2차원 자유 공간 그린 함수(2D Free-space Green's Function)

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1. 미분 방정식의 만병통치약: 그린 함수
2. 1차원 자유 공간 그린 함수

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자기 벡터 포텐셜(magnetic vector potential)에 대한 파동 방정식을 전류 밀도(current density) $J_y$ = $J_z$ = $0$이라 가정하여 단순화한다.

                          (1)

그러면 식 (1)과 같이 스칼라 파동 방정식(scalar wave equation)으로 표현할 수 있다. 2차원을 만들기 위해 식 (2)의 라플라시안(Laplacian)에서 $z$방향으로는 변화가 없다고 가정[$\partial / \partial z$ = $0$]하면 식 (3)에 있는 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system)의 2차원 스칼라 파동 방정식을 얻는다.

                         (2)

                         (3)

여기서 벡터 $\rho$는 2차원 좌표점 $(x, y)$를 나타낸다.

[그림 1] 2차원 원천

[그림 2] 2차원과 3차원 데카르트 좌표계(출처: wikipedia.org)

[데카르트 좌표계 2차원 자유 공간 그린 함수]

                         (4)

[증명]

증명을 위해 먼저 디랙 델타 함수(Dirac delta function)를 아래와 같은 적분으로 표현한다.

                         (5)

식 (5)는 푸리에 변환의 완비성(completeness of Fourier transform)으로 쉽게 증명 가능하다. 식 (5)를 식 (3)에 대입해서 그린 함수를 다음처럼 표현한다.

                         (6)

2차원 함수인 $g(\bar \rho, \bar \rho'; k)$는 변수 $x$의 함수이므로, 푸리에 변환으로 파수 영역(spectral domain)에서 표현한다.[식 (6)의 첫째식] 다만 $y$의 변화는 피적분 함수 $g(y, y'; \eta)$에 반영하며, $\xi^2 + \eta^2$ = $k^2$으로 $\xi, \eta$가 서로 연결된다. 식 (6)을 계산하면, $g(y, y'; \eta)$는 다음 1차원 자유 공간 그린 함수(1D free-space Green's function)에 대한 미분 방정식을 만족한다.

                         (7)

식 (7)의 최종 결과를 식 (6)의 첫째식에 대입하면 식 (4)가 증명된다.

______________________________

식 (4)는 푸리에 변환(Fourier transform)처럼 파수 영역(spectral domain)에서 표현되므로 파수 영역 그린 함수(spectral domain Green's function)라 부른다. 무한 적분으로 표현되어 어려워 보이기는 하지만 그린 함수를 미분(differentiation)하거나 적분(integration)하기는 쉽다.

텐서 이론(tensor theory)에 의해 맥스웰 방정식(Maxwell's equations)은 좌표 독립성(coordinate independence)을 가진다. 즉, [그림 2]의 데카르트 좌표계에서 답을 구한 결과와 다른 좌표계에서 구한 결과는 반드시 동일해야 한다. 그래서, 우리의 논의를 원통 좌표계(circular cylindrical coordinate system)로 옮겨본다.

[그림 3] 원통 좌표계의 표현(출처: wikipedia.org)

[원통 좌표계 2차원 자유 공간 그린 함수]

                         (8)

여기서 $H_0^{(1)}(\cdot­)$는 제1종 한켈 함수(Hankel function of the first kind)이다.

[증명]

문제를 간단히 만들기 위해 $(x', y')$ = $(0, 0)$이라 가정한다.[혹은 원천이 원점에 있다.] 그러면, 모든 방향으로 동등하게 전자파가 복사되므로 방위각(方位角, azimuth) $\phi$방향으로는 전자파의 변동이 없다고 가정할 수 있다.[혹은 $\partial / \partial \phi$ = 0] 따라서, 식 (9)의 원통 좌표계 라플라시안(Laplacian)은 식 (10)처럼 간략해진다.

                       (9)

                       (10)

미분 방정식 (10)을 베셀의 미분 방정식(Bessel's differential equation)인 식 (11)과 비교하면 다음을 얻을 수 있다.

                      (11)

                      (12)

식 (12)의 최종 결과는 베셀 함수의 점근식(asymptote of Bessel function)과 전자파의 복사 조건(radiation condition)을 이용한다. 또한 조건에서 $\rho$ $\ne$ $\rho'$이므로 식 (12)는 $(x, y)$ $\ne$ $(x', y')$만 아니면 모든 점에서 맞는 답이다. $(x, y)$ = $(x', y')$인 경우마저도 식 (12)가 성립하려면 식 (10)의 디랙 델타 함수의 조건을 만족하도록 상수 $A$를 정해야 한다. 그래서 상수 $A$만 정하면 증명은 끝난다. 조건 $\rho$ $\ne$ $\rho'$에 의해 식 (12)는 $(x, y)$ = $(x', y')$인 매우 작은 근방에서도 성립하기 때문에 $(x, y) \to (x', y')$로 가는 극한을 이용한다. 즉, 상수 $A$ 결정을 위해 [그림 4]의 원통을 생각하고 그 반지름이 0으로 가도록 한다.

[그림 4] 원통(출처: wikipedia.org)

[그림 4]의 체적에 대해 식 (10)을 체적 적분하고 반지름 $r$을 0으로 보낸다.

                      (13)

여기서 증명을 위해 발산 정리(divergence theorem)와 다음의 베셀 함수 공식을 이용한다.

