프란츠 공식(Franz Formula)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "프란츠 공식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 대칭적인 맥스웰 방정식
2. 미분 방정식의 만병통치약: 그린 함수
3. 표면 등가의 원리

[확인] 본 페이지는 exp(-iωt) 시간 약속을 사용하고 있습니다.

그린 함수(Green's function)와 전자기 경계 조건(electromagnetic boundary condition)을 절묘하게 결합한 프란츠 공식(Franz formula)은 스트래튼–추 공식(Stratton–Chu Formula)을 유도하기 위한 지름길을 제시한다. 프란츠Walter Franz(1911–1992)는 유명한 물리학자 좀머펠트Arnold Sommerfeld(1868–1951)의 지도를 받아 23살에 박사 학위를 받았다. 프란츠 공식을 얻기 위해, 전기장(electric field)과 자기장(magnetic field)을 벡터 포텐셜(vector potential) 관점으로 결합해서 다음 결과를 얻는다.

                          (1)

                          (2)

벡터 포텐셜을 만드는 원천이 없는 경우 식 (1)과 (2)는 식 (3)의 라플라시안(Laplacian)을 이용해서 다음처럼 표현할 수도 있다.

                         (3)

                          (4)

                          (5)

식 (4)와 (5)에 있는 벡터 포텐셜을 그린 함수(Green's function)로 표현하면 다음과 같다.

                          (6)

여기서 $\bar J$는 전류 밀도(electric current density), $\bar M$은 자류 밀도(magnetic current density), $G_A$와 $G_F$는 벡터 포텐셜에 대한 그린 함수이다. 식 (6)에 있는 전류 밀도와 자류 밀도를 표현하기 위해 표면 등가의 원리(surface equivalence principle)를 사용한다.

[그림 1] 산란체와 가상 표면

[그림 1]과 같은 산란 전자장이 있는 경우 임의의 표면[그림 1의 파란색 원]에 표면 전류 밀도와 표면 자류 밀도가 있다고 [그림 2]처럼 가정할 수 있다.

[그림 2] 영(零)의 전자기장 가정

이때 표면 전류 밀도 $\bar J_s$와 표면 자류 밀도 $\bar M_s$는 아래 식처럼 유도된다.

                        (7)

식 (7)을 식 (6)에 대입하고 식 (6)을 다시 식 (4)와 (5)에 대입하면 최종적인 프란츠 공식(Franz formula)을 얻는다[1], [2]. 참 쉽죠?

                        (8)

                        (9)

여기서 $\bar E ( \bar r)$와 $\bar H ( \bar r)$는 $s'$ 내부 전자장을 $0$으로 만드는 등가적인 전류와 자류 밀도가 만드는 전기장과 자기장이다. 또한 $\bar E ( \bar r)$와 $\bar H ( \bar r)$를 만든 원천은 $s'$ 내부에 있다. 우리가 생각하는 영역이 [그림 2]의 영역 (II)와 같은 자유 공간이면 3차원 자유 공간 그린 함수(3D free-space Green's function)를 쓰면 된다. 물론 영역 (I)은 전자기장이 $0$이라는 조건을 부여해야 한다.

[그림 3] 그림을 그립시다(The Joy of Painting)의 밥 로스(Bob Ross)(출처: wikipedia.org)

이상의 설명을 보고 참 쉽죠?를 연발한 전설적인 화가 밥 로스를 떠올려본다. 무엇이든지 누군가에게는 참 쉽고 누군가에게는 너무 어렵다. 우리는 어느 쪽에 설 것인가? 우리가 쉬는 시간에 쓰는 노력이 우리의 다음 위치를 결정한다.

[참고문헌]
[1] W. Franz, "Zur formulierung des Huygensschen prinzips (For the formulation of Huygens' principle)," Zeitschrift Naturforschung Teil A (Journal of Natural Research Part A), vol. 3, pp. 500–506, 1948.
[2] C.-T. Tai, "Kirchhoff theory: scalar, vector, or dyadic?," IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. 20, no. 1, pp. 114–115, Jan. 1972.

[다음 읽을거리]
1. 스트래튼-추 공식