줄에 대한 파동 방정식(Wave Equation for String)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "파동 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 뉴턴의 운동 법칙
2. 탄성에 대한 훅의 법칙

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[수치 해석: 줄의 파동(출처: phet.colorado.edu)]

[그림 1] 줄에 생기는 파동(출처: wikipedia.org)

뉴턴의 운동 법칙(Newton's law of motion)을 이용해 [그림 1]과 같은 줄(string)에 생기는 파동(wave)의 특성을 유도한다.

                       (1)

식 (1)과 같은 뉴턴의 운동 법칙을 적용하려면 파동의 움직임을 먼저 관찰해야 한다.

[그림 2] 파동의 움직임(출처: wikipedia.org)

[그림 2]와 같은 파동의 움직임을 보면, $x$축 방향으로는 움직임이 없고 $y$축으로만 아래위로 움직인다. $x$축으로 움직임이 없는 이유는 식 (1)에 의해 $x$축으로 작용하는 알짜 힘(net force)이 없기 때문이다. 하지만 줄은 서로 연결되어 있기 때문에, 힘 자체가 0이지는 않고 장력(張力, tension)이 분명 존재한다. 따라서 줄에 작용하는 $x$방향 장력이 있지만 서로 상쇄 되어서 $x$방향 알짜 힘이 0이라고 생각한다. 이를 적용해서 [그림 1]의 원 내부에 제시한 줄 그림을 본다. 내려가고 있는 아주 짧은 줄에 대해 식 (1)을 적용하면 다음과 같다.

                       (2)

여기서 $\alpha, \beta > 0$, $\bar T$ = $T \hat x$라 가정한다. 마찬가지로 $y$방향 장력도 계산할 수 있다.

            (3)

여기서 $\mu$는 단위 길이당 질량 밀도(mass density)이다. 식 (3)을 $x$방향 장력 $T$로 나누고 식 (2)를 대입하면 다음 알짜 힘의 관계식을 얻을 수 있다.

                     (4)

[그림 1]처럼 줄이 내려가고 있다고 가정하므로, $x'$ = $x + \Delta x$의 기울기는 $-\tan \beta$이다. 마찬가지로 $x'$ = $x$의 기울기도 $-\tan \alpha$이다.[혹은 줄이 올라가는 중이면 부호를 전부 반대로 바꾸면 된다. 그렇더라도 최종식은 식 (4)가 된다.] 식 (4)에서 $\Delta x$를 0으로 보내면 파동 방정식(wave equation)을 최종적으로 얻게 된다.

                     (5)

식 (5)의 방정식을 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system)에서 2차원, 3차원 등으로 확장하면 아래와 같다.

                     (6)

식 (6)을 유도할 때 [그림 1]의 원 내부 그림을 3차원으로 확장하면 쉽다. 예를 들어 2차원으로 확장하기 위해 [그림 1]처럼 특정 위치에서 접선 성분(tangential component)을 $x, y$축으로 분해하고 $x, y$축 방향으로 장력의 합은 0이라 가정한다.[∵ 줄이 전후좌우로는 움직이지 않고 상하로만 움직인다.] 그러면 식 (6)과 동일한 결과를 얻을 수 있다. 식 (6)에서 장력 $T$가 상수라 가정하면 파동의 속도를 아래와 같이 정의할 수 있다.

                     (7)

식 (7)이 줄에 생기는 파동의 속도임을 알려면 파동 방정식에 대한 이해가 필요하다.

[파동의 특성]

먼저 식 (6)을 좀더 예쁘게 표현하기 위해 데카르트 좌표계에 대한 라플라시안(Laplacian)을 정의한다.

                         (8)

식 (6)을 보면 3차원 공간에 대한 두번 미분[혹은 곡률과 관계]이 시간에 대한 두번 미분과 같아지게 된다. 이런 특성을 보이는 식 (6)의 미분 방정식을 파동 방정식이라 한다. 좀더 쉽게 이해하기 위해 함수 $f$가 $x, y$방향으로는 변화가 없다고 가정[$\partial f / \partial x$ = $\partial f / \partial y$ = $0$]한다. 그러면 다음 식이 성립한다.

