2011년 12월 16일 금요일

2차원 자유 공간 그린 함수(2D Free-space Green's Function)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "2차원 자유 공간 그린 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 미분 방정식의 만병통치약: 그린 함수
2. 1차원 자유 공간 그린 함수

[확인] 본 페이지는 exp(-iωt) 시간 약속을 사용하고 있습니다.



                          (1)

그러면 식 (1)과 같이 스칼라 파동 방정식(scalar wave equation)으로 표현할 수 있다. 2차원을 만들기 위해 식 (2)의 라플라시안(Laplacian)에서 $z$방향으로는 변화가 없다고 가정[$\partial / \partial z$ = $0$]하면 식 (3)에 있는 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system)의 2차원 스칼라 파동 방정식을 얻는다.

                         (2)

                         (3)

여기서 벡터 $\rho$는 2차원 좌표점 $(x, y)$를 나타낸다.

[그림 1] 2차원 원천
[그림 2] 2차원과 3차원 데카르트 좌표계(출처: wikipedia.org)

[데카르트 좌표계 2차원 자유 공간 그린 함수]

                         (4)

[증명]
증명을 위해 먼저 디랙 델타 함수(Dirac delta function)를 아래와 같은 적분으로 표현한다.

                         (5)

식 (5)는 푸리에 변환의 완비성(completeness of Fourier transform)으로 쉽게 증명 가능하다. 식 (5)를 식 (3)에 대입해서 그린 함수를 다음처럼 표현한다.

                         (6)

2차원 함수인 $g(\bar \rho, \bar \rho'; k)$는 변수 $x$의 함수이므로, 푸리에 변환으로 파수 영역(spectral domain)에서 표현한다.[식 (6)의 첫째식] 다만 $y$의 변화는 피적분 함수 $g(y, y'; \eta)$에 반영하며, $\xi^2 + \eta^2$ = $k^2$으로 $\xi, \eta$가 서로 연결된다. 식 (6)을 계산하면, $g(y, y'; \eta)$는 다음 1차원 자유 공간 그린 함수(1D free-space Green's function)에 대한 미분 방정식을 만족한다.

                         (7)

식 (7)의 최종 결과를 식 (6)의 첫째식에 대입하면 식 (4)가 증명된다.
______________________________

식 (4)는 푸리에 변환(Fourier transform)처럼 파수 영역(spectral domain)에서 표현되므로 파수 영역 그린 함수(spectral domain Green's function)라 부른다. 무한 적분으로 표현되어 어려워 보이기는 하지만 그린 함수를 미분(differentiation)하거나 적분(integration)하기는 쉽다.
텐서 이론(tensor theory)에 의해 맥스웰 방정식(Maxwell's equations)좌표 독립성(coordinate independence)을 가진다. 즉, [그림 2]의 데카르트 좌표계에서 답을 구한 결과와 다른 좌표계에서 구한 결과는 반드시 동일해야 한다. 그래서, 우리의 논의를 원통 좌표계(circular cylindrical coordinate system)로 옮겨본다.

[그림 3] 원통 좌표계의 표현(출처: wikipedia.org)

[원통 좌표계 2차원 자유 공간 그린 함수]

                         (8)

여기서 $H_0^{(1)}(\cdot­)$는 제1종 한켈 함수(Hankel function of the first kind)이다.

[증명]
문제를 간단히 만들기 위해 $(x', y')$ = $(0, 0)$이라 가정한다.[혹은 원천이 원점에 있다.] 그러면, 모든 방향으로 동등하게 전자파가 복사되므로 방위각(方位角, azimuth) $\phi$방향으로는 전자파의 변동이 없다고 가정할 수 있다.[혹은 $\partial / \partial \phi$ = 0] 따라서, 식 (9)의 원통 좌표계 라플라시안(Laplacian)은 식 (10)처럼 간략해진다.

                       (9)

                       (10)

미분 방정식 (10)을 베셀의 미분 방정식(Bessel's differential equation)인 식 (11)과 비교하면 다음을 얻을 수 있다.