                      (14)

                      (15)

그러면 원천이 $(x', y')$ = $(0, 0)$에 있는 경우는 증명이 된다. 또한 좌표 독립성이 있기 때문에 $(x, y)$ = $(u-x', v-y')$을 만족하는 새로운 좌표계 $(u, v)$로 좌표 변환하면 식 (8)이 자동적으로 얻어진다.[∵ $(u, v)$ = $(x', y')$에서 $(x, y)$ = $(0, 0)$이 된다.]

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식 (8)은 적분 없이 공간 상의 좌표값으로만 표현되어서 공간 영역 그린 함수(space domain Green's function)라 부른다. 최종 표현식은 간단하지만 원통 좌표계이므로, 실제 문제에서 식 (8)을 직접 적분하기는 어렵다. 그래서 식 (8) 대신 데카르트 좌표계인 식 (4)를 주로 사용한다.

두 가지 방법으로 힘들게 증명할 수 있지만 새로운 소득이 있다. 아래와 같이 새로운 적분을 하나 정의할 수 있다.

                     (16)

식 (16)은 2차원 바일 항등식(2D Weyl identity)이라 부르기도 한다.

그라프의 덧셈 정리(Graf's addition theorem)를 사용하면, 원천점 $\bar \rho'$과 관측점 $\bar \rho$를 구분해서 2차원 자유 공간 그린 함수를 새롭게 정의할 수 있다.

                      (17)

여기서 $Z_\nu(\cdot)$는 임의의 베셀 함수[$Z$ = $J, N, H, I, K$], $R$ = $\sqrt{(x-x')^2 + (y-y')^2}$, $\Phi$ = $\tan^{-1} \left[(y-y')/(x-x')\right]$; 무한 급수의 수렴 조건은 $\rho < \rho'$이다. 식 (17)에서 $Z_\nu(\cdot)$ = $H_0^{(1)}(\cdot)$라 두고 정리해서 원천점과 관측점이 서로 분리되도록 한다.

                      (18)

다만 그라프의 덧셈 정리에는 수렴 조건이 있으므로, 식 (18)은 $\rho < \rho'$인 영역에서만 타당하다. 만약 $\rho > \rho'$인 경우는 식 (18)에서 원천점과 관측점을 바꾸어서 다시 쓰면 된다.

                      (19)

식 (18)과 (19)를 합쳐서 새로운 2차원 자유 공간 그린 함수를 만든다.

                      (20)

식 (20)은 원천점과 관측점을 따로 적분해야 하는 경우에 매우 유용한 그린 함수 표현식이다. 하지만 식 (20)은 무한 급수이므로 수학적으로 언제나 옳으나, 수치 계산을 할 때는 $\rho, \rho'$에 따라 적당히 큰 항까지 계속 더해야 정확한 급수값이 얻어진다. 예를 들어, $k \rho$와 $k \rho'$ 중에서 큰 값을 $M$이라 할 때, 식 (20)의 무한 급수는 $-3M$에서 $3M$까지 더해져야 한다. 여기서 $3$은 임의로 택한 $M$의 배수이며, 이 배수를 키우면 급수값이 더 정확해진다.

그라프의 덧셈 정리를 쓰지 않고 정통적인 그린 함수 방법론으로 식 (20)을 유도할 수도 있다. 식 (9)에 따라 그린 함수가 만족하는 미분 방정식은 다음과 같다.

                      (21)

여기서 도약 조건(jump condition)을 쓰려고 마지막식에 $\rho$를 곱해서 첫째 항의 계수를 1로 만든다. 디랙 델타 함수 $\delta(\phi - \phi')$의 구성에 따라 $g(\bar \rho, \bar \rho';k)$를 무한 급수로 표현한다.

             (22a)

             (22b)

식 (22b)에 $e^{-il \phi}$를 곱해서 $0$에서 $2 \pi$까지 적분한다.

                      (23)

그러면 $R_m (\rho)$는 원통 좌표계에 대한 1차원 그린 함수 $g_m(\rho, \rho'; k)$로 다시 기술된다.

                      (24)

식 (24)는 베셀의 미분 방정식이라서 전형적인 그린 함수 기법으로 식 (24)의 해를 나타낸다.

                      (25)

여기서 $A$는 도약 조건의 상수이며 베셀 함수의 함수 행렬식(Wronskian)으로 구한다. 식 (24), (25)를 식 (22a)에 대입해서 최종적으로 정리한 결과는 정확히 식 (20)이 된다.

식 (6)과는 살짝 다르게 $x, y$ 위치의 디랙 델타 함수를 모두 식 (5)로 바꾸어서 자유 공간 그린 함수를 만들기도 한다.

[공진형 2차원 자유 공간 그린 함수]

                         (26)

[증명]

식 (3)에 그린 함수의 일반적 표현식을 넣어서 미지수 $A$를 결정한다.

             (27)

여기서 $(2 \pi)^2 A$는 $g(\bar \rho, \bar \rho'; k)$의 2차원 푸리에 변환이다.

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식 (26)은 간단해보이지만, 피적분 함수의 분모는 $k^2$ = $\xi^2 + \eta^2$인 위치에서 항상 발산해서 실제 적분은 까다롭다. 다른 관점에서 피적분 함수가 항상 발산하는 구조를 가져서 식 (26)으로 표현한 그린 함수는 공진형 그린 함수(resonant Green's function)에 속한다.

[다음 읽을거리]
1. 3차원 자유 공간 그린 함수