벡터 항등식(Vector Identity)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "벡터 항등식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 좌표계 기반 벡터

2. 구배의 의미

3. 발산의 의미

4. 회전의 의미

[그림 1] 벡터의 시각화(출처: wikipedia.org)

물리학에 자주 등장하는 다양한 벡터 항등식(vector identity)을 자세히 소개한다. 특별한 조건이 없는 경우, 대부분의 벡터 항등식은 좌변과 우변을 모두 전개한 후 서로 비교하여 증명한다.

   1. 미분이 없는 벡터 항등식   

아래 항등식은 데카르트 좌표계 $(x, y, z)$에서 좌변과 우변을 상호 비교하면 쉽게 증명할 수 있다.

                         (1.1)

                         (1.2)

                         (1.3: 벡터 삼중적 혹은 BAC-CAB 규칙)

                      (1.4)

                      (1.5)

여기서 $(\cdot)^*$는 벡터에 대한 켤레 복소수(complex conjugate)를 의미한다. 식 (1.3)은 좌변과 우변의 항들을 비교하여 증명하지 않고 내적(inner product)과 외적(outer product)의 개념을 이용하여 증명할 수 있다. 식 (1.3)의 좌변을 보면, 좌변을 계산한 최종 벡터는 $\bar A$를 성분으로 가질 수 없다. 또한, 이 벡터는 $\bar B \times \bar C$에 수직이어야 하므로, 좌변의 벡터는 $\bar B, \bar C$로 구성되어야 한다.[∵ $\bar B \times \bar C$는 $\bar B, \bar C$가 구성하는 평면의 법선 벡터 방향을 가지기 때문이다.] 그러면 식 (1.3)의 좌변은 다음처럼 표현할 수 있다.

                         (A.1)

식 (A.1)의 양변에 $\bar A$를 내적하여 정리하면 상수 $b, c$는 다음 관계를 가져야 한다.

                         (A.2)

상수 $c$는 나눗셈을 포함할 수 없어서 상수 $b$는 인수 $\bar A \cdot \bar C$를 꼭 가진다. 상수 $b$의 특성을 확인하기 위해, 식 (A.2)의 결과를 식 (A.1)에 넣은 후, 양변에 $\bar B$를 내적하여 서로 비교한다. 그러면 다음 관계식을 유도할 수 있다.

                         (A.3)

여기서 식 (1.2)에 의해 둘째식 위와 아래 결과는 서로 같으므로, $b$와 $b'$에 대해 연립하면 식 (A.3)의 셋째식이 얻어진다. 또한 식 (A.1)의 좌변에 의해 결과식은 벡터 $\bar A, \bar B, \bar C$의 이중 외적이므로, 식 (A.1)의 우변의 성분은 $\bar A, \bar B, \bar C$의 삼중곱으로만 구성되어야 한다. 그러면 $b$ = $k \bar A \cdot \bar C$로 쓸 수 있다. 여기서 $k$는 $\bar A, \bar B, \bar C$의 성분과 관계없다. 스칼라 $k$를 결정하기 위해 $\bar A$ = $\bar C$ = $\hat x$, $\bar B$ = $\hat y$로 두고 계산한다. 그러면 $k$ = $1$이 얻어져서 식 (1.2)가 쉽게 증명된다.

벡터 내적과 외적의 크기 관계인 식 (1.5)의 쉬운 증명은 다음과 같다.

                         (A.4)

여기서 $\theta$는 두 벡터 $\bar A, \bar B$ 사이의 끼인각(included angle)이다. 좌표계 기반 벡터의 개념만 보면, 벡터의 내적과 외적은 큰 관계가 없어보인다. 하지만 벡터의 원류인 사원수(四元數, quaternion)에서는 벡터의 내적과 외적이 사원수의 곱셈으로 연결된다. 이로 인해 벡터의 크기 관계도 식 (1.5)처럼 서로 완벽하게 연결된다. 

   2. 미분 포함 벡터 항등식   

아래 항등식은 데카르트 좌표계 $(x, y, z)$에서 좌변과 우변을 계산하여 상호 비교하면 쉽게 증명할 수 있다. 증명은 데카르트 좌표계에서 했지만 좌표계의 등가성에 의해 다른 모든 직교 좌표계에서 성립한다.

