자기 쌍극자 모멘트(Magnetic Dipole Moment)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "자기 쌍극자 모멘트"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 자기장
2. 전기 쌍극자 모멘트

[그림 1] 자기 쌍극자

유전체(誘電體, dielectric)의 성질을 설명하기 위해 분극(分極, polarization) 개념을 이용하는 것처럼 자성체(磁性體, magnetic material)를 정의하기 위해 자화(磁化, magnetization)를 이용한다. 즉, 자성체는 자화를 만들 수 있는 물질이라고 정의한다.

[그림 2] 자기 쌍극자가 만드는 자기장(출처: wikipedia.org)

자기장(magnetic field)은 전기장(electric field)과는 다르게 자하(磁荷, magnetic charge)가 없기 때문에 독특한 성질을 가진다. 따라서, 자성체는 유전체와 다르게 정의한다. [그림 1]처럼 자기 쌍극자(magnetic dipole)를 정의하기 위해 N극과 S극을 가진 자하를 가정하지 않고 미소 전류 폐로(infinitesimal current loop)가 [그림 2]와 같은 자기 쌍극자 자기장을 만든다고 생각한다. 즉, 자성체가 자기를 띠는 이유는 물질 내부에 [그림 1]과 같은 미소 전류 고리가 많기 때문이다. [그림 1]과 같이 자기 쌍극자를 정의하는 개념은 상상이었지만 물질 내부의 특성을 매우 잘 설명한다. [그림 1]과 같은 개념을 발명한 사람은 우리가 잘 아는 암페어André-Marie Ampère(1775–1836)이다. 암페어는 미소 전류 고리를 이용해 자성체의 특성을 명쾌하게 설명했다. 전자(電子, electron)와 양성자(陽性子, proton)가 발견되기 훨씬 이전에 이런 멋진 설명한 암페어는 틀림없이 뛰어난 천재이다. 그러면 식 (1)의 자기 벡터 포텐셜(magnetic vector potential) 정의를 이용해 [그림 1]의 미소 전류 고리가 만드는 자기장을 계산해본다.

                         (1)

관측점(observation point) $r$이 미소 전류 고리가 있는 $(x', y', 0)$보다 멀리 떨어져 있다고 가정하면 자기 벡터 포텐셜을 아래로 근사화할 수 있다.

        (2)

여기서 $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$이며, $\sqrt{1+x}$, $1/(1+x)$ 형태 함수를 근사화하기 위해 테일러 급수(Taylor series) 전개를 이용하여 $1/R$을 간략히 하였다. 또한, 식 (2)의 계산에는 [그림 3]과 같은 구 좌표계(spherical coordinate system)를 사용하였다. 즉, $x = r \cos \phi$, $y = r \sin \phi$, $x' = a \cos \phi'$, $y' = a \sin \phi'$를 근사화된 $1/R$ 식에 대입하면, 식 (2)의 마지막식이 얻어진다.[$\oint_0^{2 \pi} 1/r ~d \phi' \hat \phi' =0$임을 기억하자.]

[그림 3] 구 좌표계의 표현(출처: wikipedia.org)

식 (2)를 선 적분하기 위해서는 식 (3)처럼 단위 벡터(unit vector) $\hat \phi$를 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system)의 단위 벡터 $\hat x$, $\hat y$로 바꾸어야 한다.[∵ 단위 벡터 $\hat \phi$는 위치에 따라 계속 방향이 변하기 때문에 적분에 대해 상수가 아니다.]

                       (3)

식 (3)을 식 (2)에 대입해 적분하면 아래와 같다.

                       (4)

식 (4)에 등장하는 전류와 면적의 곱 $I \pi a^2$은 자기 쌍극자 모멘트 혹은 자기 쌍극자 능률(magnetic dipole moment)로 정의한다. 모멘트 혹은 능률(能率, moment)은 어떤 물리량이 변하는 특정 경향이다. 조금 더 세밀하게 봐서 모멘트는 곱 연산으로 나타낸 핵심 측정량(measure)을 뜻한다. 식 (4)에서 원천을 변화시키는 중요한 요소는 당연히 $I \pi a^2$이므로, 독립적인 두 항인 전류와 면적을 선택해서 모멘트를 도출한다.

