자기장의 에너지(Energy of Magnetic Field)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "자기장의 에너지"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 전기장

2. 자기장

3. 저항

4. 커패시터

5. 인덕터
6. 전기장의 에너지

[그림 1] 많은 자기장 에너지를 쓰는 MRI(자기 공명 장치, magnetic resonance imaging) 장치(출처: wikipedia.org)

자기(磁氣, magnetism)가 가진 에너지[$W$ = $q­V$]를 기반으로 자기장(magnetic field)의 에너지를 유도하기 위해 에너지 축적에 필요한 일(work)의 미분(differential)을 생각한다.

                       (1)

여기서 $V$는 기전력(起電力, electromotive force)과 관련된 전압[기전력과 크기는 같고 반대 부호, 인덕터에 걸리는 전압]이다. 식 (1)을 시간 미분으로 나누면 자기로 축적되는 전력(electric power)을 식 (2)와 같이 얻을 수 있다.

                       (2)

여기서 $q$ = $0$이라 가정한다. 정자장 관점에서 전류(electric current)가 흐르지 않으면 자기장이 생기지 않는다. 이 때문에 자속(magnetic flux)이 0이 되므로 $q$ = $0$이란 가정은 타당하다. 또한 $q \ne 0$인 경우는 전기장의 에너지(energy of electric field)까지 고려해야 한다. 명확히 증명한 식 (3)을 이용하면, 자기장의 묶음인 자속(magnetic flux)을 인덕턴스(inductance)와 전류(current)의 곱으로 표현할 수 있다.

                       (3)

따라서 식 (2)로부터 인덕터 내부에 축적되는 자기 에너지(magnetic energy)는 아래처럼 표현할 수 있다.

                       (4)

식 (4)를 자속 밀도(magnetic flux density)와 자기장(magnetic field)으로 표현하기 위해 아래식을 생각한다.

                                   (5)

                                   (6)

식 (5)와 (6)을 식 (4)에 대입하면 다음을 얻을 수 있다.

                         (7)

여기서 에너지를 구하기 위한 부피는 [그림 2]의 오른쪽과 같이 열린 표면적(open surface)을 자기장의 주회 적분(周回積分, circuital integral) 방향으로 무한히 모으기와 같다.

[그림 2] 닫힌 표면적[왼쪽]과 열린 표면적[오른쪽](출처: wikipedia.org)

식 (7)을 유도하기 위해 다음의 벡터 항등식(vector identity)을 사용한다.

                         (8)

식 (8)을 이용하면 다음 항등식을 얻는다.

             (9)

면적 미분소 $d\bar a$와 선 미분소 $d \bar l$은 임의로 잡을 수 있기 때문에 자속 밀도와 동일한 방향으로 $d\bar l$을 잡거나 자기장과 동일한 방향으로 $d \bar a$를 잡으면 식 (9)의 우변 마지막 항을 0으로 만들 수 있다. 혹은 $d \bar a, d \bar l$은 우리가 알아서 정의하는 벡터라서 $d \bar a, d \bar l$의 방향을 강제로 $\bar B$와 맞출 수 있다. 그러면 $(B da)(dl \hat B \cdot \bar H)$ = $(\bar B \cdot \bar H) dv$가 나와서 식 (9)가 더 쉽게 증명된다. 여기서 $\bar B$ = $B \hat B$, $\hat B$는 $\bar B$의 단위 벡터(unit vector), $dv$ = $dl da$이다.

식 (7)로부터 자기장의 에너지 밀도(energy density, J/㎥)를 다음과 같이 정의할 수 있다.

                         (10)

식 (4)와 (10)을 상호 비교하면 재미있는 점을 찾을 수 있다. 솔레노이드(solenoid)와 같은 인덕터(inductor) 근처에만 존재한다고 생각하던 자기 에너지가 실제로는 전공간에 흩어져 있다는 사실 말이다. 거꾸로 이야기하면 자기장이 있으면 근처에 인덕터가 없더라도 자기 에너지가 반드시 존재한다.

여러 개의 자기장이 존재하면 저장 에너지는 어떻게 될까? 식 (4)는 일반식이므로 두 개의 전류 $I_1, I_2$가 존재한다고 가정한다. 그러면 전체 저장 에너지는 다음과 같다.

                         (11)

여기서 $L_{11}$과 $L_{22}$는 자기 인덕턴스(self inductance), $M$은 전류 $I_1, I_2$ 사이에 존재하는 상호 인덕턴스(mutual inductance)이다. 신기하게도 상호 인덕턴스 $L_{12}$와 $L_{21}$은 서로 같다. 이 관계는 노이만 공식(Neumann formula)으로부터 다음처럼 쉽게 증명할 수 있다.

                         (12)

식 (11)에서 보는 바와 같이 전류 간에 상호 작용이 없다면 전류 각각을 계산한 에너지와 등가 인덕턴스(equivalent inductance)를 이용해 계산한 에너지는 서로 같아야 한다. 인덕터가 [그림 3]과 같이 직렬로 구성되면 등가 인덕턴스는 식 (13)과 같이 표현된다.

[그림 3] 직렬로 된 인덕턴스(출처: wikipedia.org)

                         (13)

[그림 3]과 같은 구조에 저장되는 에너지는 상호 작용이 없는 경우 다음과 같다.

                         (14)

식 (14)에서 인덕턴스가 서로 다르다면 직렬 조건에 의해 다음처럼 증명된다.

                   (15)

[그림 4]와 같은 병렬 구조의 등가 인덕턴스는 식 (16)과 같다.