                         (2.1)

                         (2.2)

                         (2.A.1)

                         (2.3)

                       (2.4: 회전 연산자의 발산)

                         (2.5: 발산 연산자의 영인자)

                       (2.6: 구배 연산자의 회전)

                        (2.7: 회전 연산자의 영인자)

                       (2.8)

여기서 관측점(observation point) $(x,y,z)$에 대한 미분은 $\bar \nabla$, 원천점(source point) $(x',y',z')$에 대한 미분은 $\bar \nabla'$로 표시, $\bar r - \bar r'$ = $\bar R$ = $R \hat R$, $R$ = $\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}$, $\bar r$ = $(x, y, z)$ = $x \hat x + y \hat y + z \hat z$, $\bar r'$ = $(x', y', z')$ = $x' \hat x + y' \hat y + z' \hat z$이다. 미분 연산자 $\bar \nabla$와 $\bar \nabla'$은 거의 비슷하지만, 미분하는 기준이 결정적으로 다르다. 예를 들어, 편미분의 기준이 원천점인지 관측점인지에 따라 $x$에 대한 미분 부호는 다음처럼 정반대가 된다.

                             (B.1)

식 (2.3)을 증명하기 위해 다음 관계식을 관찰한다.

                             (B.2)

식 (B.2)는 $R \ne 0$인 곳에서 항상 $0$이라는 뜻이므로, 원천점($\bar r'$)을 포함한 체적 적분을 이용해 식 (2.3)에서 디랙 델타 함수(Dirac delta function)가 자연스럽게 도출됨을 증명한다.

                             (B.3)

여기서 반지름 $R$이 $0$으로 가서 체적과 표면적이 모두 $0$이 된다.

   3. 스칼라와 벡터 함수가 결합한 미분 포함 벡터 항등식   

미분을 포함한 벡터 항등식을 이용해 스칼라 함수까지 포함된 미분 포함 벡터 항등식을 다양하게 찾을 수 있다. 벡터 항등식을 유도할 때는 좌표계 구성이 쉬운 데카르트 좌표계를 주로 선택한다. 데카르트 좌표계인 $(x, y, z)$를 기준으로 좌변과 우변의 편미분 계산한 후, 양변을 서로 비교해서 증명을 완성한다. 또한 발산과 회전 연산자는 텐서량이라서 데카르트 좌표계에서 증명한 결과는 일반 좌표계로 쉽게 확장된다.

                         (3.1a)

                         (3.1b: 미분 연산자)

                         (3.2)

                         (3.3)

                         (3.4)

                         (3.5a)

                         (3.5b: 미분 연산자)

위 식에서 $\bar A$가 상수 벡터인데도 발산 $\bar \nabla \cdot \bar A$와 회전 $\bar \nabla \times \bar A$가 $0$이 되지 않는 경우도 있다. 물론 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system)에서 이 벡터 연산은 모두 $0$이 된다. 그래서 데카르트 좌표계가 아닌 곡선형 좌표계에서 벡터 연산을 적용할 때는 주의를 기울어야 한다. 예를 들어, 임의 좌표계에서 미분 연산자 $\bar A \cdot \bar \nabla$와 $\bar A \times \bar \nabla$를 적용할 때는 식 (3.1b)와 식 (3.5b)를 써야 한다.

   4. 라플라시안 포함 벡터 항등식   

벡터 미분 연산중 라플라시안(Laplacian) $\nabla^2$은 아래와 같이 정의한다. 명칭 라플라시안에 있는 -이안(-ian)의 원뜻은 -에서 나옴 혹은 -와 관계이므로, 직역하면 라플라스Pierre-Simon Laplace(1749–1827)의 제안이 된다. 하지만 이 연산자를 그냥 우리말로 바꾸면 이상하므로[굳이 직역하면 라플라스식(式), 라플라스발(發), 혹은 라플라스꺼. 의역하면 라플라스 연산자], 용어에 나오는 -이안(-ian)을 의역하여 연산자(operator)라고 생각하고 영어 이름 그대로 라플라시안이라 부른다. 그래서 $\nabla^2$을 라플라스 연산자(Laplace operator)라고 조금 길게 이름 붙이기도 한다.

