전자파의 운동량(Momentum of Electromagnetic Wave)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "전자파의 운동량"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 뉴턴의 운동 법칙
2. 에너지의 개념
3. 균일 평면파의 의미
4. 포인팅의 정리

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파동의 에너지와 운동량 관계식을 이용하면 전자파의 운동량(momentum of electromagnetic wave)을 정의할 수 있다.

                           (1)

식 (1)에서 전자파의 속도는 $c$로 일정하기 때문에 전자파가 전달되는 속도 방향 운동량 $p_c$는 다음으로 쓸 수 있다.

                           (2)

여기서 $v$는 우리가 적분하려는 체적(volume)이다. 식 (2)의 좌변에 있는 운동량도 우변의 전자파 에너지 밀도(energy density of electromagnetic wave)처럼 단위 체적당 운동량 $\mathfrak{p}_c$로 바꾸면 다음을 얻는다.

                           (3)

식 (3)을 간략화하기 위해 우리가 생각하는 전자파를 균일 평면파(uniform plane wave)로만 한정하자. 먼저 평면파의 다음 성질을 기억하자.

                         (4)

여기서 $\bar k$는 파수 벡터(wavenumber vector)이다. 식 (4)를 식 (3)에 대입하면 다음을 얻는다.

                         (5)

여기서 $\bar k$ = $k_0 \hat k$, $k_0$ = $\omega \sqrt{\mu_0 \epsilon_0}$, $\eta_0$ = $\sqrt{\mu_0 / \epsilon_0}$이다. 전자파 운동량의 방향은 파수 벡터의 방향이어야 하므로 식 (5)를 벡터적으로 표현하면 다음과 같다.

                         (6)

신기하게도 전자파 운동량 밀도(momentum density)는 포인팅 벡터(Poynting vector)와 밀접한 관계를 가진다. 또한 전자파의 복사 압력(electromagnetic radiation pressure) 정의 $\mathfrak{\bar f}$를 이용하면 다음 관계도 얻는다.

                       (7)

                       (8)

위 정의에서 켤레 복소수(complex conjugate)는 큰 의미없다. 켤레 복소수가 들어간 정의는 페이저(phasor)를 사용한다는 뜻이다. 식 (8)의 전자파 운동량 밀도를 이용해 전자파의 각운동량 밀도(angular momentum density)를 정할 수 있다.

                       (9)

아래 맥스웰 방정식을 식 (9)에 대입하면 다음을 얻는다.

                       (10: 패러데이의 법칙)

                       (11)

식 (11)에 다음 벡터 항등식(vector identity)을 적용해보자.

                         (A.1)

                         (A.2)

                (12)

식 (12)의 셋째 항을 계산하기 위해 다음 다이애드(dyad) 기반 벡터 항등식을 고려하자.

                         (13)

                       (14)

또한 우리가 계산하고 있는 양은 각운동량 밀도이므로 식 (14)는 다음 체적 적분과 관련되어 있다.

                       (15)

[그림 1] 자전과 공전 각운동량(출처: wikipedia.org)

식 (15)를 식 (12)에 대입하면 전자파의 각운동량 밀도를 다음 두 성분으로 나눌 수 있다.

                       (16)

$\mathfrak{\bar J}_{\rm SAM}$은 선형 편파(Linear Polarization, LP) 경우 0이고 원형 편파(Circular Polarization, CP)는 값이 있으므로 자전 각운동량(Spin Angular Momentum, SAM)이라 부른다. 자전 각운동량은 원형 편파이므로 전자파 전달축 중심에서도 전기장과 자기장이 존재한다.[물론 원형 편파이므로 파면 전체에서 전자파 전력의 분포는 동일하다.] $\mathfrak{\bar J}_{\rm OAM}$은 축[$\bar r$]을 기준으로 계산하고 있으므로 공전 각운동량(Orbital Angular Momentum, OAM)이라 한다. 자전 각운동량과는 다르게 전자파 전달축 근방에서는 전자파 전력이 없고, 전달축에서 떨어진 특정한 반지름 위치의 전자파 전력이 최대가 된다.[전자파의 전력 분포 특성이 공전 궤도와 매우 유사하다.]

[그림 2] 정지한 하전 입자에 입사하는 균일 평면파

전자파의 운동량을 더 정확히 이해하기 위해 [그림 2]처럼 정지한 하전 입자에 작용하는 전자파 특성을 살펴보자. 초기 조건[$t$ = $0$]에서 정지[$v_x$ = $v_z$ = $0$]해 있는 하전 입자에 균일 평면파(uniform plane wave)가 입사하면 전기장에 의해 하전 입자가 가속된다. $x$방향으로 가속된 하전 입자는 자기장에 의해서도 영향을 받는다. 매우 작은 시간인 $t$ = $\Delta t$에서 변화된 $x$방향 속도와 자기력은 다음과 같다.

                       (17)

식 (17)을 이용해 운동 에너지와 $z$방향 운동량을 계산한다.

                       (18)

식 (18)에 제시한 결과는 식 (2)와 정확히 일치한다. 재미있는 결과지만 의문이 생긴다. 분명 전기장에 의해 $x$방향으로 가속이 되는데, 운동량 증가는 $z$방향으로 생긴다. 어떻게 해서 이런 현상이 생길까? 단순하게 보면 전자파는 식 (6)과 같은 운동량을 가지기 때문에, 전자파가 가진 운동량이 하전 입자에 전달되어 $z$방향 운동량이 생긴다고 설명할 수 있다. 이런 정성적인 설명을 바탕으로 로렌츠 힘(Lorentz force)을 이용해 좀더 정량적인 분석을 해보자.

                       (19)

식 (19)에 등장한 미분 방정식을 풀면 $x, z$방향 속도를 다음처럼 구할 수 있다.

                       (20)

사이클로트론(cyclotron) 동작 원리와 유사하게 $v_x$는 $+x, -x$방향을 진동하고 있다. 따라서 $x$방향 평균 운동량은 0이 되어, 전체 운동량에 기여하는 성분은 없다. 하지만 $z$방향 속도는 상수항이 있으므로, $z$방향 평균 운동량[$\langle p_z \rangle$]은 $mc$로 일정하다. 전기력과 평균 운동량과의 관계는 다음과 같다.

                       (21)

또한 식 (20)에서 $t \approx \Delta t$로 근사하면 식 (17)과 (18)을 얻을 수 있다.

이상의 논의에서 전자파 운동량은 식 (6)처럼 하전 입자에 직접 작용함을 볼 수 있다. 전자파에 전기장은 항상 있지만, 전기장이 하전 입자에 전달하는 전기력은 상쇄되어 사라진다. 대신에 전자파 에너지가 전달되는 방향으로 하전 입자에 운동량이 전달된다.

[참고문헌]

[1] R. Fitzpatrick, Electromagnetic Energy and Momentum, Classical Electromagnetism, 2006.

[2] K. T. McDonald, "Orbital and spin angular momentum of electromagnetic fields," Physics Examples, 2009.

[3] R. N. C. Pfeifer, T. A. Nieminen, N. R. Heckenberg, and H. Rubinsztein-Dunlop, "Momentum of an electromagnetic wave in dielectric media," Rev. Mod. Phys., vol. 79, no. 4, pp. 1197–1216, Oct. 2007.

[다음 읽을거리]
1. 자기 단극자