전기장의 에너지(Energy of Electric Field)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "전기장의 에너지"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 전기장
2. 저항
3. 커패시터

[그림 1] 전기 에너지를 발생시키는 증기 터빈(출처: wikipedia.org)

전하량(electric charge) $q$가 변하지 않는 경우 전기(電氣, electricity)가 가진 에너지[$W = qV$] 혹은 일(work)은 다음처럼 유도할 수 있다.

                       (1)

여기서 $\bar E$는 전기장(electric field), $\Delta \bar l$은 전하 $q$가 움직인 크기와 방향이다. 즉, 일은 힘(force)이 작용하는 방향으로 일정 거리를 움직이면, 전하 × 전기장 = 전기력, 전기장 × 이동 거리 = 전압 강하가 되어 일은 전하와 전압의 곱이 된다. 전하량과 전압이 모두 변하는 경우는 일(work)의 미분(differential)을 다음처럼 일반적으로 쓸 수 있다.

                          (2)

식 (2)을 시간 미분으로 나누면 전기로 축적되는 전력(electric power)을 식 (3)와 같이 얻을 수 있다.

                             (3)

여기서 $dq$ = $0$이라 가정한다. 식 (2)에서 $q$ = $0$, $dq \ne 0$[= 주어진 체적에 전하를 모을 수 없지만 전류를 흘릴 수 있는 조건]이면 저항(resistor) 성분에 관계되고 $q \ne 0$, $dq$ = $0$[= 주어진 체적에 전하를 모을 수 있지만 전류를 흘릴 수 없는 조건]은 커패시터(capacitor) 성분에 관계된다. 즉, 전하(electric charge) $q$ = $0$이면 전하가 쌓이지 않는다. 만약 $dq \ne 0$이면, 전하의 변동[혹은 전류]이 존재하므로 저항에 연관된다. 반대로 $q \ne 0$이라 가정하면 전하가 어딘가에 쌓이며 $dq$ = $0$이면 전하의 변동이 없어 전류는 흐르지 않는다. 따라서 $q \ne 0$, $dq$ = $0$인 대표적인 소자는 커패시터이다. 저항은 $q$ = $0$, $dq \ne 0$인 특성을 표현하는 소자이다. 저항은 전류를 흘릴 수 있지만 이완 시간(relaxation time)으로 인해 전하의 총합이 0이 된다. 따라서 $q$ = $0$, $dq \ne 0$인 조건을 만족한다.[혹은 이상적인 도선의 전하 총량은 0이지만 전류를 흘릴 수 있어서 $dq \ne 0$이다.] 하지만 $q \ne 0$, $dq$ = $0$은 좀 어렵다. 커패시터는 직류[$dq$ = $0$]를 흘릴 수 없지만 교류[$dq \ne 0$]는 흘릴 수 있기 때문이다. 그래서 식 (3)에서는 직류와 교류의 문제가 아니고 위치 혹은 포텐셜 에너지(potential energy) 관점을 고려한다. 시스템에 힘을 가하면 시스템 구성 물질이 움직이게 되고, 시간이 어느 정도 지나면 힘의 균형으로 인해 멈추게[$dq$ = $0$] 된다. 이때 시스템에 공급한 에너지는 이 시스템이 저장한 위치 에너지가 된다는 의미이다. 이를 계산한 부분이 식 (3)에 표현되어 있다. 일반식 (4)를 이용해서 축적되는 전하는 전기 용량(capacitance)과 전압(voltage)의 곱으로 표현할 수 있다.

                       (4)

따라서, 식 (3)으로부터 커패시터 내부에 축적되는 전기 에너지(electric energy)는 아래처럼 표현할 수 있다.

                       (5)

단순하게 생각하면 전압이 증가할 때 전하도 증가하기 때문에 전하와 전압의 곱인 에너지는 삼각형의 면적처럼 변화한다. 식 (5)를 전속 밀도(electric flux density)와 전기장(electric field)으로 표현하기 위해 아래식을 생각한다.

                       (6)

                           (7)

식 (6)와 (7)을 식 (5)에 대입하면 다음을 얻을 수 있다.