                         (4.1)

                         (4.2)

                         (4.3)

                         (4.4)

                         (4.5)

                         (4.6)

                         (4.7a)

                         (4.7b)

여기서 $f_0$는 상수 함수, $\bar A_0$은 상수 벡터이다.

식 (4.6)은 데카르트 좌표계에서 두 번 미분해서 쉽게 증명될 수 있다. 예시적으로 $x$축에 대해 두 번 미분한 결과를 소개한다. 나머지 $y, z$축에 대한 미분 과정도 동일하다.

                         (D.1)

   5. 벡터 곱을 결합한 미분 포함 벡터 항등식   

아래 벡터 곱을 결합한 미분 연산자는 데카르트 좌표계에서 더 쉽게 정의된다. 다이애드(dyad)로 정의한 식 (7.1)과 (7.2)를 이용하면 벡터 곱을 결합한 미분 연산자는 좌표 불변성(座標不變性, coordinate invariant or coordinate independent)이 성립함을 증명할 수 있다.

                         (5.1)

                         (5.2)

아래 항등식의 증명 자체는 쉽다. 데카르트 좌표계 $(x, y, z)$에서 좌변과 우변을 계산하여 상호 비교하면 쉽게 증명할 수 있다.

        (5.3)

        (5.4)

        (5.5)

                         (5.6)

                         (5.7)

                         (5.8)

                         (5.9)

                         (5.10)

                         (5.11)

                         (5.12a)

                         (5.12b)

                         (5.13)

                         (5.14)

                         (5.15)

여기서 $\bar A_0$은 상수 벡터, $r$ = $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$, $R$ = $|\bar r - \bar r'|$ = $\sqrt{(x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2}$, $\bar r$ = $x \hat x + y \hat y + z \hat z$, $\bar r - \bar r'$ = $\bar R$ = $R \hat R$, $x_1$ = $x$, $x_2$ = $y$, $x_3$ = $z$이다.

식 (5.3)은 식 (5.7)을 통해 쉽게 증명 가능하다. 식 (5.7)에서 $\bar A$, $\bar B$를 상호 교환해서 쓰면 다음을 증명할 수 있다.

                  (E.1)

식 (5.11)은 식 (5.9)와 (5.10)을 이용해 다음처럼 증명한다.

                  (E.2)

식 (5.13)은 다이애드(dyad)로 표현한 식 (7.1)을 이용해 바로 구할 수도 있다. 혹은 식 (5.12a) 혹은 (5.12b)의 셋째줄에 제시한 처음 두 항을 다이애드 표현식 (7.1)로 단순화하여 증명할 수도 있다.

   6. 미분이 없는 다이애드 항등식   

다이애드(dyad)는 두 벡터를 일렬로 배치하여 표기하는 텐서량이다. 다이애드 $\bar{\bar{D{}}}$를 다룰 때 필요한 정의는 다음과 같다.

                         (6.1)

                         (6.2)

                         (6.3)

                         (6.4: 단위 다이애드)

                         (6.5)

                         (6.6)

여기서 $\text{trans}(\cdot)$는 전치(transpose) 연산자, $\text{tr}(\cdot)$은 대각합(trace) 연산자, $\bar D^{(i)}$ = $\bar{\bar{D{}}} \cdot \hat i$, ${}^{(i)} \bar D$ = $\hat i \cdot \bar{\bar{D{}}}$이다. 다이애드를 포함하는 다양한 항등식은 다음과 같다. 다이애드 항등식의 증명은 좌변과 우변을 전개하여 각각 서로 비교하면 된다.

                         (6.7)

                         (6.8)

                         (6.9)

                         (6.10)

                         (6.11)

다이애드 $\bar{\bar{D{}}}$가 대칭(symmetric)이면 식 (6.7)에 의해 벡터와 다이애드의 내적에 대해 교환 법칙이 성립한다.

