금속(金屬, Metal)의 성질

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "금속의 성질"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 전기장
2. 전압
3. 헬름홀츠의 정리
4. 전류

[그림 1] 세상에서 제일 큰 금괴(출처: wikipedia.org)

흔히 볼 수 있는 금속은 전자기학적으로 놀라운 성질을 가지고 있다. 완벽한 금속 성질을 가진 물질은 완전 전기 도체(完全電氣導體, Perfect Electric Conductor, PEC)라고 부른다. PEC가 되려면 전도도가 무한대가 되면 된다. 금속을 이해하기 위해 현재까지 증명된 전자기학 원리를 이용하여 금속의 성질을 차례로 증명해 볼 것이다.

• 금속의 이완 시간(relaxation time)은 매우 짧음

                                (1)

[증명]

식 (1)을 증명하기 위해 먼저 전하 보존 법칙을 고려한다.

                          (2)

식 (2)에 옴 법칙의 미분형 공식을 대입하여 정리하면 전하 밀도에 대한 미분 방정식을 얻을 수 있다.

                          (3)

식 (3)의 미분 방정식 해는 식 (4)로 얻어진다.

                          (4)

여기서 이완 시간 $\tau$는 식 (1)에 제시되어 있다. 식 (1)의 이완 시간은 전하 밀도가 존재하는 평균 시간[시간의 기대값]이다. 이완 시간은 전도도에 반비례하므로 금속의 이완 시간은 매우 짧아야 한다.

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구리(copper)의 전도도($\sigma$)는 $5.96 \times 10^7$ S/m, 유전율($\epsilon_0$)은 $8.854 \times 10^{-12}$ F/m이므로 구리의 이완 시간($\tau$)은 $1.47 \times 10^{-19}$ 초가 된다. 이 시간은 0.147 아토초(attosecond: $10^{-18}$초) 정도로 매우 작다. 계산시 구리의 유전율을 진공중의 유전율로 쓴 이유는 구리 내부에서 자유 전자(free electron)는 매우 많이 형성되나 유전율[분극(分極, polarization) 비율]에 관련된 구속 전하(拘束電荷, bound charge)는 거의 생기지 않기 때문이다.

• 금속 내부에는 전기장이 없음

                          (5)

[증명]

금속 내부에 전기장이 존재하면 옴 법칙의 미분형 공식에 의해 전류 밀도가 존재해야 한다. 하지만 식 (3)과 (6)에 의해 전하 밀도가 기하 급수적으로 줄어들기 때문에, 전류 밀도도 줄어들어 최종적으로 전기장은 $0$이 된다.

                          (6)

여기서 벡터 $\bar u$는 전하의 유동 속도(流動速度, drift velocity)이다.

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금속의 이완 시간 $\tau$가 매우 짧아서 금속 내부의 전기장이 실제 0이 되는 현상으로 인해, 금속 내부의 자유 전하 밀도(free charge density)를 0으로 간주한다. 자유 전하 밀도가 등가적으로 0이더라도, 외부에 걸어준 전압으로 인해 금속 내부에는 전하가 계속 생성 및 소멸하므로 연속적인 전류를 흘릴 수 있다. 왜냐하면 한 곳에서 금속 내부에 전하를 넣거나 빼면 이완 시간 이내에 이 변동을 없애려고 전하가 계속 움직여서 전하 이동을 만들어내기 때문이다.

• 금속의 전압은 동일

                          (7)

[증명]

전기장과 전압은 식 (8)과 같은 관계를 가지고 있다. 전기장이 식 (5)처럼 $0$이기 때문에, 전압은 금속 내부에서 일정해야 한다.

                                 (8)
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• 금속의 전하는 표면에만 있고 이 표면에서의 전기장은 항상 표면에 수직

                                 (9)

 여기서 $\rho_s$는 표면 전하 밀도(surface charge density)이다.

[증명]

금속 내부의 전기장은 $0$이기 때문에[혹은 식 (4) 때문에] 금속 내부에는 전하가 존재할 수 없다. 하지만, 금속 표면에는 금속 내부에서 밀려온 전하가 존재할 수 있다.[∵ 밀려온 전하는 금속을 빠져나갈 수 없다. 이는 진공중의 전도도는 $0$이기 때문이다.] 금속 표면의 전기장은 접선 성분이 반드시 $0$이어야 한다. 만약 전기장의 접선 성분이 있으면 옴 법칙의 미분형 공식에 의해 전류 밀도가 존재해야 하나 식 (6)과 같이 전류 밀도가 기하 급수적으로 줄어들기 때문에 전기장도 $0$으로 수렴해야 한다. 금속 표면으로 밀려온 전하는 커패시터(蓄電器, capacitor) 원리처럼 표면에 축적되어 전기장을 만든다. 이 표면에 쿨롱 법칙의 적분형 공식을 적용한다.

