준정전장과 준정자장(Electro-quasistatics and Magneto-quasistatics)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "준정전장과 준정자장"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 정전장과 정자장

2. 맥스웰 방정식

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[그림 1] 인덕터(inductor)와 커패시터(capacitor)로 구성한 회로 부품(출처: wikipedia.org)

맥스웰 방정식(Maxwell's equations)을 쓰면 고전적인 전기와 자기 문제를 모조리 정확하게 계산할 수 있다. 하지만 맥스웰 방정식의 해법은 복잡하기 때문에 적절한 근사를 해서 문제를 더 쉽게 해결하고 물리적 의미를 좀더 직관적으로 파악한다. 이 맥스웰 방정식을 근사하거나 처리하는 방식은 다음처럼 분류한다.

• 정전장(靜電場, electrostatics): 시간 변화를 무시하고 오로지 전기장(electric field)만 고려[$\partial \overline{E}/\partial t$ = $0$]
• 정자장(靜磁場, magnetostatics): 정전장처럼 시간 변화 없이 자기장(magnetic field)만 감안; 다만 옴의 법칙(Ohm's law)을 써서 정전장과 정자장을 연결 가능[$\partial \overline{H}/\partial t$ = $0$]
• 준정전장(準靜電場, electro-quasistatics): 전기장의 시간 변화를 헤아려서 자기장을 만들지만, 자기장은 전기장을 출현시키지 않음; 커패시터(capacitor)를 근사하는 방식[$\partial \overline{E}/\partial t\ne 0$, $\partial \overline{H}/\partial t\approx 0$]
• 준정자장(準靜磁場, magneto-quasistatics): 준정전장과 반대로 자기장의 시간 변화를 계산하여 전기장을 발생시키지만, 이 전기장이 자기장을 파생하지 않음; 인덕터(inductor)를 위한 근사 방법[$\partial \overline{H}/\partial t\ne 0$, $\partial \overline{E}/\partial t\approx 0$]
• 전자기파(電磁氣波, electromagnetic wave): 시간적으로 바뀌는 전기장과 자기장이 서로를 꼬리에 꼬리를 물고 생성[$\partial \overline{E}/\partial t\ne 0$, $\partial \overline{H}/\partial t\ne 0$]

직류 회로 이론(direct-current circuit theory)은 옴의 법칙이 포함된 정전장 및 정자장으로 분석한다. 반면에 교류 회로 이론(alternating-current circuit theory)은 커패시터와 인덕터가 있기 때문에 준정전장과 준정자장이 필요하다. 전자파가 온전히 필요한 안테나(antenna)와 도파관(waveguide)에서는 맥스웰 방정식만 사용 가능하다.

   1. 준정전장(electro-quasistatics)   

준정전장은 자기장의 시간 변화를 억제한 맥스웰 방정식을 가정한다.

                          (1.1: 준정전장)

식 (1.1)에 표현한 근사화된 맥스웰 방정식을 [그림 1.1]에 보인 커패시터 구조에 적용해서 준정전장이 성립하는 조건을 탐구한다.

[그림 1.1] 커패시터 구조에 적용한 준정전장 근사(그림 출처: [1])

[그림 1.2] 준정전장의 성립 조건을 구하기 위한 커패시터의 단면(그림 출처: [1])

준정전장으로 어림한 $\rho \approx 0$ 근방의 전기장을 $E_{z,q}$로 두고 식 (1.1)의 넷째식을 계산한다.

                          (1.2a)

그 다음에 [그림 1.2]의 구조에 패러데이의 법칙(Faraday's law)을 적용해서, 생성되는 전기장이 거의 없어지는 조건을 찾는다.

                          (1.2b)

여기서 $E_z$는 중심에서 멀어진 $\rho \approx a$ 근처의 전기장이다. 따라서 자기장의 시간 변화가 얼추 0이 되는 준정전장의 조건은 파장 $\lambda$에 관계된다.

                          (1.3)

여기서 $k$ = $\omega \sqrt{\mu ϵ}$ = $2\pi /\lambda$이다.

   2. 준정자장(magneto-quasistatics)   

준정자장은 식 (1.1)과 비슷하지만 전기장의 시간 변화가 사라진 맥스웰 방정식을 선택한다.

                          (2.1: 준정자장)

식 (2.1)이 좋은 근사가 되는 [그림 2.1]에 소개한 인덕터의 예를 들어서 준정자장이 성립하는 조건도 유도한다.

[그림 2.1] 인덕터 구조에 도입한 준정자장 근사(그림 출처: [1])

[그림 2.2] 준정자장 조건을 유도하기 위한 인덕터의 단면(그림 출처: [1])

식 (1.2)처럼 준정자장에 대해서 전기장의 시간 변화를 고려하지 않아도 되는 조건을 암페어의 법칙(Ampere's law)으로 탐색한다.

                          (2.2a)

                          (2.2b)

여기서 $H_{z,q}$와 $H_z$는 각각 $y\approx 0$과 $y\approx b$ 근방의 자기장이다. 식 (2.2b)에서 $H_z\approx H_{z,q}$를 만들면, 전기장의 시간 변화가 0에 수렴하는 준정자장의 조건이 나온다.

                          (2.3)

식 (1.3)처럼 준정자장의 조건도 인덕터의 크기가 파장보다 확실히 작으면 된다.

[참고문헌]

[1] MIT, "Limits to statics and quasistatics," Electromagnetic Energy: From Motors to Lasers, MIT OpenCourseWare, USA, 2011.