   7. 다이애드 기반 미분 포함 벡터 항등식   

식 (5.1)과 (5.2)는 데카르트 좌표계에서 손쉽게 계산할 수 있지만, 식 (7.1)과 (7.2)와 같은 다이애드(dyad)를 도입하면 항등식이 더 아름다워진다. 즉 식 (5.1)과 (5.2)를 가진 항등식을 식 (7.1)과 (7.2)를 이용해 변형하면 벡터 곱과 미분을 포함한 벡터 항등식을 임의 좌표계로 편리하게 확장할 수 있다.

                         (7.1a)

                         (7.1b: 다이애드 미분 연산자)

                         (7.2a)

                         (7.2b: 다이애드 미분 연산자)

여기서 $\bar A \bar B$는 다이애드이다. 다이애드를 가진 미분 포함 벡터 항등식을 다양하게 찾아본다.

                        (7.3)

                        (7.4)

                       (7.5)

                        (7.6)

                        (7.7)

                        (7.8)

                        (7.9)

                        (7.10)

                        (7.11)

                        (7.12)

                        (7.13)

                        (7.14)

                        (7.15)

                        (7.16)

                        (7.17)

                        (7.18)

                        (7.19)

                        (7.20)

                        (7.21)

여기서 $\bar A_0$은 상수 벡터, $\bar \nabla \bar \nabla$는 다이애드를 생성하는 다이애드 구배(dyadic gradient)이다.

다이애드는 일종의 표기법이므로, 미분 규칙을 이용해서 다이애드와 미분을 포함한 다양한 벡터 항등식을 증명할 수 있다. 예를 들어, 식 (7.1)을 유도할 때는 발산의 정의에 다이애드를 넣어서 곱셈의 미분을 적용한다.

                        (G.1)

   8. 적분 포함 벡터 항등식   

아래 항등식은 구배(gradient), 발산(divergence), 회전(curl) 연산자의 특성을 이용하여 증명한다.

                         (8.1)

                        (8.2: 발산 정리)

                         (8.3)

                         (8.4)

                       (8.5: 스토크스 정리)

                         (8.6)

여기서 $\hat n$은 체적을 둘러싸는 표면적을 뚫고 나가는 단위 벡터이다. 닫힌 표면 적분이 이루어지는 $s$는 부피 $v$의 껍데기라는 뜻에서 $s$ 대신 $\partial v$라고 쓰기도 한다.

   9. 적분 포함 다이애드 항등식   

아래 항등식은 구배(gradient), 발산(divergence), 회전(curl) 연산자를 기반으로 증명한다.

                         (9.1)

                         (9.2)

                         (9.3)

                      (9.4)

여기서 관측점(observation point) $(x,y,z)$에 대한 미분은 $\bar \nabla$, 원천점(source point) $(x',y',z')$에 대한 미분은 $\bar \nabla'$로 표시, $R$ = $\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}$이다.
식 (9.3)을 증명하기 위해 구(sphere)에 대한 체적 적분 가정과 식 (9.2)를 적용한다.

                         (I.1)

여기서 $\hat R$ = $(\bar r - \bar r')/R$, $\bar r$ = $(x, y, z)$ = $x \hat x + y \hat y + z \hat z$, $\bar r'$ = $(x', y', z')$ = $x' \hat x + y' \hat y + z' \hat z$이다. 식 (I.1)에서 0이 아닌 적분만 모아서 정리하면 다음과 같다[1].

                         (I.2)

여기서 적분의 편의성을 위해 $\bar r'$ = $(0, 0, 0)$이라 가정하며 $\hat R$ = $(\bar r - \bar r')/R$ = $\cos \phi \sin \theta \hat x$ + $\sin \phi \sin \theta \hat y$ + $ \cos \theta \hat z$이다.


[참고문헌]
[1] J. L. Volakis and K. Sertel, Integral Equation Methods for Electromagnetics, Raleigh, NC, USA: SciTech Publishing, 2012.
[2] J. G. Van Bladel, Electromagnetic Fields, 2nd ed., Hoboken, NJ, USA: John Wiley & Sons, 2007. (방문일 2020-01-27)

[다음 읽을거리]
1. 텐서 미적분학