조금은 느리게 살자: 스미쓰 도표(Smith Chart)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "스미쓰 도표"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

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[그림 1] 스미쓰 도표(출처: wikipedia.org)

[그림 1]에 보인 스미쓰 도표(Smith chart)는 반사도(reflection coefficient) $\Gamma$와 부하 임피던스(load impedance) $Z_L$의 관계를 직관적인 그림이나 기하학 관계로 보여주는 RF(radio frequency)의 중요한 도구이다[1]. 컴퓨터가 희귀하던 시절인 1939년스미쓰 34세, 일제 식민지 시절에 복소 반사도(complex reflection coefficient) 계산을 효율적으로 수행하기 위해 벨 연구소(Bell Laboratories)에 근무하던 스미쓰Phillip Smith(1905–1987)가 다양한 시행착오를 거쳐서 스미쓰 도표를 제안하였다. 반사도와 부하 임피던스를 한 눈에 볼 수 있게 하는 스미쓰 도표는 현재에도 RF 설계와 측정에 두루 쓰이고 있다.

[그림 2] 극형식으로 표현한 스미쓰 도표의 반사도(출처: wikipedia.org)

기본적으로 스미쓰 도표는 [그림 2]처럼 반사도를 극형식(polar form)으로 복소 평면(complex plane)에 표시한 그림이다. 극형식 특성에 따라 원점에서 멀어질수록 반지름 $\rho$ = $|\Gamma|$이 커져서 반사도는 증가한다. 수동 회로인 경우 반사도 절대값은 최대 1이므로, [그림 2]에 보이는 가장 큰 원에서 전반사인 $|\Gamma|$ = $1$이 나온다. 모든 임피던스 $Z_L$을 수식화하기 위해, 정규화 임피던스(normalized impedance) $z$ = $Z_L/Z_0$ = $r +jx$를 도입한다. 여기서 $Z_0$은 특성 임피던스(characteristic impedance)이다.

(1)

여기서 $Z_L$ = $R_L + j X_L$; $\Gamma_r, \Gamma_i$는 각각 반사도의 실수부와 허수부이다.

[그림 3] 뫼비우스 변환에 의한 반사도와 부하 임피던스의 변화(출처: wikipedia.org)

식 (1)은 전형적인 등각 사상(等角寫像, conformal mapping)인 뫼비우스 변환(Möbius transformation) 혹은 쌍일차 변환(雙一次變換, bilinear transform)의 형태이므로, [그림 3]과 같이 반평면에 배치되는 부하 임피던스 $Z_L$을, 반사도 $\Gamma$를 표현하는 원의 내부 혹은 외부로 바꾼다. 이때 $r \ge 0$으로 제한해서[$r < 0$이면 증폭기의 발진을 일으키는 부성 저항(negative resistance)] [그림 2]처럼 부하 임피던스 평면은 항상 반지름이 1인 반사도 원의 내부로 사상되게 한다.

스미쓰 도표를 그리기 위해 정규화 임피던스 $z$의 함수인 식 (1)을 반사도 $\Gamma$를 기준으로 재정리한다.

(2)

식 (2)에 나온 정규화 저항(normalized resistance) $r$을 동일하게 만드는 반사도의 궤적을 이어서 동일 저항원(constant resistance circle)의 방정식을 유도한다.

(3a)

마찬가지 방법으로 정규화 리액턴스(normalized reactance) $x$에 대한 동일 리액턴스원(constant reactance circle)의 방정식도 구한다.

(3b)

식 (3)을 활용해서 동일 저항원[파란색]과 동일 리액턴스원[초록색]을 그린 결과는 [그림 2]에 있다. 만약 동일 저항원에서 $r$ = $0$이면, $|\Gamma|$ = $1$이 되어서 부하에 의한 전반사(total reflection)가 일어난다. 저항이 커져서 $r$ = $1$인 경우는 부하 임피던스의 실수부가 $R_L$ = $Z_0$이므로, 임피던스 정합(impedance matching)이 될 수 있는 필요 조건이 된다. 이번에는 동일 리액턴스원을 참고한다. 만일 $x$ = $0$인 때에는 부하에 리액턴스가 없는 $X_L$ = $0$이다. 그러면 $r$ = $1$인 동일 저항원과 $x$ = $0$인 동일 리액턴스원이 만나는 교점은 반사도가 0이 나오는 스미쓰 도표의 원점 $(0, 0)$이다. 따라서 $r$ = $1$과 $x$ = $0$은 임피던스 정합을 위한 필요 충분 조건이다.