[그림 4] 병렬로 된 인덕턴스(출처: wikipedia.org)

                         (16)

이 경우 상호 작용이 없는 자기장의 저장 에너지는 다음과 같다.

                        (17)

두 인덕턴스가 서로 다른 경우는 병렬 조건에 의해 다음처럼 증명된다.

                       (18)

식 (18)에서 전압이 같으면 자속이 같다는 결과는 패러데이의 전자기 유도 법칙(Faraday's law of electromagnetic induction)으로부터 쉽게 증명된다.

상호 작용이 존재하면 식 (14), (17)은 정확한 식이 아니다. 반드시 식 (12)로 표시되는 상호 인덕턴스를 고려해야 한다. 상호 인덕턴스는 전류가 흐르는 방향에 따라 (+) 혹은 (-) 값을 가질 수 있으므로 저장 에너지는 커질 수도 있고 작아질 수도 있다.

[그림 5] 상하로 구성된 인덕터

공간상에 두 개의 인덕터만 있는 경우 인덕터의 상호 작용을 생각한다. [그림 5]처럼 상하로 구성되면 비오–사바르 법칙(Biot–Savart's law)에 의해 서로 잡아당기는 인력이 작용해야 한다.[∵ 1과 2의 전류 방향이 같기 때문에 인력이 작용한다. 혹은 자석을 생각하면 N극은 S극을 당기고 S극은 N극을 당기기 때문이다.] 그런데, 이 인력은 시간 변동이 없는 정자장(靜磁場, magnetostatics)인 경우에만 맞다. 왜냐하면, 시간에 대한 변동이 존재하면 전자기 유도 법칙(law of electromagnetic induction)에 의해 반대 방향 기전력(起電力, emf: electromotive force)이 계속 발생하기 때문이다. 예를 들어, [그림 5]의 두 인덕터가 비오–사바르 법칙에 의해 가까이 접근하면 자기장이 커지므로 렌츠의 법칙에 의해 반대 방향의 전류가 생겨서 지속적으로 인력이 약해진다.[너무 빠르게 접근하면 인력에 반하는 척력이 작용할 수도 있다.] $r$이 매우 크면 인덕터 #1과 #2 사이에 상호 작용은 없으므로 저장 에너지는 식 (14)처럼 표현된다. 인덕터 #2가 #1쪽으로 움직이면 인덕터 #1과 #2가 느끼는 자기장이 커지기 때문에 렌츠의 법칙(Lentz's law)에 의해 자기장을 줄이는 방향으로 기전력이 생긴다. 즉 #1과 #2의 전류가 줄어든다. 이렇게 줄어든 전류는 식 (11)에 표현된 상호 인덕턴스 형태의 에너지로 저장된다.[식 (12)를 이용해 그림 5의 구조를 계산하면 $M > 0$이 된다.] 인덕터가 더 가까이 가면 전류가 더 줄어들면서 상호 인덕턴스는 커지게 된다.

                    (19)

이를 수식으로 표현하면 식 (19)가 된다. 인덕터가 움직이다가 $r$ 지점에서 멈춘다고 가정하면 운동 에너지(kinetic energy)는 0이므로 에너지 보존 법칙에 의해 식 (19)가 반드시 성립해야 한다.[∵ 자기장의 저장 에너지는 사실 위치 에너지(potential energy)이다.] 에너지의 유입이나 유출이 없는 상태에서 식 (19)가 성립하려면 무한대에서의 전류가 $r$ 지점 전류보다 반드시 커야 한다.

[그림 6] 좌우로 구성된 인덕터

[그림 6]처럼 좌우로 구성되면 인덕터에 생기는 상호 작용은 어떻게 될까? 일단 비오–사바르 법칙에 의해 인덕터는 서로 밀어내는 척력이 작용한다.[∵ 1과 2의 전류 방향이 다르기 때문에 척력이 작용한다. 혹은 자석을 생각하면 N극은 N극을 밀고 S극은 S극을 밀기 때문이다.] 식 (12)를 이용해 [그림 6]의 구조를 계산하면 $M < 0$이 된다. 두 인덕터간의 거리 $r$이 커지면 인덕터가 느끼는 자기장도 커지기 때문에 전류를 줄이는 방향으로 기전력이 생긴다. 그래서, $r$이 매우 커지면 인덕터에 흐르는 전류도 줄어들게 된다. 이를 수식으로 표현하면 식 (20)이 된다.

                  (20)

저장 에너지 관점으로 상호 인덕턴스가 가질 수 있는 범위를 정하면 다음과 같다.

               (21)

어떤 경우에도 저장 에너지는 0보다 작을 수 없기 때문에[∵ 인덕터는 저항이 없는 순수 도선이므로 에너지를 소비할 수 없고 저장만 할 수 있다.] $M$은 식 (21)의 마지막 줄과 같은 범위를 가져야 한다. 즉, 식 (21)의 둘째 줄에서 (+)를 택하고  $I_1 I_2 > 0$이라 가정하면 $M > -\sqrt{L_{11} L_{22}}$가 되어야 $W_m$이 항상 0보다 크다. 마찬가지로 $I_1 I_2$를 (-)로 택하면 $M < \sqrt{L_{11} L_{22}}$가 성립해야 한다. 따라서 이 두 가지 경우를 합치면 $|M|$은 식 (21)의 범위를 가져야 한다.

[참고문헌]

[1] E. B. Rosa, "The self and mutual inductances of linear conductors," Bull. Bur. Stand., vol. 4, no. 2, pp. 301–344, Jan. 1908.

[다음 읽을거리]

1. 포인팅의 정리
2. 전자기학에서의 에너지