                         (9)

식 (9)의 미분 방정식을 풀기 위해 해(解, solution)를 $f(x, y, z)$ = $f(z \pm vt)$로 가정한다. 어림짐작한 함수 $f$를 식 (9)에 대입하여 계산하면 항상 $0$이 되어서, $f$가 해임을 확인할 수 있다. 이런 방법으로 식 (9)의 미분 방정식을 해결한 최초의 수학자는 달랑베르Jean le Rond d'Alembert(1717–1783)이다. 달랑베르는 1746년달랑베르 29세, 조선 영조 시절에 1차원 파동 방정식을 발견하고 그 해답까지 제시했다. 약 10여년 뒤에 오일러Leonhard Euler(1707–1783)가 파동 방정식을 3차원까지 확장했다. 여러 함수 중에서 $f(z \pm vt)$로 표현되는 함수는 파동 함수(波動函數, wave function)라 부른다. 파동의 움직임을 이해하려면, 먼저 [그림 3]에 표현한 파면(波面, wavefront) 개념부터 잡아야 한다. 하위헌스 원리(Huygens principle)에서 중요하게 취급되는 파면은 파동 함수가 동일한 값을 가진 표면이다.

[그림 3] 파면의 개념(출처: wikipedia.org)

[그림 3]과 같이 이동 특성이 1차원인 파면의 움직임은 파동 함수 $f(l)$ = $f(z \pm vt)$로 추적한다. 파면 정의에 해당하는 특정 표면에서 파동 함수가 같다는 뜻은 $l$ = $z \pm vt$로 표현되는 거리값이 일정하다는 의미이다. 예를 들어, $l$ = $z - vt$ = $0$을 기준값이라 하고 $t$ = $0$을 시작 시간이라 하면 $z$ = $0$이 되어야 $l$ = $0$이 성립한다. 시간이 $t$ = $\Delta t$가 되면 $l$ = $0$을 맞추기 위해 $z$ = $\Delta z$ = $v \Delta t$가 되어야 한다. 그러면 파동 함수 $f(z - vt)$는 속도 $v$ = $\Delta z / \Delta t$를 가지고[∵ 시간이 $\Delta t$ 만큼 흐를 때 파면이 움직인 거리가 $\Delta z$가 되기 때문에] $+z$방향[$z$축과 동일한 방향]으로 이동하는 파동이 된다.[∵ 움직인 거리가 (+)가 되기 때문에] 마찬가지로 거리값이 $l$ = $z + vt$로 표현되는 파동 함수 $f(z + vt)$는 속도 $v$ = $-\Delta z / \Delta t$를 가지고[∵ 시간이 $\Delta t$ 만큼 흐를 때 파면이 움직인 거리가 $-\Delta z$가 되기 때문에] $-z$방향[$z$축과 반대 방향]으로 이동하는 파동이 된다.[∵ 움직인 거리가 (-)가 되기 때문에] 그래서 식 (7)에 있는 $v$는 속도의 의미를 분명하게 가진다. 모든 방향의 변화를 가정하고 식 (6)의 미분 방정식을 풀려면 어떻게 하면 될까? 개념 확장을 위해 아래와 같이 파동 함수를 가정하여 식 (6)에 대입해본다.

                         (10)

따라서 식 (10)의 마지막식을 만족하면 식 (6)의 미분 방정식을 해결하게 된다.

[그림 4] 3차원 공간상의 평면(출처: wikipedia.org)

식 (10)에 제시한 파동 함수의 거리값이 만드는 파면은 [그림 4]와 같은 3차원 공간상의 평면이 된다. [그림 4]를 고려해서 3차원 공간의 평면 방정식(plane equation)은 아래처럼 표현할 수 있다.

