전자기장 파동 방정식(Electromagnetic Wave Equation)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "전자기장 파동방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 맥스웰 방정식
2. 회전의 의미

3. 좌표계 기반 벡터
4. 줄에 대한 파동 방정식

[그림 1] 전자기장이 이루는 파동(출처: wikipedia.org)

4개의 맥스웰 방정식(Maxwell's equations)을 이용하면 손쉽게 전자기장에 대한 파동 방정식(波動方程式, wave equation)을 유도할 수 있다.

                                (1: 쿨롱의 법칙)

                       (2: 패러데이의 법칙 )

                                (3: 비오-사바르의 법칙)

                  (4: 변위 전류 포함 암페어의 법칙)

파동 방정식 유도시 우리가 알아야 하는 벡터 항등식(vector identity)은 아래 식이다.

                         (5)

식 (2)에 회전 연산자를 적용하고 식 (5)의 벡터 항등식을 적용하면

             (6)

식 (6)을 정리하면 전기장에 대한 파동 방정식을 식 (7)과 같이 얻을 수 있다.

                         (7)

여기서 광속은 $v$ = $1 \mathop{/} \sqrt{\mu \epsilon}$이다. 특히 진공중의 광속은 라틴어 전통을 따라서 $c$ = $1 \mathop{/} \sqrt{\mu_0 \epsilon_0}$로 쓴다. 2019년 이전에 $c$는 정밀하게 측정해야 하는 양이었지만, 2019년 5월 20일부터는 $c$ = 299792458 m/s로 고정되었다. 이로 인해 길이의 기본 단위 미터는 $c$로 정의한다. 또한 진공중의 투자율 $\mu_0$는 기존에 $4 \pi \times 10^{-7}$ H/m로 정확히 정의했지만, 2019년부터는 측정해야 하는 양으로서 $\mu_0$ $\approx$ 1.25663706212$\cdots \times 10^{-6}$ H/m로 바뀌었다. 이에 연결되어 진공중의 유전율 $\epsilon_0$는 정확한 $c$와 측정하는 $\mu_0$으로 환산해 $\epsilon_0$ = $1 \mathop{/} (c^2 \mu_0)$ $\approx$ 8.8541878128$\cdots \times 10^{-12}$ F/m가 된다. 

[그림 2] 2019년에 새롭게 정의된 기본 단위(출처: [1])

식 (7)은 전하 밀도 $\rho$와 전류 밀도 $\bar J$가 전기장을 발생시키는 원천임을 보여준다. 즉, 전하 밀도[혹은 전하]가 공간적으로 변하든지 전류 밀도[혹은 전류]가 시간적으로 변하면 전기장이 식 (7)에 의해 생성된다. 전하 밀도와 전류 밀도가 없으면 식 (7)은 좀더 단순한 원천이 없는 파동 방정식(sourceless wave equation)이 된다.

                         (8)

원천이 없는 파동 방정식은 미분 방정식 풀이에 나타나는 일반해(general solution)를 구하기 위해 사용한다. 일반해와 차별화되는 원천에 대한 특수해(particular solution)는 보통 그린 함수(Green's function)를 이용해 구한다.

전기장과 동일한 방법으로 자기장에 대한 파동 방정식을 유도할 수 있다. 식 (4)에 회전 연산자를 적용하고 식 (5)의 벡터 항등식을 적용하면

                         (9)

식 (9)를 정리하면 식 (10)과 같이 자기장에 대한 파동 방정식을 얻을 수 있다.

                         (10)

전기장과는 다르게 자기장은 오로지 전류 밀도만이 만들 수 있다. 전류 밀도의 회전이 있으면 식 (10)에 의해 반드시 자기장은 발생한다. 전류 밀도가 없는 경우, 자기장에 대한 원천이 없는 파동 방정식(sourceless wave equation)은 아래와 같다.

                         (11)

원천이 없는 경우는 식 (8)과 (11)처럼 전기장과 자기장이 동일한 파동 방정식을 따르게 된다. 즉, 전기장과 자기장은 동일한 파동적 특성을 가진다는 뜻이다.

그런데, 식 (8)과 (11)을 왜 파동 방정식이라고 할까? 먼저 라플라시안(Laplacian)을 데카르트 좌표계에서 표현한다.

