전기 회로망의 상반 정리(相反定理, Reciprocity Theorem of Electrical Network)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "전기 회로망의 상반 정리"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 마디와 폐로 해석

2. 로렌츠 상반 정리

[그림 1] 2단자 회로망(two-port network)의 예시(출처: wikipedia.org)

전기 회로(electrical circuit)가 가진 재미있는 성질 중의 하나가 전기 회로망(electrical network)의 상반 정리(相反定理, reciprocity theorem)이다. 상반 정리는 회로망에서 입력과 출력을 서로 바꾸더라도 원래와 같은 비율의 결과가 얻어지는 원리이다. 예를 들어, [그림 1]의 단자(端子, port) 1에 전류원 $I_1$을 넣고 단자 2에서 측정한 전압을 $V_2$라 하면, 그 비율인 상호 임피던스(mutual impedance)는 $V_2 / I_1$ = $Z_{21}$이 된다. 그 다음에 입력과 출력을 바꾸어서 단자 2에 전류원 $I_2$를 가하고 단자 1에서 잰 전압 $V_1$으로 만든 비율은 $V_1 / I_2$ = $Z_{12}$이다. 전기 회로망의 상반 정리에 따라 반드시 $Z_{12}$ = $Z_{21}$이 성립해야 한다. 별 다른 준비 없이 상반 정리를 도출하려면 논증의 시작점을 몰라 매우 어렵지만, 마디 혹은 폐로 해석(nodal or loop analysis)으로 얻은 대칭 행렬부터 출발할 경우에는 어렵지 않게 상반 정리를 증명할 수 있다.

[전기 회로망의 상반 정리(reciprocity theorem of electrical network)]

회로망의 상호 임피던스는 $Z_{12}$ = $Z_{21}$이 성립한다. 여기서 $Z_{mk}$ = $V_m / I_k$는 모든 전원을 없애고 오직 단자 $k$에만 전류원 $I_k$를 넣고 단자 $m$에서 잰 전압 $V_m$의 비율이다.

[증명]

임의의 회로망을 다루는 잘 알려진 마디 해석의 결과로부터 출발한다.

                  (1)

여기서 $G_{mk}$는 마디 $m,k$ 사이에 연결된 컨덕턴스(conductance), $G_{mm}$은 마디 $m$에 연결된 모든 컨덕턴스이다. 여러 마디 중에서 1과 $n$을 택해서 상호 임피던스를 계산한다. 먼저 마디 1에 전류원 $I_1$을 입력해서 얻은 마디 $n$의 전압 $V_n$을 크라메르의 규칙(Cramer's rule)으로 유도한다.

                  (2)

동일한 방식으로 전류원 $I_n$에 대한 측정 전압 $V_1$도 구한다.

                  (3)

전치 행렬(transpose)의 성질 $|{\bf A}^T|$ = $|{\bf A}|$와 $G_{mk}$ = $G_{km}$을 식 (3)에 적용해서 증명을 완료한다.

                  (4)

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위에서는 마디 해석의 컨덕턴스 행렬(conductance matrix) $\bf G$로 시작하지만, 폐로 해석에서 얻은 임피던스 행렬(impedance matrix) $\bf Z$로부터 출발해도 동일한 결과가 유도된다. 이 경우는 상호 어드미턴스(mutual admittance) $Y_{12}$ = $Y_{21}$을 만족한다. 상호 어드미턴스 $Y_{mk}$ = $I_m / V_k$는 유일한 전압원 $V_k$가 건너편에 만드는 전류 $I_m$과의 비율이다. 

회로 이론이나 관련 실험에서 다소 지엽적으로 보이는 상반 정리가 빠지지 않고 나오는 이유가 무엇일까? 입출력을 바꾸어서 전압이나 전류를 상반되게 계산하는 절차가 중요할까? 우리 예상과 다르게 전기 회로망의 상반 정리는 매우 중요하다. 상반 정리는 유선 통신(wired communication)에서 송신과 수신 위치는 누가 더 낫지 않고 서로 공평해서 구별할 필요가 없다고 설명한다. 왜냐하면 왼쪽에서 송신하고 오른쪽에서 수신값을 잰 결과는 입출력을 반대로 해서 얻은 측정값과 같기 때문이다. 혹은 한쪽 방향의 전달 특성을 확정하면 나머지 방향의 결과도 동일하게 나므로, 둘다 잴 필요없이 작업이 편한 위치에 송신과 수신을 놓고 한 번만 실험을 하면 된다.

[그림 2] 두 안테나 사이의 송수신 현상

상반 정리는 유선 상황뿐만 아니고 안테나(antenna)를 쓰는 무선 통신(wireless communication)에서도 똑같이 성립한다. 예를 들어, [그림 2]와 같은 안테나간의 송수신 현상 혹은 상호 임피던스를 고려한다. 여기서 단자 1에 연결된 송신 안테나에 전류 $I_1$을 흘리면 반대편에 있는 수신 안테나에 전압 $V_2$가 유기된다. 비슷하게 단자 2의 안테나를 송신으로 써서 전류 $I_2$를 가한 경우에 단자 1에는 유기 전압 $V_1$이 생긴다. 이 경우에 전류 밀도 $\bar J$는 있고 자류 밀도 $\bar M$은 없는 조건으로 로렌츠 상반 정리(Lorentz reciprocity theorem)를 적용해서 [그림 2]의 현상을 설명한다.

