조금은 느리게 살자: 원통 좌표계의 전자장 표현식(Electromagnetic Field Representations in Circular Cylindrical Coordinates)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "원통 좌표계의 전자장 표현식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 맥스웰 방정식
2. 전자기장 파동 방정식
3. 페이저를 이용한 맥스웰 방정식
4. 평면파를 이용한 푸리에 변환 기법
5. 데카르트 좌표계의 전자장 표현식
6. 푸리에 급수
7. 푸리에 변환
8. 한켈 변환
9. 베셀의 미분 방정식

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데 카르트 좌표계(Cartesian coordinate system)에서 유도한 전자장(electromagnetic field) 표현 방식을 이용해서 원통 좌표계(circular cylindrical coordinate system) 전자장 표현식을 만들어본다. 출발점은 항상 맥스웰 방정식(Maxwell's equations)이다. 원천(source)이 없는 경우 맥스웰 방정식을 조합해서 파동 방정식(wave equation)을 만들면 다음과 같다.

(1)

식 (1)에 페이저(phasor)를 적용하면 다음 헬름홀츠 방정식(Helmholtz equation)을 얻을 수 있다.

(2)

(3)

여기서 파수(wavenumbe r) $k$는 다음처럼 정의한다.

(4)

다음으로 전기장 $\bar E$를 원통 좌표계 $(\rho, \phi, z)$에서 표현한다.

(5)

도파관(waveguide) 이론의 증명처럼 식 (5)의 벡터 성분 중 하나만 구하면 나머지 성분을 차례로 알 수 있다. 그래서 식 (5)에서 $z$방향 전기장을 택한다. 이런 선택의 이유는 단순하다. $z$방향 단위 벡터(unit vector) 성분은 항상 고정이므로[혹은 공간 상에서 변하지 않으므로] 미분을 하면 0이 되어 원통 좌표계에서 전기장 표현식이 매우 단순해진다. $\rho, \phi$방향 단위 벡터는 위치에 따라 방향이 바뀌므로 이런 특성이 얻어지지 않는다. 따라서 식 (3)에서 $z$방향만을 택한 다음 식이 성립한다.

(6)

식 (6)에 의해 원통 좌표계 전자장 표현식은 스칼라 파동 방정식(scalar wave equation)을 푸는 문제로 바뀐다. 스칼라인 경우 원통 좌표계의 라플라시안(Laplacian)은 다음으로 표현된다.

(7)

식 (7)을 식 (6)에 대입해 원통 좌표계에 대한 편미분 방정식을 생성한다.

(8)

식 (8)에 편미분 방정식을 푸는 강력한 도구인 변수 분리법(separation of variables method)을 적용한다.

(9)

식 (10)의 베셀 미분 방정식(Bessel's differential equation)을 고려하면 식 (9)의 편미분 방정식을 다음의 미분 방정식으로 쉽게 분해할 수 있다.

(10)

(11)

데카르트 좌표계의 전자장 표현식을 이용하면 식 (11)의 첫째식과 둘째식의 답은 지수 함수(exponential function)로 쉽게 표현할 수 있다. 식 (11)의 셋째식은 다음처럼 약간의 변형을 가해야 식 (10)의 미분 방정식이 된다. 식 (10)의 해는 베셀 함수(Bessel function)이다.

(12)

여기서 $Z_n(\cdot)$은 제$n$차 베셀 함수나 한켈 함수(Hankel function)이다. 따라서 원통 좌표계의 전자장 표현식은 다음과 같은 모양이어야 한다.

(13)

여기서 $Z_n(\cdot)$과 $B_n(\cdot)$은 서로 독립적인 베셀 함수이며 $A_1, A_2, B_+, B_-, C_+, C_-$는 적분상수이다. 식 (13)은 식 (8)의 편미분 방정식을 분명 만족하지만 임의의 전기장을 표현할 수는 없다. 왜냐하면 식 (13)은 모든 함수를 표현할 수 있는 완비성(completeness)이 없기 때문이다. 이를 위해 푸리에 변환(Fourier transform)이나 한켈 변환(Hankel transform)을 사용할 수 있다. 식 (13)을 푸리에 변환 형태로 만들어 함수 표현의 완비성을 도입하면 다음과 같다.

(14)

여기서 $\widetilde{E}_n(\zeta)$는 $E(\rho = a, \phi, z)$의 푸리에 변환이다. 식 (14)에서 $z$방향 완비성은 푸리에 변환으로 만족시키고, $\phi$방향 완비성에는 푸리에 급수(Fourier series)가 사용된다. 식 (13)에 한켈 변환을 적용하면 식 (14)와는 다른 완비성을 가진 표현식을 만들어낼 수 있다.

(15)

여기서 $\widetilde{E}_n(\kappa)$는 $E(\rho, \phi, 0)$의 한켈 변환이다. 식 (15)에서 $\rho$방향 완비성을 위해서는 푸리에 변환의 변형인 한켈 변환을 이용하고, $\phi$방향 완비성에는 간단한 푸리에 급수(Fourier series)를 도입한다.

[다음 읽을거리]
1. 구 좌표계의 전자장 표현식

2. 멜린 변환

3. 콘토로비치–레베데프 변환