                                    (11)

여기서 $\hat n$ = $(l, m, n)$, $\bar r$ = $(x, y, z)$, $\bar p_0$ = $(x_0, y_0, z_0)$이다. 특히 단위 벡터 $\hat n$은 해당 평면을 뚫고 나가는 법선 벡터(法線, normal vector)이다. 식 (11)이 평면 방정식이므로, 식 (11)의 파동 함수 파면은 평면이 된다. 또한, 이 파동의 진행 방향은 단위 법선 벡터 $\hat n$ = $(l, m, n)$이 가리키는 방향이다.[∵ 파면을 이루는 평면을 뚫고 나가는 벡터가 법선 벡터 $n$이기 때문에]

[그림 5] 파동에서 주파수와 주기 정의(출처: wikipedia.org)

[그림 6] 파동에서 파장 정의(출처: wikipedia.org)

식 (7)과 같은 파동 방정식의 유도에도 나오듯이 파동의 속도 $v$는 전적으로 매질의 특성에만 관계된다. 그래서 매질의 특성이 동일한 경우에 파동 속도 $v$는 항상 일정하다. 다만 파동 속도가 동일하더라도 파동이 움직이는 빈도수와 이동폭은 달라질 수 있다. [그림 6]처럼 파동이 1초 동안 반복되는 빈도수를 주파수(周波數, frequency) $f$로 정의한다. 주파수의 단위는 Hz(헤르츠, hertz)이다. 1960년대장면 내각 시절 이전에는 초당 회전수인 cps(cycle per second)를 썼지만, 지금은 Hz로 모두 통일된 상태이다. 1초 동안 반복수를 재는 주파수의 역수는 주기(週期, period) $T$ = $1/f$가 된다. 주기는 시간 기준으로 동일 모양이 반복되는 최소 시간이다. 예를 들어, 1초 동안 $f$개의 반복이 있다면, 하나의 반복은 $1/f$ 시간 동안 존재한다. 그래서 $1/f$를 주기 $T$로 정의한다. 시간 영역의 주기와 비슷한 개념으로 공간 영역의 파장(波長, wavelength) $\lambda$이 있다. 움직이는 파동을 사진으로 찍을 때, [그림 6]처럼 같은 모양이 반복되는 최소 길이를 파장으로 정의한다. 파장의 역수는 공간 주파수(spatial frequency)라 부른다. 공간 주파수는 $\xi$ = $1 / \lambda$로 공식화한다. 변수 $\xi$ 대신 가끔 $\nu$를 쓰기도 한다.

[그림 7] 일정한 속도로 걷는 모습(출처: wikipedia.org)

개념적으로 어려운 주파수와 파장을 도입하는 이유가 있다. 왜냐하면 파동의 속도 $v$는 주파수 $f$와 파장 $\lambda$의 곱이 되기 때문이다.

                                    (12)

식 (12)에 따라 주파수를 올리면 파장이 줄고, 주파수를 내리면 파장이 길어진다. 또한 매질에 따라 속도 $v$는 변동되지만, 매질에서 진동하는 신호의 주파수는 변함이 없다. 그래서 매질이 바뀌면 주파수가 아닌 파장이 변화한다. 식 (12)의 의미는 [그림 7]처럼 걷는 속도를 생각하면 쉽다. 다만 사람은 보행 속도를 마음대로 바꿀 수 있지만, 매질이 정해지면 파동의 속도는 절대 바뀔 수 없고 고정이라는 사실은 꼭 기억한다. 사람의 보행 속도를 측정한다고 상상한다. 보행 속도는 걷는 빈도와 평균 보폭의 곱이다. 예를 들어, 1초에 3번 걸음을 내딛고 한 번 걸을 때 보폭이 0.9 m인 사람은 1초 동안 $3 \times 0.9$ m를 진행해서 보행 속도는 $2.7$ m/s이다. 비슷하게 파동의 움직임도 생각할 수 있다. 걷는 빈도는 주파수, 평균 보폭은 파장이 되기 때문에, 파동은 1초 동안 $f \times \lambda$ m만큼 움직인다. 그래서 파동의 속도는 정확히 $f \lambda$ m/s이 된다. 시간 미분을 없애기 위해 페이저(phasor)를 파동 방정식에 도입한 경우는 파동 속도를 다음과 같이 바꾼다.