여기까지만 보면 스미쓰 도표는 전문적인 기술이라서 관련 특허가 이미 만료되었다고 오해할 수 있다. 하지만 스미쓰 도표는 뫼비우스 변환으로 만든 복소 함수의 표현법(representation method of complex function)을 초월하는 하나의 예술 작품이라 저작권으로 보호된다. 스미쓰는 1987년전두환 정부 시절에 작고했기 때문에 스미쓰 도표의 저작권은 스미쓰 가족에게 2057년까지 유지된다. 하지만 우리는 스미쓰 도표를 저작권 걱정 없이 마음껏 쓸 수 있다. 어떻게 된 일일까? 이에 대한 비밀은 전기전자공학자협회(Institute of Electrical and Electronics Engineers, IEEE, 아이트리플이) 초고주파이론및기술 학회(Microwave Theory and Technology Society, MTT-S)에 있다[1]. IEEE MTT-S는 널리 쓰이는 스미쓰 도표의 저작권 문제를 해결하기 위해 2015년스미쓰 사후 28년, 박근혜 정부 시절에 스미쓰 가족으로부터 스미쓰 도표에 관련된 저작권을 구입했다. 물론 너그러운 아니타 스미쓰Anita Smith 부인이 알박기하지 않고 IEEE에 저작권을 기꺼이 판매했기 때문이다[1]. 그래서 스미쓰 가족이 제기하는 저작권 소송을 걱정할 필요없이 학술적으로 스미쓰 도표를 편하게 사용할 수 있다.

스미쓰 도표를 활용해서 반사도와 부하 임피던스의 복소 함수적 관계를 직관적으로 보는 방식을 소개한다.

[그림 4] 부하(load)에서 전원(source)으로 이동할 때의 반사도 변화(출처: wikipedia.org)

부하에서 전원으로 이동할 때의 입력 임피던스(input impedance)

입사파와 반사파의 위상 변화로 인해 [그림 4]처럼 부하에서 전원 방향으로 움직일 때 나타나는 입력 반사도 $\Gamma_\text{in}$의 위상 특성은 시계 방향으로 회전한다.

(4)

여기서 $\beta$는 전압파(voltage wave)의 위상 상수(phase constant)이다. 그러면 입력 반사도 $\Gamma_\text{in}$ 지점의 부하 임피던스를 스미쓰 도표로부터 읽음으로써 우리가 얻기 원하는 $z$ = $-l$ 위치의 입력 임피던스(input impedance) $Z_\text{in}$을 쉽게 알 수 있다. 또한 식 (4)로부터 반사도가 한 바퀴 도는 선로 길이는 $l$ = $\lambda_g/2$이다. 여기서 $\lambda_g$는 관내 파장(guided wavelength)이다.

[표 1] 부하 조건에 대한 입력 임피던스

커패시터(capacitor)와 인덕터(inductor)

식 (3b)에 나온 동일 리액턴스원을 고려하면 반사도의 상반평면(upper half-plane)은 인덕터를 가진 부하 임피턴스, 반사도의 하반평면(lower half-plane)은 커패시터가 있는 부하 임피던스를 뜻한다. 이에 따라 입력 반사도 $\Gamma_\text{in}$에 의해 길이가 변하는 전송선로는 [표 1]과 같이 전기 용량(capacitance)과 유도 용량(inductance)을 자유롭게 가질 수 있다. 예를 들어, 부하가 단락(short)이면 [그림 2]처럼 스미쓰 도표에 $\Gamma$ = $(-1, 0)$으로 찍힌다. 이때 전송선로 길이를 조금 추가해서 입력 임피턴스가 유도 용량을 가지게 할 수 있다. 이를 수식으로 표현한 결과가 [표 1]이다. 비슷하게 부하가 개방(open)일 때는 반사도는 $\Gamma$ = $(1, 0)$이 되므로, 전송선로의 길이를 늘려서 전기 용량을 만들 수 있다.

[그림 5] 반사도를 원점 대칭한 경우의 임피던스와 어드미턴스: $\Gamma \to -\Gamma$(출처: wikipedia.org)

임피던스(impedance)와 어드미턴스(admittance)

식 (2)에 나온 정규화 임피던스를 역수 취해서 나온 정규화 어드미턴스(normalized admittance) $y$에 대한 반사도를 관찰한다.

(5)

여기서 $\Gamma$는 $z$가 만드는 반사도이다. 그러면 [그림 5]의 관계처럼 반사도 $\Gamma$를 원점 대칭한 $-\Gamma$의 $r, x$를 읽으면, 정규화 어드미턴스의 $g, b$가 된다. 예시로서 [그림 5]에 나온 P1을 고려한다. 이 점에서 정규화 임피던스는 $z$ = $0.80+1.4j$이다. 이 값의 역수를 복소수로 계산하면 $y$ = $1/z$ = $0.31 - 0.54j$이다. 하지만 스미쓰 도표를 써서 $\Gamma$의 원점 대칭인 $-\Gamma$를 그린 점 Q1의 $r, x$를 읽음으로써 $y$ = $0.30-0.54j$를 더욱 빠르게 얻을 수도 있다. 또한 전송선로의 길이 관점에서 원점 대칭은 1/4파장(quarter-wave)인 $l$ = $\lambda_g/4$에 해당한다. 즉, 전원 방향으로 1/4파장만큼 움직인 전송선로의 입력 임피던스 $Z_\text{in}$는 부하 임피던스 $Z_L$의 역수로 계산된다.