                  (5)

여기서 $\bar J_1, \bar J_2$는 각각 안테나 1, 2에 흐르는 전류 밀도, $\bar E_{mk}$는 $\bar J_k$가 안테나 $m$에 만드는 전기장이다. 회로량으로 표현하기 위해, 식 (5)의 체적 적분을 바꾸어서 전압과 전류를 만든다.

                  (6)

여기서 $dv$ = $dl da$, $\bar J$ = $J \hat J$, $\hat J$는 전류 밀도의 방향을 나타내는 단위 벡터(unit vector), $d \bar l$과 $d \bar a$를 $\bar J$와 같은 방향으로 설정, $d \bar l$을 따라갈 때에 $I$는 일정하다고 생각한다. 식 (6)을 식 (5)에 사용해서 안테나의 상반 정리(reciprocity theorem of antennas)를 최종적으로 얻는다.

                  (7)

여기서 상호 임피던스 $Z_{mk}$ = $V_m / I_k$는 안테나 $k$의 전류가 안테나 $m$의 전압으로 유기되는 비율이다. 전기 회로망처럼, 안테나도 송신과 수신을 구별할 필요없이 원하는 대로 송수신을 설정해서 사용하면 된다. 즉, 일반 회로와 같이 안테나도 송신과 수신이 동등해서 마음대로 선택해서 운용하면 된다. 또한 송신 안테나의 모든 특성은 수신 안테나의 관련 성질로 상호 환원이 된다.

맥스웰 방정식의 쌍대성(duality)을 써서 전류 밀도에 대한 관계를 자류 밀도의 상반 관계로 쉽게 전환할 수 있다.

                  (8)

                  (9)

여기서 $\bar H_{mk}$는 자류 밀도 $\bar M_k$가 상대편 안테나 $m$에 생성한 자기장, 상호 어드미턴스 $Y_{mk}$ = $I_m / V_k$는 전압원 $V_k$가 유기한 전류 $I_m$의 비율이다.

[그림 2]에 나온 안테나 송수신 구조를 임피던스에 대한 2단자 회로망(two-port network)으로 공식화하기도 한다.

                  (10)

여기서 $Z_{12}$ = $Z_{21}$, $Z_{11}$과 $Z_{22}$는 $I_2$와 $I_1$을 각각 0으로 만든 경우[단자가 개방(open)]의 입력 임피던스(input impedance)이다. 1번 안테나의 전류는 그대로 두고 2번 안테나를 개방시키면, 식 (10)에 나온 상호 임피던스 $Z_{21}$은 1번 안테나의 입력 전류 $I_1$과 2번 안테나의 수신 전압 $V_{21}$의 비율로 정의된다.

                  (11)

여기서 $I_1$에 의해 2번 안테나에 생긴 전압임을 명확히 하기 위해 $V_2$ 대신 $V_{21}$을 사용한다. 상호 임피던스 $Z_{21}$을 반응(reaction) $\langle 2, 1 \rangle$로 다시 표현한다.

                         (12)

여기서 $d \bar a$의 방향은 수신 표면적 $S_2$를 뚫고나간다. 식 (6)에 따라 식 (12)의 첫째식을 전압과 전류로 나타낸다.

                         (13)

여기서 $d \bar l$은 전류 $I_2$가 흐르는 방향이다. 식 (13)에 식 (11)을 넣고 정리해서 $Z_{21}$을 반응과 연결한다[1].

                  (14)

결과적으로 수신 안테나 주변의 전기장과 자기장을 알면 $Z_{21}$을 정확히 결정할 수 있다. 전압과 전류를 전압파와 전류파(voltage wave and current wave)로 바꾸어서 임피던스 행렬(impedance matrix) $\bf Z$를 산란 행렬(scattering matrix) $\bf S$로 바꾸기도 한다.

                         (15)

여기서 $\bf V$ = ${\bf V}^+ + {\bf V}^-$, $\bf I$ = ${\bf I}^+ - {\bf I}^-$, $Z_0$는 특성 임피던스(characteristic impedance), 각 단자의 특성 임피던스는 같다고 가정한다. 식 (15)에서 $S_{21}$을 추출해 임피던스 성분으로 나타낸다.

                         (16)

안테나에서는 수신 전압이 매우 작아서 $|Z_{12} Z_{21}| \ll |Z_{11} Z_{22}|$가 성립하므로, 식 (16)을 더 쉬운 공식으로 간략화한다[1].

                         (17)

따라서 상호 임피던스 $Z_{21}$이 커질수록 안테나의 산란 계수 $S_{21}$은 비례적으로 증가한다.

[참고문헌]

[1] J. Malmström, H. Holter, and B. L. G. Jonsson, "On mutual coupling and coupling paths between antennas using the reaction theorem," IEEE Trans. Electromagn. Compat., vol. 60, no. 6, pp. 2037–2040, Dec. 2018.

[다음 읽을거리]

1. 프리스 전송 방정식