                       (5)

자기 쌍극자 모멘트가 들어있는 식 (5)는 전기 쌍극자 모멘트(electric dipole moment)가 들어있는 식 (6)과 매우 유사하다.

                         (6)

다음으로 식 (1)을 이용해 자속 밀도(magnetic flux density)를 계산해보자.

            (7)

식 (5)를 식 (7)에 대입하면 자기 쌍극자가 만드는 자속 밀도를 얻을 수 있다.

                       (8)

식 (8)은 전기 쌍극자가 만드는 전기장과 동일한 형태를 가진다.

                       (9)

식 (8)과 (9)의 결과는 놀랍도록 서로 닮아있다. 전기 쌍극자와 자기 쌍극자에서 출발한 식이 서로 같으므로, [그림 1]의 미소 전류 고리가 자기 쌍극자 역할을 한다는 사실을 분명히 알 수 있다.

[그림 4] 원의 면적 정의(출처: wikipedia.org)

식 (5)의 자기 쌍극자 모멘트는 [그림 1]처럼 원(circle)에 대해서만 정의되어 있으므로, 이를 확장할 필요가 있다. [그림 4]처럼 원의 면적 정의[삼각형을 무수히 모으면 원의 면적이 됨]를 이용해 자기 쌍극자 모멘트 $\bar m$을 일반화하자.

                       (10)

식 (10)에 있는 1/2는 삼각형 면적 때문에 도입되었다. 식 (10)에 있는 벡터 $\bar r$과 $d \bar r$은 같은 평면에 있다고 가정하고 원의 면적 정의를 적용하였다. 벡터 $\bar r$과 $d \bar r$이 다른 평면에 있으면 자기 쌍극자 모멘트를 어떻게 정의해야 하는가? 벡터의 원점을 바꾸기 위해 새로운 원점을 벡터 $\bar r_0$라고 하자. 그러면 식 (10)은 아래처럼 바뀐다.

                       (11)

여기서 벡터 $\bar r_0$는 상수이며 벡터의 차이 $\bar r - \bar r_0$는 $\bar r_0$에서 $\bar r$로 향하는 벡터이다. 식 (11)은 어떤 위치 벡터(position vector) $\bar r$에 대해서도 식 (10)이 자기 쌍극자 모멘트의 정의임을 의미한다.

[그림 5] 미소 네모 고리에 생기는 자기력

자기 쌍극자 모멘트 $\bar m$이 만드는 회전력(torque) $\bar \tau$를 유도한다. 먼저 임의의 모양을 가진 고리는 [그림 5]와 같은 미소 네모 고리의 합으로 표현할 수 있음을 기억한다. 그러면 [그림 5]의 조건에서 행한 증명은 임의의 고리 구조로 쉽게 확장될 수 있다. 먼저 [그림 5]에 작용하는 자기력을 이용해서 회전력을 정의한다.

                       (12)

여기서 매우 작은 면적을 가진 미소 네모 고리에서 $\bar B$는 거의 일정하다고 가정한다.[∵ 영역을 계속 좁혀갈 때도 $\bar B$가 지속적으로 바뀐다면, $\bar B$의 미분이 한없이 커진다는 뜻이라서 실제 현상과는 멀어지게 된다.] [그림 5]에 대해 식 (12)의 최종식을 계산한다.

                       (13)

따라서 자기력에 의한 회전력은 다음과 같이 간단하게 공식화된다.

                       (14)

식 (14)는 전동기(motor)의 구동 원리 등에 쓰이는 매우 일반적인 표현식이다.

[다음 읽을거리]
1. 자성체의 비밀