                      (11)

                      (12)

식 (12)의 최종 결과는 베셀 함수의 점근식(asymptote of Bessel function)과 전자파의 복사 조건(radiation condition)을 이용한다. 또한 조건에서 $\rho$ $\ne$ $\rho'$이므로 식 (12)는 $(x, y)$ $\ne$ $(x', y')$만 아니면 모든 점에서 맞는 답이다. $(x, y)$ = $(x', y')$인 경우마저도 식 (12)가 성립하려면 식 (10)의 디랙 델타 함수의 조건을 만족하도록 상수 $A$를 정해야 한다. 그래서 상수 $A$만 정하면 증명은 끝난다. 조건 $\rho$ $\ne$ $\rho'$에 의해 식 (12)는 $(x, y)$ = $(x', y')$인 매우 작은 근방에서도 성립하기 때문에 $(x, y) \to (x', y')$로 가는 극한을 이용한다. 즉, 상수 $A$ 결정을 위해 [그림 4]의 원통을 생각하고 그 반지름이 0으로 가도록 한다.

[그림 4] 원통(출처: wikipedia.org)

[그림 4]의 체적에 대해 식 (10)을 체적 적분하고 반지름 $r$을 0으로 보낸다.

                      (13)

여기서 증명을 위해 발산 정리(divergence theorem)와 다음의 베셀 함수 공식을 이용한다.

                      (14)

                      (15)

그러면 원천이 $(x', y')$ = $(0, 0)$에 있는 경우는 증명이 된다. 또한 좌표 독립성이 있기 때문에 $(x, y)$ = $(u-x', v-y')$을 만족하는 새로운 좌표계 $(u, v)$로 좌표 변환하면 식 (8)이 자동적으로 얻어진다.[∵ $(u, v)$ = $(x', y')$에서 $(x, y)$ = $(0, 0)$이 된다.]
______________________________

식 (8)은 적분 없이 공간 상의 좌표값으로만 표현되어서 공간 영역 그린 함수(space domain Green's function)라 부른다. 최종 표현식은 간단하지만 원통 좌표계이므로, 실제 문제에서 식 (8)을 직접 적분하기는 어렵다. 그래서 식 (8) 대신 데카르트 좌표계인 식 (4)를 주로 사용한다.
두 가지 방법으로 힘들게 증명할 수 있지만 새로운 소득이 있다. 아래와 같이 새로운 적분을 하나 정의할 수 있다.

                     (16)

식 (16)은 2차원 바일 항등식(2D Weyl identity)이라 부르기도 한다.
그라프의 덧셈 정리(Graf's addition theorem)를 사용하면, 원천점 $\bar \rho'$과 관측점 $\bar \rho$를 구분해서 2차원 자유 공간 그린 함수를 새롭게 정의할 수 있다.

                      (17)

여기서 $Z_\nu(\cdot)$는 임의의 베셀 함수[$Z$ = $J, N, H, I, K$]$R$ = $\sqrt{(x-x')^2 + (y-y')^2}$, $\Phi$ = $\tan^{-1} \left[(y-y')/(x-x')\right]$; 무한 급수의 수렴 조건은 $\rho < \rho'$이다. 식 (17)에서 $Z_\nu(\cdot)$ = $H_0^{(1)}(\cdot)$라 두고 정리해서 원천점과 관측점이 서로 분리되도록 한다.

                      (18)

다만 그라프의 덧셈 정리에는 수렴 조건이 있으므로, 식 (18)은 $\rho < \rho'$인 영역에서만 타당하다. 만약 $\rho > \rho'$인 경우는 식 (18)에서 원천점과 관측점을 바꾸어서 다시 쓰면 된다.

                      (19)

식 (18)과 (19)를 합쳐서 새로운 2차원 자유 공간 그린 함수를 만든다.

                      (20)

식 (20)은 원천점과 관측점을 따로 적분해야 하는 경우에 매우 유용한 그린 함수 표현식이다. 하지만 식 (20)은 무한 급수이므로 수학적으로 언제나 옳으나, 수치 계산을 할 때는 $\rho, \rho'$에 따라 적당히 큰 항까지 계속 더해야 정확한 급수값이 얻어진다. 예를 들어, $k \rho$와 $k \rho'$ 중에서 큰 값을 $M$이라 할 때, 식 (20)의 무한 급수는 $-3M$에서 $3M$까지 더해져야 한다. 여기서 $3$은 임의로 택한 $M$의 배수이며, 이 배수를 키우면 급수값이 더 정확해진다.
그라프의 덧셈 정리를 쓰지 않고 정통적인 그린 함수 방법론으로 식 (20)을 유도할 수도 있다. 식 (9)에 따라 그린 함수가 만족하는 미분 방정식은 다음과 같다.

                      (21)

여기서 도약 조건(jump condition)을 쓰려고 마지막식에 $\rho$를 곱해서 첫째 항의 계수를 1로 만든다. 디랙 델타 함수 $\delta(\phi - \phi')$의 구성에 따라 $g(\bar \rho, \bar \rho';k)$를 무한 급수로 표현한다.

