조금은 느리게 살자: 바이어슈트라스 변환(Weierstrass Transform)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "바이어슈트라스 변환"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

[그림 1] 바이어슈트라스 변환의 예(출처: wikipedia.org)

바이어슈트라스 변환(Weierstrass transform)은 바이어슈트라스 근사 정리(Weierstrass approximation theorem)를 증명하기 위해 가우스 함수(Gaussian function)를 기반으로 제안되었다[1]. 바이어슈트라스 변환은 가우스 함수를 사용하기 때문에 가우스 변환(Gauss transform)이라고도 한다. [그림 1]에 제시된 것처럼 바이어슈트라스 변환은 원래 함수 $f(x)$에 가우스 함수를 곱해 적분하므로, 변환된 함수 $F(s)$는 $f(x)$보다 더 매끈하고 부드러운 함수가 된다. 가우스 함수를 이용해 바이어슈트라스 변환을 다음처럼 정의한다.

(1)

여기서 적분이 수렴해야 바이어슈트라스 변환이 존재한다. 식 (1)을 더 일반화해서 다음처럼 바이어슈트라스 변환을 표기할 수도 있다.

(2)

여기서 $h$ = $2$인 경우가 식 (1)이다. 만약 $f(x)$ = $1$이라면, $f(x)$의 바이어슈트라스 변환은 $F(s)$ = $F(s; h)$ = $1$이 된다. 지수 함수 $f(x)$ = $e^{ax}$는 식 (1)에 의해 어떻게 변환될까? 함수 $e^{ax}$를 대입해서 적분하면 다음을 얻는다.

(3)

원래 함수 $e^{ax}$와 비교하면, 변환된 함수는 원래 함수와 모양이 같고[$= e^{as}$] 크기만 $e^{a^2}$만큼 커진다. 가우스 함수 $e^{-a x^2/4}$의 변환도 구해보자.

(4)

바이어슈트라스 변환을 적용해도 지수 함수와 비슷하게 가우스 함수의 모양도 잘 보존된다. 다만 $a$가 양수라면 변환된 함수의 모양은 양옆으로 더 퍼진다. 지수 혹은 가우스 함수가 아닌 일반적인 함수에도 이러한 특성이 유지될까? 여기에 대한 답이 아래에 있는 균등 수렴(uniform convergence) 특성이다. 이런 성질에 의해, 유계이며 균등 연속인 함수(uniformly continuous function)의 바이어슈트라스 변환은 원래 함수와 거의 같다. 그래서 [그림 1]의 소개처럼 바이어슈트라스 변환된 함수는 식 (2)에 있는 $h$를 줄임에 따라 원래 함수를 거의 따라간다.

[유계인 균등 연속 함수의 바이어슈트라스 변환] [2]

매우 작은 $h$에 대해 유계인 균등 연속 함수 $f(x)$의 바이어슈트라스 변환 $F(s; h)$는 $f(s)$에 균등 수렴한다.

[증명]

(5)

식 (5)의 마지막 적분에서 $|\xi|h/\delta \ge 1$이 성립하므로, 피적분 함수를 적분이 되도록 바꾸어서 다음처럼 계산한다.

(6)

여기서 $0 < h \le h_0$, $h_0 < \sqrt{\pi} \epsilon \delta / (4M)$을 만족한다. 식 (6)에 의해 $h$를 $h_0$보다 작게 선택하면, $F(s; h)$는 $f(s)$에 균등 수렴한다.

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바이어슈트라스 역변환(inverse transform)은 푸리에 변환(Fourier transform)에서 유추해서 다음처럼 정한다. 다만 푸리에 변환을 사용할 수 있도록 $F(s)$의 범위를 복소수로 확장해서 복소 함수(complex function)가 되게 한다.

[바이어슈트라스 역변환]

(7)

여기서 $F(s)$가 적분 경로 상에서 극점(pole)을 가지지 않도록 고정된 $\sigma$를 적절히 선택한다.

[증명]

식 (7)에 식 (1)을 대입하면, 바이어슈트라스 역변환을 쉽게 증명할 수 있다.

(8)

여기서 $s$ = $\sigma + i \omega$이다. 식 (8)에도 잘 나와있듯이 $\sigma$는 어떤 값을 쓰더라도 관계없고 적분 경로 상에 $F(s)$만 잘 존재하면 된다.

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식 (7)을 보면 바이어슈트라스 역변환은 푸리에 변환의 아름다운 아류임을 알 수 있다. 푸리에 변환의 중요한 특성인 디랙 델타 함수(Dirac delta function)를 바이어슈트라스 역변환 공식에 숨겨서 원래 함수를 자연스럽게 복원한다.

[참고문헌]

[1] K. Weierstrass, "Über die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkürlicher Funktionen einer reellen Veränderlichen (About the analytical representability of so-called arbitrary functions of a real variable)," Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin (Session Reports of the Royal Prussian Academy of Sciences at Berlin), pp. 633–639 & 789–805, 1885.

[2] A. R. Schep, "Weierstrass' proof of the Weierstrass approximation theorem," University of South Carolina, May 2007. (방문일 2020-09-27)

[3] V. K. Dzyadyk and I. A. Shevchuk, Theory of Uniform Approximation of Functions by Polynomials, Göttingen: Walter de Gruyter, 2008.

[다음 읽을거리]

1. 다항 함수 보간