                                    (13)

여기서 $\omega$[= $2 \pi f$]는 각주파수(角周波數, angular frequency), $k$[= $2 \pi / \lambda$]는 파수(波數, wavenumber)이다. 페이저는 오일러의 공식(Euler's formula)에 따라 복소 평면에서 회전하는 복소수를 의미하므로, 식 (13)에 있는 $2 \pi$는 한 바퀴 회전인 $360^\circ$를 뜻한다. 그래서 각주파수 $\omega$는 복소 평면을 1초 동안 회전한 바퀴수를 라디안(radian)으로 나타내며, 단위는 rad/s이 된다. 파수 $k$는 비슷하지만 약간 다르다. 파수는 1 m에 존재하는 파동의 개수를 라디안 기준으로 표시하며, 단위는 rad/m로 정한다. 예를 들어, 파장이 0.25 m라면, 1 m에 4개의 파동이 존재한다. 파동 하나는 $2 \pi$로 헤아려서 파수 $k$ = $4 \times 2 \pi$ = $8 \pi$ rad/m로 계산된다.  

줄에 대한 파동 방정식 (5)를 만족하는 해를 파동 함수 조건에 따라 $e^{j (\omega t \pm \beta x)}$라 가정한다. 이 해는 식 (10)과 페이저(phasor)를 참고해서 정한다. 그러면 줄의 $y$방향 변위(displacement) 파동의 일반형을 다음처럼 표현할 수 있다.

                                    (14)

여기서 $v$ = $\omega / \beta$, $y_0^+$와 $y_0^-$는 각각 입사파와 반사파의 진폭이다. 식 (14)에 의해 줄의 $y$방향 속도파(velocity wave)는 다음과 같다.

                                    (15)

식 (4)를 이용하면 줄의 $y$방향 장력파(tension wave)도 다음처럼 구할 수 있다.

            (16)

입사파와 반사파에 대해 장력파와 속도파의 비율인 파동 임피던스(wave impedance)를 구한다.

                                    (17)

여기서 파동 임피던스를 특성 임피던스(characteristic impedance)라 부르기도 한다. 식 (17)을 다시 보면, 입사파나 반사파에 관계 없이 파동 임피던스는 항상 일정하다. 즉, 파동 임피던스는 파동의 진폭이나 진행 방향과는 관계 없고, 오직 줄의 특성인 장력 $T$와 질량 밀도 $\mu$의 함수이다. 파동 임피던스는 왜 장력과 속도를 나누어 정의할까? 왜냐하면 식 (18)처럼 힘과 속도를 곱하면 일률(power)이 되기 때문에, 일률을 구성하는 요소인 장력과 속도를 선택해서 파동 임피던스를 정한다.

                                    (18)

[그림 8] 서로 다른 매질을 가진 줄의 연결 

[그림 8]처럼 서로 다른 매질 특성을 가진 줄을 연결한다고 가정한다. 그러면 경계면에서 파동의 반사가 반드시 있어야 한다. 서로 다른 줄을 연결했을 때 발생하는 반사 특성을 결정하는 요소는 무엇일까? 이러한 입사와 반사 문제를 풀려면, 파동의 경계 조건부터 명확히 정의해야 한다. 먼저 줄은 서로 단단히 연결되었기 때문에, 어느 위치에서나 변위는 연속이어야 한다. 또한 변위가 연속이므로, 속도도 연속이 되어야 한다. 식 (4)에 의해 어느 위치에서나 장력도 연속이 된다.[∵ 장력에 불연속이 생기면 식 (4)에 의해 힘은 무한대가 된다. 이는 불가능한 결과이므로 장력은 반드시 연속이어야 한다.] 속도와 장력의 연속 조건을 [그림 8]의 문제에 적용해 계산하면 다음을 얻는다.

                                    (19)

여기서 줄을 연결한 위치는 $x$ = $0$으로 정한다. 식 (19)에 등장한 $\Gamma_L$은 부하에서 발생하는 반사의 크기와 위상을 결정하는 반사 계수(reflection coefficient) 혹은 반사도이다. 만약 $Z_0 > Z_L$이면, 반사는 같은 위상으로 일어나므로 반사파는 뒤집어지지 않고 반사된다. 하지만 $Z_0 < Z_L$라면, 반사파는 입사파와 반대 위상이 되므로 뒤집어져서 반사된다.

[참고문헌]

[1] 아마추어맨, "줄의 파동방정식 시현", digital explorer, 2022년 4월. (파이썬 기반 설명, 방문일 2022-04-11)

[다음 읽을거리]

1. 천장에 매달린 사슬의 운동 방정식

2. 하위헌스 원리