 만들 수 있다.

                        (4d)

마지막으로 식 (4d)를 $z$에 대해 미분함으로써, 반사도의 미분 $d\Gamma(z) / dz$를 도출한다[5].

                  (5a)

그러면 $\Gamma(z)$에 대한 리카티 미분 방정식(Riccati differential equation)이 최종적으로 유도된다.

                        (5b)

만약 $\gamma(z)$와 $Z_0(z)$가 $z$에 대해 상수라면, 식 (5b)는 기존에 사용하던 반사도 개념인 $\Gamma(z)$ = $\Gamma(0) e^{2 \gamma z}$ = $\Gamma_L e^{2 \gamma z}$가 정확히 나온다.

[그림 3] 섬세화(tapering)를 적용한 전송선로의 특성 임피던스 $Z_0(z)$ 변화(그림 출처: [6])

식 (5b)는 근사없이 구한 일반적인 반사도 관계식이지만, 리카티 미분 방정식의 해법이나 멱급수(power series) 전개[1]를 쓰지 않으면 $\Gamma(z)$를 구하기 어렵다. 그래서 다절 정합 변환기(multisection matching transformer)에 사용한 소반사 근사(small reflection approximation)를 도입해서 $\Gamma(z)$ $\approx$ $0$으로 가정한다[6].

                        (6)

식 (6)에 전파 상수 $\gamma(z)$까지 상수라고 전제해두고 $\Gamma(z)$ = $\Gamma_L(z) e^{2 \gamma z}$로 교체해서 식 (6)의 해를 근사한다.

                  (7a)

                        (7b: $\gamma$는 상수)

여기서 $a$는 적분 상수와 연결된 임의의 상수, $Z_S$은 [그림 1, 3]의 전원 임피던스(source impedance), 소반사 근사로 인해 $Z_0(z)$는 천천히 변한다. [그림 3]에서 테이퍼 혹은 섬세부(纖細部, taper)의 끝단인 $z$ = $l/2$의 부하 반사도는 항상 0이라는 가정을 채택해서 $a$ = $l/2$로 둔다. 이에 따라 $\Gamma(l/2)$ = $0$이란 경계 조건이 저절로 만족된다.

                        (7c: $\gamma$는 상수)

전송선로에 손실이 없어서 $\gamma$ = $j \beta$인 경우, 식 (7c)는 푸리에 변환(Fourier transform) $\mathfrak{F}[f(t)](\omega)$로 표기될 수 있다.

                        (8: $\beta$는 상수)

여기서 테이퍼 길이 $l$은 무한대로 길어진다.

정확한 미분 방정식인 식 (5b)에 소반사 근사를 적용해서 식 (7c)를 획득할 수 있지만, 이산적인 다절 정합 변환기의 간격을 0으로 보내는 극한으로도 식 (7c)가 잘 산출된다[7]. 소반사 근사에 근거하여 특성 임피던스 변화에 따른 부하 반사도 $\Gamma_L(z)$의 미분을 구한다.

                        (9a)

여기서 특성 임피던스는 거의 변하지 않아서 $Z(z)$ $\approx$ $Z_0(z)$이다. [그림 3]을 기준으로 전원부에서 측정되는 전체 반사도 $\Gamma_\text{tot}(\psi)$에는 왕복 위상 성분 $e^{-j2 \beta z}$의 기여분도 있으므로, 식 (9a)를 추가로 적분해서 식 (8)과 동일한 답을 얻는다.

                        (9b: $\beta$는 상수)

여기서 $\Gamma_\text{tot}(\psi)$ = $\Gamma(-l/2)$, $\psi$ = $\beta l$이다.

식 (6)처럼 $\gamma(z)$가 $z$에 따라 변하는 조건에서는 적분 인자(integration factor) $m(z)$가 촉매로 작용하는 1계 선형 상미분 방정식의 해법으로 $\Gamma(z)$를 결정한다[6].

                        (10a)

                        (10b)

여기서 $a, b$는 적분 상수를 만드는 임의의 상수이다. 식 (7c)의 방식에 따라 경계 조건인 $\Gamma(l/2)$ = $0$을 식 (10b)에 인가한다.