                                 (10)

[그림 2] 가우스 원통(출처: wikipedia.org)

식 (10)의 표면적을 [그림 2]에 보인 가우스 원통으로 생각한다. 가우스 원통의 높이가 $0$으로 작아진 후 뚜껑의 면적도 한없이 축소되면, 식 (10)의 표면 적분은 간단한 곱셈이 된다.

                                 (11a)

여기서 $\Delta S$는 식 (10)을 적용할 때 사용한 가우스 원통의 뚜껑 면적, 식 (5)에 의해 금속 내부의 전기장 $E_\text{in}$은 $0$이다.

커패시터를 구성하는 평행판이 한없이 얇아서 두께가 없다면, 식 (11a)에서 약간 변형되어야 한다. 두께가 0인 금속에 전하만 한 층 있는 경우이므로, $+Q$가 있는 판에서 나온 전기장 $E_{+}$는 식 (11a)의 반이 된다. 왜냐하면 식 (11a)와 다르게 평행판의 양쪽 방향에 모두 전기장이 존재하기 때문이다.

                                 (11b)

마찬가지로 $E_{-}$도 $E_+$와 동일한 크기와 방향을 가진다. 평행판 커패시터 내부의 전기장에 기여하는 $E_{+}, E_{-}$를 모두 더하면 식 (11a)와 같이 $E_+ + E_-$ = $\rho_s / \epsilon_0$이 나온다.

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식 (9)는 커패시터(capacitor)가 존재하는 이유를 설명한다. 금속에 전기장 혹은 전압 $V$를 만들면 표면에는 식 (9)에 따라 전하 $Q$가 모인다. 전압을 줄 때 전하가 모이는 비율은 전기 용량(capacitance) $C$가 된다. 무한 평행판으로 만든 커패시터는 모든 표면에서 식 (9)가 성립해서, 표면에 생기는 전하는 $Q$ = $\epsilon_0 A E$ = $\epsilon_0 A \mathbin{/}d \cdot V$가 된다. 그러면 $C$ = $\epsilon_0 A \mathbin{/}d$가 쉽게 유도된다. 여기서 $A$와 $d$는 각각 커패시터의 면적과 간격이다.

• 표면의 곡률[반지름의 역수]이 클수록 전하 밀도와 표면 전기장이 커짐

                                 (12)

[증명]

먼저 [그림 3]과 같은 반지름 $r$을 가진 금속 구의 전압을 구한다.

[그림 3] 금속 구(출처: wikipedia.org)

식 (10)에 있는 쿨롱 법칙의 적분형을 이용하면 하전된 금속 구의 전기장은 쉽게 계산된다.[∵ 금속 구는 대칭적이므로 모든 표면에서 전기장이 같다.]

                                 (13)

금속 구의 표면에 전하가 고르게 분포된 식 (13)의 전기장 결과는 신기하게도 원점에 있는 점전하에 대한 쿨롱 법칙의 결과와 동일하다. 식 (13)을 선 적분하면 전압에 대한 결과를 얻을 수 있다.

                                 (14)

이제 [그림 3]에 있는 금속 구 두 개[반지름 $r_a, r_b$]를 서로 도선으로 연결하여 전압을 같게 만든다. 그러면, 아래 식 (15)가 성립해야 한다.

                                 (15)

식 (15)를 정리하면 식 (12)가 얻어진다. 표면 전하 밀도가 얻어지면 식 (9)에 의해 전기장의 크기도 연관된다.

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뾰족한 구조물에서 전기장이 커지는 현상은 정성적으로 쉽게 설명 가능하다. 뾰족 구조는 해당 구조물의 끝 부분이므로 전하가 들어가면 더 이상 빠져나갈 구멍이 없다. 그래서 다른 무딘 구조보다 뾰족 구조에 더 많은 전하를 밀어넣을 수 있다. 그러면 끝 부분에서는 단위 면적당 전하가 늘어나므로 식 (9)에 의해 전기장은 비례적으로 커진다. 또한 식 (12)에 있는 공식이 피뢰침(避雷針, lightning rod)의 원리가 된다. 침을 뾰족하게 만들면 전기장이 매우 세져서 번개가 칠 경우 번개는 피뢰침으로 모이게 된다.

• 정전 차폐(靜電遮蔽, electrostatic shielding): 닫힌 금속통 내부의 전기장은 항상 $0$

[정전 차폐(electrostatic shielding)]

[증명]

쉽게 증명하려면 식 (8)의 우변을 고려하면 된다. 즉, 식 (8)에 따르면 전기장을 선 적분한 경우 시작점과 끝점이 같으면 적분 경로를 어떻게 정하더라도 그 값은 같다. 만약 금속통 내부에 전기장이 존재하면 그 전기장의 방향을 따라 선 적분한 값과 금속 속을 따라 선 적분한 값은 같아야 한다. 그런데, 식 (5)에 의해 금속 속에서는 전기장이 $0$이므로 금속통 내부의 전기장도 $0$이 되어야 한다. 좀더 고상하게 증명하려면 푸아송 방정식의 유일성 증명을 흉내내면 된다. 정전 차폐 증명을 위해 먼저 제1 그린 항등식을 고려한다.

