로렌츠 상반 정리(相反定理, Lorentz Reciprocity Theorem)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "로렌츠 상반 정리"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 대칭적인 맥스웰 방정식
2. 포인팅의 정리
3. 균일 평면파
4. 평면파를 이용한 푸리에 변환 기법

[확인] 본 페이지는 exp(-iωt) 시간 약속을 사용하고 있습니다.

실험을 기반으로 출발한 전자기 이론은 그 역사가 다소 길기 때문에, 전자기 이론에는 방대한 내용이 있다. 현재까지 살아남은 이론 중에서 주옥같은 정리 두 개를 꼽자면 포인팅 정리(Poynting's theorem)와 로렌츠 상반 정리(Lorentz reciprocity theorem)이다. 포인팅 정리가 아름다운 이유는 명확하다. 전자기파의 전파 특성을 전기장(electric field)과 자기장(magnetic field)의 외적(outer product or cross product)인 포인팅 벡터(Poynting vector: $\bar S$ = $\bar E \times \bar H$) 관점으로 정확히 설명하기 때문이다. 또한, 전자기파가 전력을 방출하거나 흡수하려면 전류(electric current)나 자류(magnetic current)가 흘러야 함을 명시적으로 표현해 준다.

[그림 1] 고려청자(출처: wikipedia.org)

[그림 2] 분청사기(출처: 삼성미술관 Leeum)

로렌츠 상반 정리의 중요성은 포인팅 정리처럼 명확히 느껴지지는 않는다. 왜냐하면 로렌츠 상반 정리의 아름다움은 고민하지 않은 사람에게는 보여지지 않기 때문이다. 아래에 설명하지만, 로렌츠 상반 정리는 특성이 상호 관계 없는 별개의 전자기장에 대한 수학적인 관계를 나타낸다. 그 유도 과정도 포인팅 정리와 크게 다르지는 않다. 포인팅 정리를 알고 있는 사람에게는 로렌츠 상반 정리도 그저 그런 정리 중의 하나일 뿐이다. 하지만, 로렌츠 상반 정리는 고민할수록 그 아름다움에 매료될 수밖에 없다. 마치 포인팅 정리가 전자기 이론의 고려청자(高麗靑磁, Korea celadon)라면 로렌츠 상반 정리는 개념적으로 분청사기(粉靑沙器, grayish-blue powered celadon)와 비슷하다[1]. [그림 1]의 고려청자는 도자기를 모르는 사람이 보더라도 명품 중의 명품임을 알 수 있다. 고려청자의 아름다움에 해당하는 식 (1)의 포인팅 정리를 본다. 수학을 모르는 사람이 보더라도 구조상의 아름다움을 느낄 수 있다.

                         (1)

[그림 2]의 분청사기는 다소 투박하고 우리 같은 사람도 만들 수 있을 정도로 단순해 보인다. 이 느낌 그대로 식 (2)에 제시한 로렌츠 상반 정리(Lorentz reciprocity theorem)도 같이 관찰한다.

                         (2)

왠지 식 (2)는 식 (1)을 베낀 것처럼 비슷하다. 마치 모조품처럼 비슷하다. 그러면서도 더 복잡하게 느껴지니 중요하게 느껴지지도 않는다. 그런데 전문가 눈에는 분청사기의 아름다움이 보이는 모양이다[1]. 분청사기가 투박해 보이는 이유는 이를 만든 사람이 기술이 없어서가 아니라 현대적인 아름다움을 추구했기 때문일 것이다. 내가 봐도 [그림 2]는 마치 현대미술 한 폭을 보는 느낌이다. 정교함이 아니라 여유로움. 로렌츠 상반 정리는 로렌츠Hendrik Lorentz(1853–1928)가 1896년로렌츠 43세, 조선 고종 시절에 증명했다. 로렌츠 상반 정리의 다른 이름은 가역 정리(可逆定理) 혹은 상호 작용 정리(相互作用定理)이다. 증명 과정은 포인팅의 정리와 매우 유사하다. 먼저 벡터 항등식을 고려한다.

                         (3)

다음으로 원천 $a$가 만드는 전자장을 $\bar E_a, \bar H_a$, 원천 $b$가 만드는 전자장을 $\bar E_b, \bar H_b$라 한다. 포인팅의 정리와 유사하게 아래 관계식을 만든다.

        (4)

        (5)

식 (4)에서 식 (5)를 빼주고 체적 적분한 후 발산 정리(divergence theorem)를 적용하면 식 (2)를 얻을 수 있다.

로렌츠 상반 정리의 의미를 알기 위해 식 (2)의 특별한 경우를 생각한다. 먼저 $\bar J$ = $\bar M$ = $0$인 경우를 살펴본다.

