1차원 자유 공간 그린 함수(1D Free-space Green's Function)

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1. 미분 방정식의 만병통치약: 그린 함수

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전자파(electromagnetic wave)에 대한 비동차 미분 방정식(nonhomogeneous differential equation)이나 적분 방정식(integral equation)을 해석적으로 풀기 위한 그린 함수(Green's function) 방법을 1차원에 적용한다. 1차원 공간에 다른 구조물이 있으면 그린 함수가 복잡해지므로 공간상의 물질이 균일하다고 가정하는 자유 공간(free-space) 조건을 쓴다. 먼저 자기 벡터 포텐셜(magnetic vector potential)에 대한 파동 방정식을 고려한다.

                          (1)

단순하게 생각하기 위해 식 (1)의 벡터 파동 방정식(vector wave equation)에서 전류 밀도(current density) $J_y$ = $J_z$ = $0$이라 가정한다.

                          (2)

그러면 식 (2)의 마지막줄과 같은 스칼라 파동 방정식(scalar wave equation)을 얻을 수 있다. 조금 이상한 면은 전류 밀도가 $x$축에 있다 하더라도 자기 벡터 포텐셜이 $x$축에만 존재한다고 가정할 수 있는가? 우리에게는 강력한 정리인 전자기파에 대한 유일성 정리(唯一性 定理, uniqueness theorem)가 있다 식 (2)와 같이 풀어서 답이 얻어지면 유일성 정리에 의해 식 (2)의 접근법도 정상적인 과정이 된다. 그린 함수 방법에서는 원천항(source term)이 식 (3)처럼 디랙 델타 함수(Dirac delta function)로 표현되어야 한다.

                          (3)

                         (4)

[그림 1] 1차원 원천

1차원을 만들기 위해 식 (5)의 라플라시안(Laplacian)에서 $y, z$방향으로는 변화가 없다고 가정[$\partial / \partial y$ = $\partial / \partial z$ = $0$]하면 식 (6)의 1차원 스칼라 파동 방정식을 얻는다.

                         (5)

                         (6)

식 (6)은 $x$ = $x'$에 존재하는 원천(source)에서 전자파를 쏜 경우 $x$축을 따라 진행하는 전자파의 형태를 표현한다.

[그림 2] 백열등의 빛 복사 모습(출처: wikipedia.org)

[1차원 자유 공간 그린 함수]

                         (7)

[증명]

그린 함수를 구할 때는 먼저 원천이 0인 경우부터 구해야 한다. $x \ne x'$이면 식 (6)의 우변이 0이므로 그린 함수는 다음 미분 방정식을 만족해야 한다.

                         (8)

식 (8)의 결과로 인해 파수(波數, wavenumber)에 해당하는 $\xi$값을 정해야 한다. 안테나(antenna)와 같은 소자를 관찰해 보면 전자파는 반드시 원천에서 멀어지는 방향으로 복사된다. 이를 전자파의 복사 조건(radiation condition)[1]이라 한다. 복사 조건을 이해하기 위해 [그림 2]의 백열등을 본다. 백열등은 빛을 만드는 원천으로 작용한다. 전기를 넣으면 백열등은 켜진다. 이때 빛은 나오지 들어가지 않는다. 전기를 넣었는데 백열등에 빛이 들어가는 현상을 본 적이 있는가? 없다. 그래서, 원천에서 빛[혹은 전자파]이 나오는 조건을 복사 조건이라 한다.

[그림 3] 블랙홀의 모습(출처: wikipedia.org)

[그림 3]의 블랙홀(black hole)로도 복사 조건을 설명할 수 있다. 전자파 원천 속으로 빛이 빨려 들어가면 이 원천은 블랙홀처럼 동작한다. 백열등을 켰는데 블랙홀이 생긴다면 매우 이상하다. 그래서 빛은 원천의 바깥으로 반드시 방출되어야 한다.

복사 조건을 식 (8)에 대입하면 그린 함수는 다음처럼 표현된다.

                         (9)

식 (9)를 유도하기 위해 $x$ = $x'$에서 그린 함수의 연속 조건(continuous condition)을 사용하였다.[∵ 그린 함수가 불연속이면 1번 미분해도 델타 함수가 나와버린다. 이렇게 되면 식 (6)을 만족할 수 없다. 혹은 식 (10)을 보라. 그린 함수의 미분은 유한해야 한다.] 식 (9)에 있는 상수 $A$를 결정하기 위해 식 (6)을 아주 좁은 영역 $(x'-\Delta, x'+\Delta)$에 대해 적분한다.

                         (10)

                       (11)

여기서 그린 함수의 미분은 $x$ = $x'$ 지점에서 불연속이며, 그린 함수는 유한하기 때문에 아주 좁은 영역에서 적분하면 0이 된다.

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[참고문헌]
[1] S. H. Schot, "Eighty years of Sommerfeld's radiation condition," Historia Mathematica, vol. 19, no. 4, pp. 385–401, Nov. 1992.

[다음 읽을거리]
1. 2차원 자유 공간 그린 함수
2. 3차원 자유 공간 그린 함수
3. 전자파의 복사 조건