                           (8)

여기서 에너지를 구하기 위한 부피는 [그림 2]의 왼쪽과 같이 닫힌 표면적(closed surface)을 전기장을 적분한 방향[혹은 전압 차이가 정의된 방향]으로 무한히 합산한 길이 방향[혹은 표면적 벡터 방향] 적분이다. 식 (7)의 전압 기준으로 전기장의 에너지를 설명할 수도 있다. 식 (7)에서 $B$가 전압이 높고 $A$는 전압이 낮다고 가정한다. 그러면 $W_e$ = $W_B - W_A$가 된다. 왜냐하면 식 (7)의 $\bar E$는 $B$에서 $A$를 향하는 방향으로 생기고, 선 미분소 $d \bar l$도 $\bar E$와 같은 방향이어야 하기 때문이다. 따라서 식 (8)에 나온 선 적분 경로 $c$도 $B$에서 $A$로 향한다.

[그림 2] 닫힌 표면적[왼쪽]과 열린 표면적[오른쪽](출처: wikipedia.org)

식 (8)을 유도하기 위해 다음의 벡터 항등식(vector identity)을 사용한다.

                         (9)

식 (9)을 이용하면 다음 항등식을 얻는다.

             (10)

면적 미분소 $da$와 선 미분소 $dl$은 임의로 잡을 수 있기 때문에 전속 밀도와 동일한 방향으로 $dl$을 잡거나 전기장과 동일한 방향으로 $da$를 잡으면 식 (10)의 우변 마지막항을 0으로 만들 수 있다. 더 직관적으로 식 (10)을 유도하려면, $d \bar a, d \bar l$의 방향을 $\bar D$와 나란히 한다. 왜냐하면 $d \bar a, d \bar l$은 우리가 마음대로 선택하는 벡터라서 $\bar D$와 방향을 맞출 수도 있기 때문이다. 그러면 $(D da)(dl \hat D \cdot \bar E)$ = $(\bar D \cdot \bar E) dv$가 성립한다. 여기서 $\bar D$ = $D \hat D$, $\hat D$는 $\bar D$에 대한 단위 벡터(unit vector), $dv$ = $dl da$이다.

식 (8)로부터 전기장의 에너지 밀도(energy density, J/㎥)를 아래처럼 정의할 수 있다.

                         (11)

여기서 $\bar P$는 분극 밀도(polarization density), $\frac{1}{2}\bar P \cdot \bar E$는 분극에 의한 위치 에너지 밀도이다. 식 (11)은 놀라운 결과이다. 실체가 없는 것처럼 느껴졌던 전기장이 에너지 밀도를 구성한다니! 의심할 필요도 없이 전기장이 있으면 반드시 에너지가 있다. 왜냐하면 우리가 기초부터 충실히 증명한 결과 때문이다. 좀더 쉽게 생각하면 커패시터에 모이는 에너지는 전압을 걸어 전하가 모인 형태라고 생각할 수 있지만, 더 근본적으로는 전기장과 전속 밀도를 공간에 퍼트리기 때문에 에너지가 생긴다고  판단할 수도 있다. 전기장의 에너지 밀도를 증명하기 위해 식 (8)을 사용한 방식은 너무 단순하다고 생각할 수 있다. 일반적인 교재에는 전하를 하나하나 모아서 전하를 모으는데 사용한 에너지를 계산해서 전기장의 에너지 밀도를 우아하면서도 아름답게 증명하기 때문이다. 하지만 그 결과는 우리 결과와 동일하며 우리 증명에서도 근사화한 부분은 전혀 없다. 오히려 식 (8)은 단순해서 이해가 더 쉽고 자기장의 에너지 밀도 계산에도 동일한 과정을 이용할 수도 있다.

전기장의 에너지 밀도를 고민할 때 쉽게 범하는 실수가 인터넷에 질의응답 형태로 소개되어 있다[1]. 참고문헌 [1]에 있는 질문을 그대로 아래에 옮긴다.