             (22a)

             (22b)

식 (22b)에 $e^{-il \phi}$를 곱해서 $0$에서 $2 \pi$까지 적분한다.

                      (23)

그러면 $R_m (\rho)$는 원통 좌표계에 대한 1차원 그린 함수 $g_m(\rho, \rho'; k)$로 다시 기술된다.

                      (24)

식 (24)는 베셀의 미분 방정식이라서 전형적인 그린 함수 기법으로 식 (24)의 해를 나타낸다.

                      (25)

여기서 $A$는 도약 조건의 상수이며 베셀 함수의 함수 행렬식(Wronskian)으로 구한다. 식 (24), (25)를 식 (22a)에 대입해서 최종적으로 정리한 결과는 정확히 식 (20)이 된다.
식 (6)과는 살짝 다르게 $x, y$ 위치의 디랙 델타 함수를 모두 식 (5)로 바꾸어서 자유 공간 그린 함수를 만들기도 한다.

[공진형 2차원 자유 공간 그린 함수]

                         (26)

[증명]
식 (3)에 그린 함수의 일반적 표현식을 넣어서 미지수 $A$를 결정한다.

             (27)

여기서 $(2 \pi)^2 A$는 $g(\bar \rho, \bar \rho'; k)$의 2차원 푸리에 변환이다.
______________________________

식 (26)은 간단해보이지만, 피적분 함수의 분모는 $k^2$ = $\xi^2 + \eta^2$인 위치에서 항상 발산해서 실제 적분은 까다롭다. 다른 관점에서 피적분 함수가 항상 발산하는 구조를 가져서 식 (26)으로 표현한 그린 함수는 공진형 그린 함수(resonant Green's function)에 속한다.

[다음 읽을거리]
1. 3차원 자유 공간 그린 함수


댓글 20개 :

  1. 안녕하세요! 블로그에서 많은 도움 받고있는 독자입니다.
    한가지 질문이 있는데요. 식 6의 첫줄에서 green function 이 x에 대한 일종의 fourier transform 형태로 표현되고 그 계수는 y만의 함수로 바뀌는 부분은 일종의 '변수분리'를 가정한 것인가요?

    답글삭제
    답글
    1. 예 맞습니다.

      변수분리가 되지 않는 좌표계에서는 그린 함수 방법론을 적용할 수 없습니다. 다행히 데카르트 좌표계, 원통좌표계에서는 파동방정식이 변수분리됩니다.
      하지만, 실제 이론적으로 풀 수 있는 기하구조는 그렇게 많지 않습니다.

      삭제
    2. 그렇군요. 답변 감사드립니다.
      질문 달고 생각하다가 또 하나의 의문이 드네요. 2차원 자유공간을 가정했기 때문에 Green function이 x축이나 y축에 대한 어떠한 선호도는 없을 것이라 생각되는데요. 델타함수를 완비성을 이용해서 표현할 때 x-x'에 대한 델타함수를 표현하느냐 y-y'에 대한 델타함수를 표현하느냐에 따라서 최종 green function에서 x-x' 부분에 절댓값이 붙고 k_y에 대해 적분할 것인지, 아니면 y-y' 부분에 절댓값이 붙고 k_x에 대해 적분할 것인지 여부가 결정되는 것으로 보입니다. 근데 이 두 경우의 green function이 본질적으로는 동일한 것인가요?

      삭제
    3. 번거롭게 해드려 죄송합니다만, 위의 익명님이 해주신 질문과 관련하여 한가지만 추가로 질문드립니다.

      그린함수 G(r, r_0)를 x와 y에 대한 성분의 그린함수로 변수분리할 때 G(r, r_0)=G(x, x')G(y, y')로 한 것인지요?

      제 계산이 틀린 것일 수도 있겠으나, 만약 G(r, r_0)=G(x, x')G(y, y')이라면 G(x, x')=/delta(x-x')이라고 나와 이상합니다.

      최근에 전파거북이님의 블로그를 발견하여 흥미롭게 보고 있습니다. 앞으로 자주 교류할 수 있으면 좋겠습니다.

      삭제
    4. r_0는 r'로 봐주시면 감사드리겠습니다. 아래첨자를 붙히는 게 습관이 되어 그렇습니다. 죄송합니다.

      삭제
    5. 안됩니다. 미분 방정식이 연결되어 있어서, 단순히 1D 그린 함수를 곱해서 2D를 만들 수 없어요.
      식 (4)처럼 피적분 함수 관점에서 $x, y$를 분해해서 미분 방정식을 풀어야 합니다.

