구 좌표계(球座標系, Spherical Coordinate System)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "구 좌표계"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 구의 방정식

2. 텐서 미적분학

3. 직교 좌표계 텐서 미적분학

[그림 1] 구 좌표계의 표현(출처: wikipedia.org)

[그림 1, 2]의 구 좌표계 혹은 구면 좌표계(球座標系, spherical coordinate system)는 직교 좌표계(orthogonal coordinate system) 중에서도 상당히 난해한 좌표계에 속한다.

[그림 2] 구 좌표계값의 변화 모습(출처: wikipedia.org)

[그림 1]의 좌표계 구성으로 인해 데카르트 좌표계 $X$에서 구 좌표계 $U$로 가는 좌표 변환(coordinate transform)은 아래와 같다.

                  (1)

식 (1)은 [그림 3]과 삼각 함수(trigonometric function)를 이용해 쉽게 유도할 수 있다.

[그림 3] 데카르트 좌표계와 구 좌표계의 상호 변환(출처: wikipedia.org)

식 (2)의 계량 텐서(metric tensor)와 관련된 척도 인자(尺度因子, scale factor) $h_i$는 식 (3)처럼 계산된다.

                         (2)

                         (3)

식 (1)을 식 (3)에 대입해 계산하면 구 좌표계의 척도 인자를 얻을 수 있다.

                         (4)

식 (4)를 직교 좌표계에 대한 벡터 연산자 공식에 대입한다.

                       (5)

        (6)

                       (7)

                       (8)

그러면, 구 좌표계에 대한 벡터 연산자를 모두 정의할 수 있다.

                       (9)

                       (10)

            (11)

                       (12a)

                       (12b)

다음으로 구 좌표계를 구성하는 단위 벡터(unit vector)를 데카르트 좌표계 관점으로 계산한다.

                       (13)

식 (13)의 첫째식을 이용하면 위치 벡터(position vector)는 $\bar P$ = $r \hat r$ = $(x, y, z)$로 간단하게 표현된다. 또한 식 (13)처럼 단위 벡터 $\rho, \theta, \phi$는 극고도각(極高度角, polar angle: $\theta$는 꼭대기부터 시작해 내려오기 때문에 일반 고도각과는 정의가 약간 다름) $\theta$와 방위각(方位角, azimuth) $\phi$에 따라 변한다. 따라서 단위 벡터 $\rho, \theta, \phi$를 미분할 때는 극고도각과 방위각의 변화율을 반드시 고려해야 한다.

                       (14)

여기서 단위 벡터는 $r$이 아닌 $\theta, \phi$만의 함수[$\partial \hat r / \partial r$ = $\partial \hat \theta / \partial r$ = $\partial \hat \phi / \partial r$ = $0$], $t$는 임의의 매개변수이다. 식 (14)의 증명에는 아래에 있는 원통 좌표계 단위 벡터를 사용한다.

                       (15)

여기서 $\hat \rho$ = $\sin \theta \hat r + \cos \theta \hat \theta$, $\hat z$ = $\cos \theta \hat r - \sin \theta \hat \theta$이다. 식 (13)을 이용하면 데카르트 좌표계를 구 좌표계로 바꾸어주는 공식을 행렬(matrix) 형태로 만들 수 있다.

        (16)

식 (16)에서 행렬 ${\bf T}_{sr}$과 ${\bf T}_{rs}$가 서로 전치 행렬(transpose) 관계임은 상당히 재미있다.

[그림 4] 데카르트 좌표계의 방향 코사인 각도 $\alpha, \beta, \gamma$(출처: wikipedia.org)

구 좌표계의 반지름 단위 벡터 $\hat r$을 나타내는 관계식 (13)은 방향 코사인(direction cosine)로 좀더 쉽게 공식화할 수 있다.

                       (17)

여기서 $\gamma$ = $\theta$, $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$는 각각 $x, y, z$축에 대한 방향 코사인이다.

매우 간단하고 거칠게 보면, 텐서(tensor)는 그냥 편리한 표기법이라서 식 (9)–(12)를 구 좌표계에 대한 완전 미분(exact differential)을 적용해서도 증명할 수 있다. 먼저 데카르트 좌표계의 편미분과 단위 벡터를 구 좌표계로 공식화한다.

                       (18)

                       (19)

                       (20)

여기서 $\rho$ = $r \sin \theta$이다. 다음 단계로 식 (16)을 써서 데카르트 좌표계의 단위 벡터를 구 좌표계의 단위 벡터로 나타낸다.

                       (21)

식 (18)–(21)을 데카르트 좌표계에서 정의한 식 (22)의 구배 연산자에 대입해서 기준 좌표계를 식 (9)처럼 구 좌표계로 완전히 바꾼다.

                         (22)

유도의 시작은 스칼라 함수 $f$의 편미분 구하기이다.

                         (23a)

                         (23b)

그 다음에 식 (23)에 식 (21)을 각각 곱하고 구 좌표계의 단위 벡터 $\hat r, \hat \theta, \hat \phi$에 대해 정리해서 명료하게 식 (9)를 얻는다. 예를 들어, 최종 결과로 획득한 $\hat r$의 성분은 식 (9)의 첫째항과 동일하다.

                         (24)

구 좌표계의 발산 연산자를 도출할 때는 신경을 더 써야 한다. 언제나 출발점은 데카르트 좌표계이고 완전 미분을 통해 구 좌표계로 변환한다. 우리가 계속해서 사용하고 있는 완전 미분은 텐서 이론에서도 약방의 감초처럼 엄청 많이 사용된다. 우선 처음 단계에서는 식 (16)을 사용해서 벡터 함수 $\bar F$ = $(F_x, F_y, F_z)$의 각 성분을 구 좌표계의 성분으로 표현한다.

                         (25)

그 다음에 식 (23)과 비슷하게 각 성분의 편미분을 일일이 공식화한다.

                         (26a)

                         (26b)

                         (26c)

마지막으로 식 (27)에 따라 식 (26)을 모두 더해서 구 좌표계의 발산 연산자인 식 (10)을 새롭게 정의한다.

                        (27)

예를 들면, $\partial / \partial \theta$를 가진 항을 모두 모은 결과는 다음과 같다.

             (28a)

             (28b)

                        (28)

다른 편미분인 $\partial / \partial r$과 $\partial / \partial \phi$도 유사하게 계산해서 각 항들을 깔끔하게 정리한다.

                        (29)

                        (30)

최종적으로 식 (28)–(30)을 모두 합해서 식 (10)을 만들어낸다.

                        (31)

지금까지 보여준 과정은 단순한 편미분을 반복적으로 적용해서도 식 (10)이 나온다는 관점을 소개한다. 다만 자기 확신을 위한 연습은 한 번으로 족하다. 이후에는 텐서 이론을 이용해서 우리 개념을 수학적으로 확장해본다.

[다음 읽을거리]

1. 구면 조화 미분 방정식