                         (16)

식 (16)에서 $f$ = $V-V_0$, $g$ = $V^*$[켤레 복소수]라고 두고 금속통 내부에는 전하가 없다고 가정[$\rho$ = $0$]하면 식 (17)을 얻을 수 있다.

                         (17)

여기서 $s$는 금속통이 표현하는 닫힌 표면, $v$는 닫힌 표면 $s$ 내부에 있는 체적, $V_0$는 금속 표면의 전압, 식 (7)에 의해 금속 표면의 전압은 $V_0$로 일정하므로 식 (17)의 좌변은 $0$이며,

                         (18: 라플라스 방정식)

[그림 4] 정전 차폐의 과정(출처: wikipedia.org)

식 (17)이 성립하기 때문에 [그림 4]와 같이 금속의 내부 경계면[금속 내부 표면]에서는 $\bar \nabla(V-V_0)$ = $\bar \nabla V$ = $0$이 성립한다. 즉, 식 (9)에 의해 금속 내부 표면에는 표면 전하 밀도가 없어야 한다. 단지, 금속 외부 표면에만 표면 전하 밀도가 존재할 수 있다. 필수는 아니지만 많은 경우 정전 차폐를 할 경우 접지(接地, ground or earth)를 한다. 접지를 하려면 반지름이 매우 큰 금속 구를 사용하면 된다. 주변에 볼 수 있는 거대한 금속 구는 무엇일까? 당연히 지구이다. 그래서, 이름도 접지이다. 식 (12)를 고려하면 접지면의 표면 전하 밀도와 전기장은 $0$이 된다.[∵ 지구의 반지름이 매우 크기 때문이다.] 또한, 식 (15)에 의하면 동일 전압일 경우 반지름이 클수록 금속 구에 저장되는 전하가 크다. 그래서 정전 차폐를 할 때 접지까지 하게 되면 외부에 강력한 전기장[예를 들면 벼락]이 걸리더라도 접지를 한 지구에서 외부 전기장에 의한 전하를 감당할 수 있으므로 금속통 내부는 강력한 외부 전기장의 영향을 받지 않는다.

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• 금속의 유전율(permittivity): 진공 중의 유전율 $\epsilon_0$

유전율이 진공보다 커지기 위해서는 물질내에 분극(分極, polarization)이 발생해야 하지만 금속 내부에는 분극이 생기지 않는다.[∵ 분극은 외부 힘때문에 (+)와 (-)가 서로 분리되는 현상인데 금속은 외부 전기장이 가해지면 분극이 일어나지 않고 전도 전류(conduction current)가 되어 흘러버린다.] 그래서, 금속의 유전율은 진공중의 유전율인 $\epsilon_0$로 정의한다. 주파수가 매우 높은 영역[예를 들면 적외선이나 광파 대역]에서는 완전한 금속이 존재하지 않기 때문에[∵ 전도 전류(conduction current)보다 변위 전류(displacement current)가 커지므로] 이 경우는 복소 유전율(complex permittivity)을 정의해야 한다. 즉, 매우 높은 주파수 대역에서는 금속의 유전율을 $\epsilon_0$으로 정할 수 없다.

[그림 5] 금속 표면에 작용하는 다양한 전기장

• 정전 응력(electrostatic stress) $T_E$: 항상 외부로 작용

                                 (19)

여기서 $\Delta F$는 미소 금속면 $\Delta S$에 작용하는 힘이다.

[증명]

식 (5)와 (9)에 따라 금속 내부에서 전기장은 항상 0이고, 금속 표면의 전기장은 $\rho_s / \epsilon_0$이 된다. 하지만 이는 최종 결과이고 세부적으로는 다른 표면에 있는 전하가 미소 표면적(infinitesimal surface) $\Delta S$에 전기장을 가해주고 있다. [그림 5]에 바탕을 두고 $\Delta S$에 있는 전하 $\Delta Q$가 만드는 전기장 $E_s$와 $\Delta S$를 제외한 나머지 주변 표면(perimeter surface)이 만드는 전기장 $E_p$를 연립해서 $E_s$와 $E_p$를 결정한다.

                         (20)

응력(stress) $T$는 단위 면적당 물체에 변형을 일으키는 힘[단위: N/㎡]이므로, 전하가 만드는 정전 응력 $T_E$를 다음과 같이 유도한다.

                         (21)

[그림 5]에 따라 $\Delta S$를 제외한 면적에서 만든 전기장 $E_p$는 $\Delta S$에 있는 전하 $\Delta Q$에 전기력을 만들고, [그림 5]에 나온 벡터 방향에 의해 전기력은 항상 금속 외부로 작용한다.

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특이하게도 정전 응력은 금속 표면에 생기는 전기장의 제곱에 비례하며, 그 형태는 전기장의 에너지 밀도와 동일하다.

[다음 읽을거리]

1. 커패시터