      자주 교류하시죠, 익명님 :)

      삭제
    6. 그린함수가 x와 y에 대한 각각의 그린함수로 분리되어 식 (6)과 같이 표현되기까지의 유도과정을 잘 모르겠습니다. 혹 여유가 되신다면 본문에 해당 변수분리 내용에 대한 상세한 유도과정이나 수학적 논리를 추가해 주시면 감사드리겠습니다.

      삭제
    7. 유도과정 관련 상세 내용 댓글로 달아주셔도 감사히 읽겠습니다

      삭제
    8. 식 (6)을 이해하려면 푸리에 변환을 보셔야 합니다. 푸리에 변환은 완비성이 있어서, 어떤 함수든지 파수 영역에서 푸리에 적분으로 표현될 수 있어요. 식 (6)의 첫째식이 이 결과물입니다.
      푸리에 변환을 알려면 아래 링크를 꼼꼼히 보세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2012/08/fourier-transform.html

      삭제
    9. 식 (26)을 추가했습니다. 유도가 쉬워서 이해가 더 편할 겁니다.
      이후에 식 (4)를 다시 보세요.

      삭제
    10. 답변해 주셔서 감사합니다.

      식 (27)에서 그린함수의 "일반적 표현식"이라 함은 첫번째 식인

      $\displaystyle g(r, r';k)=\int^{\infty}_{-\infty} \int^{\infty}_{-\infty} A\e^{\xi x+\eta y} d\xi d\eta$를 의미하는 것인지요?

      미지수 A가 포함된 식을 그린함수라 '가정'하고 이를 비동차 헬름홀츠 방정식에 대입해 미지수 A를 구하여 그린함수를 완성하는 과정인지요.

      번거로운 질문을 드려 죄송합니다.

      삭제
    11. 1. 맞습니다. 2차원 푸리에 변환으로 그린 함수를 표현했어요.

      2. $A$는 그린 함수가 아니고, 우리가 구하려는 그린 함수의 푸리에 변환과 관계됩니다.

      삭제
  2. 안녕하세요 블로그를 보면서 많이 배우는 학생입니다.
    궁금한 접이 있어서 여쭈어 보는데 식(10)(11)에서(12)로 넘어 갈때
    로우와로우'을 같지 않다로 설정해두고 그린함수 방정식과 베셀함수 방정식 꼴이 같다고 해서 해를 구하였습니다. 근데 식(12)는 로우와 로우'이 같을때 까지 말하는것같아서 제대로 이해가 안가서 여쭈어봅니다. 같은 경우 단순히 하나의 상수가 생겨서라고 생각한것인지 아니면 어차피 베셀함수의 연장선상에 있을것이라 가정하고 푼건지....알려주시면 감사하겠습니다.

    답글삭제
    답글
    1. 방문 감사합니다, won-tae kim님.

      식 (12)는 (x, y) ≠ (x', y')인 영역에서 항상 맞습니다. 그래서 (x, y) → (x', y')로 가는 극한을 이용해 델타 함수 성질을 만족하도록 상수 A를 맞추는 것이 증명의 핵심입니다.

      본문도 좀 수정했습니다.

      삭제
  3. 1D에서 x가 x'과 다른 영역에서의 해를 구하고 x' 근방에서의 적분을 통해 계수를 구하는 것과 비슷한 느낌이군요! 그런데 원통좌표계에서 미분방정식의 형태가 Bessel 미분 방정식임을 확인한 후, 제1종 베셀함수나 제2종 베셀함수가 아니라 Hankel function을 solution으로 정한 이유는 무엇인가요? 사실 이 물음은 (J_v,N_v) set이 있음에도 불구하고 왜 (H_v(1), H_v(2))의 set을 새로이 정의해서 사용하는가의 연장선상에 있는 의문이 되겠네요...

    답글삭제
    답글
    1. 복사조건 때문에 제1종 한켈 함수를 택해야 합니다. 시간약속이 다르면 제2종을 써야 하는 경우도 있습니다.
      복사조건은 아래 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/12/1-1d-free-space-greens-function.html

      삭제
  4. 전파거북이님 식 10에서 식 13으로 넘어갈 때, 왜 k제곱 항은 사라지고 라플라시안g 만 남는건가요?

    답글삭제
    답글
    1. 체적 적분이 0으로 가기 때문에 $k$가 있는 항은 적분하면 0이 됩니다.

      삭제

욕설이나 스팸글은 삭제될 수 있습니다. [전파거북이]는 선플운동의 아름다운 인터넷을 지지합니다.