                         (6)

별개의 특성을 가진 원천 $a, b$가 만드는 전자장은 내부 체적 $v$ 내부에 원천이 없는 경우[$\bar J$ = $\bar M$ = $0$]에 식 (6)의 관계를 만족한다. 전자장이 전혀 별개인데도 상호간에 만족해야 할 관계가 있다는 매우 중요하면서도 재미있는 결론을 유도할 수 있다. 이 과정은 매우 간단한 관계식 하나로 할 수 있다. 이 다음으로 재미있는 경우는 면적 적분의 반지름이 무한히 커질 때이다. 원역장(遠域場, far-field)에서 전자장을 관찰하면 균일 평면파(平面波, uniform plane wave)와 동일한 성질을 아래처럼 가진다.[∵ 벡터 포텐셜의 진행 방향 기여가 없으므로]

                         (7)

여기서 $\bar k$는 파수 벡터(wavenumber vector: 전자파가 진행하는 위상을 표현하는 벡터)이다. 원역장에 있는 임의의 전자장에 대해 식 (7)의 관계를 엄밀하게 증명하려면 보통 푸리에 변환 기법(Fourier transform technique)을 사용한다. 대충 생각하면 이런 상상을 할 수 있다. 임의의 원천에서 나온 전자장은 구면파(球面波, spherical wave)의 합이라 생각할 수 있다. 구면파를 아주 멀리서 보면 평면파처럼 보인다. 태양빛이 지구에 오면 평면파처럼 근사해도 되는 이유와 같다. 식 (7)을 식 (2)의 좌변에 대입해서 계산하면 다음을 얻는다.

                         (8)

여기서 식 (8)이 0이므로 서로 다른 원천 $a, b$가 만드는 전자장은 $\bar E_a \times \bar H_b$ = $\bar E_b \times \bar H_a$가 성립한다. 또한 식 (8)을 계산할 때는 다음 벡터 항등식을 이용한다.

                              (9)

식 (2)의 좌변이 0이므로 원역장을 고려한 경우에 대해 식 (2)를 다시 쓰면, 원천에 대한 일반적인 관계식을 얻을 수 있다[2].

                (10)

임의의 두 원천 $a, b$에 대해 식 (10)은 항상 성립한다. 즉, 서로 관계가 없더라도 각각의 원천이 만드는 전자기장은 식 (10)과 같이 서로 연결되어 있다.

식 (2)는 다소 복잡한 적분식이므로 아래와 같이 재미난 표기법을 도입해 간결한 표현식으로 바꿀 수 있다[2], [6].

                         (11)

여기서

                         (12: 장 $a,b$)

                         (13: 원천 $a$와 장 $b$)

식 (12)와 (13)은 각각 상호 작용(reciprocity)과 반응(reaction or coupling)이란 이름을 가지고 있다[2]–[7]. 식 (13)을 이용해 원역장의 결과인 식 (10)을 다시 간결히 표현하면 다음과 같다.

                         (14)

따라서 원천 $a, b$를 모두 포함한 체적 $v$에서는 교환 법칙이 성립해 원천을 서로 바꾸더라도 반응은 항상 같다.

[그림 3] 혼 안테나(출처: wikipedia.org)

반응 개념(reaction concept)을 이해하기 위해 송신기(transmitter)와 수신기(receiver)로 구성된 통신 시스템(communication system)을 살펴본다. 송신기가 전자파 신호를 방출하면 [그림 3]과 같은 혼 안테나(horn antenna)로 이 신호를 수신할 수 있다. 이런 종류의 통신 시스템은 통신 그 자체이므로 통신 이론(communication theory)에서도 매우 중요하다. 하지만 이를 엄밀한 전자파 이론으로 풀어내기는 매우 어렵다.