첫번째 전자기파가 가진 에너지밀도를 1이라고 하면, 두 번째 전자기파도 똑같이 1이 됩니다. 즉 두개를 합치면 에너지밀도는 2가 됩니다. 그런데 만약에 두개의 전자기파를 합치면, 전자기파는 E=2가 됩니다. 따라서 에너지밀도는 2^2=4가 됩니다. 첫번째 계산에서는 에너지 밀도가 2가 되고 이번에는 4가 됩니다. 어디서 문제가 발생한것인가요? 

우리는 답을 알고 있다. 식 (11)에 의해 전기장의 에너지 밀도는 4배로 커져야 한다. 이 사실을 이해시키기 위해 많은 답글을 달았지만, 답글을 보면 오히려 더 복잡해진다[1]. 식 (8)의 증명에 오류가 없기 때문에 답은 식 (8)로 결정해야 한다. 전자기학의 원칙은 간단하다. 우리가 배운 내용이 답이다. 아마도 질문자의 의도는 답이 4배 됨은 알지만 왜 그런지에 대한 물리적인 이해를 요구하는 것 같다. 이 부분도 답이 쉽다. 서로 다른 전기장을 하나로 합치는 작업은 공짜가 아니다. 반드시 에너지가 필요하다. 얼마인가 하면 $4 - 1 - 1$ = $2$만큼 필요하다. 이 부분이 잘 이해되지 않으면 [그림 3]에 보인 커패시터(capacitor)를 생각한다.

[그림 3] 커패시터의 구조(출처: wikipedia.org)   

식 (8)의 과정에 의해 전기장을 합치는 문제와 커패시터를 합치는 문제는 동일하다. [그림 3]의 커패시터를 하나로 합친다고 생각한다. 그 내부에 있는 전하(charge)의 부호는 같기 때문에 전기력(electric force)이 작용하여 전하 ($+$)는 ($+$)를, 전하 ($-$)는 ($-$)를 서로 밀게 된다. 그래서, 이 반발력을 이기려면 에너지가 투입되어야 한다.

[그림 4] 두 송신기가 서로 전자파를 복사하는 모습

이 개념을 전자파까지 거침없이 확장한다. [그림 4]처럼 두 송신기가 서로를 향해 전자파를 쏜다고 상상한다. 여기서 두 송신기가 쏜 전기장과 자기장은 동일한 크기를 가지며, 이 전자파는 운 나쁘게 중간 지점에서 전기장의 위상이 서로 180˚ 차이를 가진다고 가정한다. 이 경우 전기장의 에너지는 식 (11)에 의해 당연히 0이 된다. 우리가 허공에 쏘았기 때문에 에너지를 가져올 수 없는데 대체 전기장의 에너지는 어디에 갔을까? 답은 자기장이다. 균일 평면파(uniform plane wave) 특성으로 인해 전기장의 위상차가 180˚이면 자기장의 위상차는 반드시 0˚가 되어야 한다. 그래서 두 전자파가 만난 지점에서 자기장의 에너지 밀도는 4배로 증가해야 한다. 이 과정을 에너지 보존 관점에서 쓰면 다음 관계식을 얻을 수 있다.

                         (12)

여기서 $\Delta V$는 전자파가 존재하는 부피이다. 식 (12)의 좌변은 송신기 #1과 #2 위치의 에너지이며, 우변은 전기장이 180˚ 차이로 만난 중간 지점의 에너지이다. 식 (12)의 좌변과 우변은 같기 때문에 균일 평면파의 전기장과 자기장 비율은 다음 관계를 반드시 만족해야 한다.

                         (13)

식 (13)의 우변은 유명한 균일 평면파의 고유 임피던스(intrinsic impedance)가 된다. 신기하게도 고유 임피던스 개념은 맥스웰 방정식을 직접 쓰지 않고도 전자기파의 에너지 보존 법칙으로부터 쉽게 유도될 수 있다.

[참고문헌]

[1] restover, "전기장 에너지", 한국과학기술인연합, 2005.

[다음 읽을거리]

1. 자기장의 에너지

2. 포인팅의 정리

3. 전자기학에서의 에너지