                         (10c)

만약 $\gamma(z)$의 변화가 없다면 식 (10c)는 식 (7c)가 되므로, 식 (10c)는 식 (7c)를 포함하면서 더 보편적으로 쓰일 수 있는 일반식이다.

   1. 임피던스 테이퍼(impedance taper)    [7]

[그림 1.1] 지수 테이퍼(exponential taper)를 적용한 전송선로(출처: [8])

소반사 근사(small reflection approximation)를 활용해서 얻은 식 (9b)의 전체 반사도 $\Gamma_\text{tot}(\psi)$ 적분식이 있기 때문에, 임피던스 테이퍼 혹은 임피던스 섬세부(纖細部, impedance taper)를 형성하는 함수 $Z_0(z)$만 결정되면 어떤 임피던스 변화든지 전원부로 되돌아오는 전체 반사도 $\Gamma_\text{tot}(\psi)$를 계산할 수 있다. 하지만 식 (9b)의 피적분 함수에 로그 함수가 들어있어서 적분을 정확히 수행하기는 매우 어렵고 대부분 수치 적분(numerical integration)을 해야만 한다. 예를 들어, 특성 임피던스를 $Z_S$에서 $Z_L$까지 선형적으로 바뀌는 선형 테이퍼(linear taper)의 $Z_0(z)$를 고려한다.

                        (1.1: 선형 테이퍼)

여기서 $-l/2 \le z \le l/2$; $l$은 테이퍼 길이이다. 식 자체는 매우 단순한 일차 함수 모양이지만, 식 (1.1)을 식 (9b)에 넣어서 적분하려면 길이 잘 보이지 않는다.[부분 적분을 써도 $1/z$의 푸리에 변환을 또 만난다.] 그래서 어쩔 수없이 수치 적분으로 원하는 정밀도만큼 구간을 쪼개서 계산해야 한다. 하지만 예외적으로 로그 함수의 역함수인 지수 함수를 쓰는 지수 테이퍼(exponential taper)는 적분이 쉽게 된다.

                        (1.2: 지수 테이퍼)

여기서 $al$ = $\log (Z_L/Z_S)$이다. 이를 확인하기 위해 식 (1.2)를 식 (9b)에 넣어서 적분한다.

                        (1.3)

여기서 $\text{rect}(\cdot)$는 구형 함수(rectangular function)이다. 따라서 $Z_L/Z_S$의 비율에 따라 테이퍼 길이 $l$을 충분히 늘려야 전체 반사도를 확실히 줄일 수 있다.

[참고문헌]

[1] A. T. Starr, "The nonuniform transmission line," Proc. IRE, vol. 20, no. 6, pp. 1052–1063, Jun. 1932.

[2] 김세윤, 하헌태, 홍성용, "비균일 전송선의 기존 해석에 관한 연구", 한국전자파학회지 전자파기술, 제2권, 제3호, pp. 3–9, 1991년 9월.

[3] M. Khalaj-Amirhosseini, "Analysis of nonuniform transmission lines using the equivalent sources,", Prog. Electromagn. Res., vol. 71, pp. 95–107, 2007.

[4] J. R. Pierce, "A note on the transmission line equation in terms of impedance," Bell Syst. Tech. J., vol. 22, no. 2, pp. 263–265, Jul. 1943.

[5] L. R. Walker and N. Wax, "Non-uniform transmission lines and reflection coefficients," J. Appl. Phys., vol. 17, pp. 1043–1045, Dec. 1946.

[6] R. W. Klopfenstein, "A transmission line taper of improved design," Proc. IRE, vol. 44, no. 1, pp. 31–35, Jan. 1956.

[7] M. Steer, 7.5: Tapered Matching Transformers, Microwave and RF Design III - Networks, The LibreTexts, CA, USA. (방문일 2026-02-03)

[8] J. A. Gaudet, R. J. Barker, C. J. Buchenauer, C. Christodoulou, J. Dickens, and M. A. Gundersen, "Research issues in developing compact pulsed power for high peak power applications on mobile platforms," Proc. IEEE, vol. 92, no. 7, pp. 1144-1165, Jul. 2004.