[그림 4] 송신 및 수신 안테나의 상호 작용 

안테나를 사용하는 통신 시스템에 유용하게 쓰일 수 있는 이론이 바로 로렌츠 상반 정리이다. 예를 들어, [그림 4]와 같은 송신 및 수신 안테나의 상호 작용을 고려한다. 송신 안테나는 오른쪽, 수신 안테나는 왼쪽에 있다고 생각한다. 또한 송신 안테나(transmitting antenna)의 원천은 $b$라고 가정한다. 원천 $b$에서 나온 전자파는 왼쪽에 위치한 수신 안테나(receiving antenna)에 전압과 전류를 유기한다. 다만 수신 안테나는 전자파를 받기만 하기 때문에 원천은 없다. 로렌츠 상반 정리를 쓰려면, 원래 관계를 뒤집어서 왼쪽이 송신, 오른쪽이 수신되는 경우도 있어야 한다. 그래서 수신 안테나를 송신으로 쓸 때의 원천을 $a$라 한다. 다시 강조하지만, 원천 $a$는 원천 $b$가 만들지 않고 $b$와 전혀 관계 없이 독립적으로 변한다. 그러면 식 (10)에 의해 원천 $a, b$는 식 (14)와 같이 서로 반응하게 된다. 참고문헌 [2]는 이러한 반응이 단순한 개념이나 공식을 넘어선 물리적 실체이며 안테나 측정에 매우 유용하게 사용될 수 있음을 강조한다. 반응 개념은 전자기적 이론 전개에 매우 중요하다. 물리 논평(Physical Review)은 그저 그런 논문지가 아니다. 새로운 물리학적 기여가 없으면 논문을 실을 수 없는 최고 수준의 논문지이다. 새로 등장한 반응 개념이 물리적인 실체인 이유를 차분히 추적해본다. 문제를 간단히 하기 위해 원천 $a, b$가 존재하는 체적을 도려내고 정의한 [그림 5]의 면적 적분을 꼼꼼히 본다.

[그림 5] 원천이 있는 체적 부분을 제외하고 정의된 면적 적분(출처: wikipedia.org)

체적 내부에 원천이 없는 상태라서 $\langle\langle a, b \rangle\rangle$ = $0$이 되고, 면적 적분은 $S_\infty, S_a, S_b$ 세 개의 적분 면을 가진다. 여기서 $S_\infty, S_a, S_b$은 각각 원역장, 원천 $a$, 원천 $b$에서의 면적 적분이다. 식 (8)의 증명과 같이 $S_\infty$의 면적 적분은 0이 되므로, 다음 관계가 성립해야 한다.

     (15)

안테나가 [그림 3]과 같은 개구(開口, aperture) 안테나이면 전자파가 나올 수 있는 영역은 구멍 영역뿐이다.[∵ 막힌 영역에서는 전기장이나 자기장이 반드시 0이기 때문이다.]

[그림 6] 경계 영역

식 (15)의 결과는 식 (14)에 대해 표면 등가의 원리(surface equivalence principle)를 써도 동일하게 얻어진다. [그림 6]과 같은 경계 영역에 대해 전자기장의 경계 조건은 다음과 같다.

                         (16)

                         (17)

여기서 $\bar J_s, \bar M_s$는 표면 전류 밀도, 자류 밀도이다. 수신 안테나가 있는 원천 $a$ 근방에서 반응(reaction)을 계산하면 다음을 얻는다.

                         (18)

여기서 단위 벡터 $\hat n$은 수신 안테나를 뚫고 나오는 방향[송신 방향]이며 면적 미분소 $d \bar a$는 수신 안테나를 뚫고 들어가는 방향[수신 방향]이다. 식 (18)은 부호 차이가 있지만 정확히 식 (15)의 좌변과 같다. 식 (18)을 계산하기 위해 수신 안테나의 개구면에 존재하는 접선 전자기장(tangential electromagnetic fields)이 다음 TEM(횡전자기, Transverse ElectroMagnetic: 진행 방향으로 전기장과 자기장 성분이 없음) 도파관(導波管, waveguide) 관계식을 만족한다고 가정한다.

                         (19)

여기서 벡터 $\bar \beta$는 전자기장의 전파 상수(propagation constant)를 나타내는 벡터이며 식 (18)에 있는 면적 미분소 $d \bar a$의 반대 방향[송신 방향]을 가진다. 식 (19)를 식 (18)에 대입해 계산하면 다음을 얻는다.

                         (20)

다음으로 도파관에는 우세 모드(dominant mode)만 있다고 가정하면 $\bar E_b, \bar H_b$의 모양은 $\bar E_a, \bar H_a$의 모양과 동일하며 상수배 만큼만 차이나게 된다. 따라서 반응 $\langle a, b \rangle$는 다음 관계식을 만족한다.

                         (21)

여기서 $Z_0$는 도파관의 특성 임피던스(characteristic impedance)이다. 식 (21) 계산에서 숫자 2가 출현하는 이유는 다음과 같다. 전자기장 $\bar E_a, \bar H_a$의 진행 방향[원천 $a$가 송신 안테나처럼 전자파를 쏘는 방향]과 $\bar E_b, \bar H_b$의 진행 방향[원천 $a$ 지점의 수신 안테나가 전자파를 받는 방향]이 다르기 때문이다. 즉, $\bar E_a, \bar E_b$의 방향이 같다고 가정하면 포인팅의 정리에 의해 $\bar H_a, \bar H_b$는 180˚ 다른 방향이 되어야 한다. 식 (21)에 의해 반응 $\langle a, b \rangle$는 수신 안테나가 측정하는 개방 회로 전압(open-circuit voltage) $V_{\rm oc}$에 정확히 비례하게 된다.[∵ 수신 안테나에 입력을 넣고 송신할 때 생기는 전압이 $V_a$이므로, $V_a$와 $V_{\rm oc}$는 서로 독립이다.] 즉, 원천 $a$ 지점에서의 수신 안테나 측정을 통해 원천 $b$의 특성을 원격으로 알 수 있게 된다. 원천 $a$의 값은 임의이므로 식 (21)을 식 (22)로 표현할 수도 있다.