                         (12)

식 (12)를 고려하고 식 (8)과 (11)을 보면 공간에 대한 두 번 미분[혹은 곡률과 관계]이 시간에 대한 두 번 미분과 같아지게 된다. 이런 특성을 보이는 식 (8)과 (11)의 미분 방정식을 파동 방정식이라 한다. 좀더 쉽게 이해하기 위해 함수 $f$가 $x, y$ 방향으로는 변화가 없다고 가정[$\partial f/ \partial x$ = $\partial f/ \partial y$ = 0]한다. 그러면

                         (13)

다음으로 식 (13)의 미분 방정식을 풀기 위해 해(解, solution)를 $f(x, y, z)$ = $f(z \pm vt)$로 가정한다. 이 $f$를 식 (13)에 대입하여 계산하면 항상 0이 됨을 확인할 수 있다. 이런 방법으로 식 (13)의 미분 방정식을 해결한 최초의 수학자는 달랑베르Jean le Rond d'Alembert(1717–1783)이다. 달랑베르는 1746년달랑베르 29세, 조선 영조 시절에 1차원 파동 방정식을 발견하고 그 해답까지 제시했다. 약 10여년 뒤에 오일러Leonhard Euler(1707–1783)가 파동 방정식을 3차원까지 확장했다. 여러 함수 중에서 $f(z \pm vt)$로 표현되는 함수는 파동 함수(波動函數, wave function)라 부른다. 이 의미를 파악하려면 먼저 [그림 3]에 표현한 파면(波面, wavefront) 개념부터 잡아야 한다.

[그림 3] 파면의 개념(출처: wikipedia.org)

[그림 3]의 빨간색 사각형처럼 파면은 파동 함수가 동일한 값을 가진 면이다. 혹은 위상(phase) 개념을 사용해 동위상 표면(equiphase surface)이라 할 수도 있다. 파동 함수가 동일하려면 $l$ = $z \pm vt$로 표현되는 거리값이 동일해야 한다. 예를 들어, $l$ = $z - vt$ = $0$을 기준값이라 하고 $t$ = $0$을 시작 시간이라 하면 $z$ = $0$이 되어야 $l$ = $0$이 성립한다. 시간이 $t$ = $\Delta t$가 되면 $l$ = $0$을 맞추기 위해 $z$ = $\Delta z$ = $v \Delta t$가 되어야 한다. 그러면 파동 함수 $f(z - vt)$는 속도 $v$ = $\Delta z/ \Delta t$를 가지고[∵ 시간이 $\Delta t$ 만큼 흐를 때 파면이 움직인 거리가 $\Delta z$가 되기 때문에] '$+z$' 방향[$z$축과 동일한 방향]으로 이동하는 파동이 된다.[∵ 움직인 거리가 (+)가 되기 때문에] 마찬가지로 거리값이 $l$ = $z + vt$로 표현되는 파동 함수 $f(z + vt)$는 속도 $v$ = $-\Delta z/ \Delta t$를 가지고[∵ 시간이 $\Delta t$만큼 흐를 때 파면이 움직인 거리가 $-\Delta z$가 되기 때문에] '$-z$' 방향[$z$축과 반대 방향]으로 이동하는 파동이 된다.[∵ 움직인 거리가 (-)가 되기 때문에] 그래서, 식 (13)에 있는 $v$는 속도의 의미를 분명하게 가진다. 다음으로 임의 방향의 변화를 가정하고 식 (13)의 미분 방정식을 풀려면 어떻게 해야 할까? 아래와 같이 파동 함수 $f(\phi)$를 가정하여 식 (13)에 대입한다.

                         (14)

따라서, 식 (14)의 마지막식을 만족하면 식 (13)의 미분 방정식을 해결하게 된다. 만약 식 (14)의 시간 변화를 페이저(phasor) 형태로 가정하면 식 (14)는 균일 평면파 방정식(equation for uniform plane wave)을 표현한다.

[그림 4] 3차원 공간상의 평면(출처: wikipedia.org)

식 (14)에 제시한 파동 함수의 거리값이 만드는 파면은 [그림 4]와 같은 3차원 공간상의 평면이 된다. [그림 4]를 고려해서 3차원 공간의 평면 방정식(plane equation)은 아래로 표현할 수 있다.

                                    (15)

여기서 $\hat n$ = $(l, m, n)$, $\bar r$ = $(x, y, z)$, $\bar p_0$ = $(x_0, y_0, z_0)$이다. 특히 단위 벡터 $\hat n$은 해당 평면을 뚫고 나가는 법선 벡터(法線, normal vector)이다. 식 (15)가 평면 방정식이므로 식 (14)의 파동 함수 파면은 평면이 된다. 또한, 이 파동의 진행 방향은 법선 벡터 $\hat n$ = $(l, m, n)$이 가리키는 방향이다.[∵ 파면을 이루는 평면을 뚫고 나가는 벡터가 법선 벡터 $\hat n$이기 때문에] 이런 이유로 동일 위상면의 진행 방향을 나타내는 법선 벡터 $\hat n$의 방향은 전자파 전력의 이송 방향인 포인팅 벡터(Poynting vector) $\bar S$의 방향과 같다.

[참고문헌]

[1] 보도자료, "기본단위 재정의 공식 시행 - 표준연, 5월 20일 세계 측정의 날 행사 개최", 한국표준과학연구원, 2019년. (방문일 2023-06-22)

[다음 읽을거리]
1. 포텐셜 기반 파동 방정식
2. 페이저를 이용한 맥스웰 방정식
3. 균일 평면파

4. 전자파의 편파