                         (22)

식 (22)로 반응을 정의하면 다음과 같다. 원천 $b$에서 복사된 전자파가 원천 $a$ 지점에 있는 수신 안테나에 여기시키는 개방 회로 전압이 반응 개념이 된다. 식 (22)의 개념을 이용하면 수신 안테나가 받아들이는 $E_b, H_b$의 특성을 근사적으로 예측할 수 있다. 이를 위해 반응(reaction)의 대수적인 구조를 아래와 같이 살펴본다.

                         (23)

여기서 셋째 항이 0이 아니기 위해서는 동일한 특성을 가진 두 개의 원천 $a$가 서로 상대방에게 전력을 쏜다고 생각하면 된다. 그러면 식 (20)에 의해 $\langle a, a \rangle$는 0이 아닌 ($+$)이거나 ($-$)가 된다. 만약 전기장이나 자기장의 방향을 잘 설정해서 $\langle a, a \rangle$가 항상 ($+$)가 된다면 반응 개념(reaction concept)은 일반화 전력(generalized power)으로 생각할 수 있다. 왜냐하면 $\langle a, a \rangle$인 경우는 통상적인 전력이 되고, $\langle a, b \rangle$일 때는 두 개의 원천이 생성하는 결합 전력(coupled power)이기 때문이다. 식 (23)의 특성을 바탕으로 원천 $b$를 아래와 같이 근사적으로 표현한다.

                         (24)

여기서 $B_n$은 미정 계수(未定係數, unknown coefficient)이며 $b_n$은 잘 알려진 원천의 분포[기저 함수, basis function]이다. 식 (14) 혹은 식 (23)에 의하면 시험 함수(test function) $b_m$에 대해 다음이 성립한다.

                         (25)

여기서 원천 $b$가 있는 송신 안테나의 전류 분포 $\bar J_b, \bar M_b$는 정해져 있고 시험 함수 $b_m$도 알 수 있으므로 $\langle b, b_m \rangle$은 계산 가능하다. 송신측이든 수신측이든 개방 회로 전압을 측정할 수 있다면 역시 $\langle b, b_m \rangle$ = $\langle b_m, b \rangle$을 결정할 수 있다. 다음으로 식 (25)에서 얻은 연립 방정식(聯立方程式, simultaneous equations)을 풀면 $B_n$을 얻을 수 있고 이를 식 (24)에 대입하면 전자장 $\bar E_b, \bar H_b$의 분포를 근사적으로 얻을 수 있다.

식 (23)이 반응의 대수 구조를 보여준다면 식 (26)은 상호 작용(reciprocity)의 구조를 제시한다.

                         (26)

쉽게 생각하면 반응은 덧셈 구조($+$)를 가지고 있고 상호 작용은 뺄셈 구조($-$)를 가지고 있다.

[참고문헌]

[1] 유홍준의 국보순례, "뉴욕의 분청사기전", "프리어 갤러리의 분청사기", 조선일보, 2011년 5월.

[2] V. H. Rumsey, "Reaction concept in electromagnetic theory," Phys. Rev., vol. 94, no. 6, pp. 1483–1491, June 1954.

[3] M. Cohen, "Application of the reaction concept to scattering problems," IRE Trans. Antennas Propagat., vol. 3, no. 4, pp. 193–199, Oct. 1955.

[4] J. Richmond, "A reaction theorem and its application to antenna impedance calculations," IRE Trans. Antennas Propagat., vol. 9, no. 6, pp. 515–520, Nov. 1961.

[5] A. M. Shams-Zadeh-Amiri, S. Safavi-Naeini, S. K. Chaudhuri, and R. Sabry, "Generalized reaction and unrestricted variational formulation of cavity resonators—Part I: basic theory," IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol. 50, no. 11, pp. 2480–2490, Nov. 2002.

[6] Y.-H. Cho, "Planar near-field antenna measurement method based on symplectic relation and reaction concept," International Journal of Contents, vol. 6, no. 2, pp. 6–9, June 2010.

[7] J. Malmström, H. Holter, and B. L. G. Jonsson, "On mutual coupling and coupling paths between antennas using the reaction theorem," IEEE Trans. Electromagn. Compat., vol. 60, no. 6, pp. 2037–2040, Dec. 2018.

[다음 읽을거리]

1. 전기 회로망의 상반 정리