에너지(Energy)의 개념

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "에너지의 개념"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 미분법의 의미
2. 적분법의 의미
3. 뉴턴의 운동 법칙

[일의 의미]

물리학에 사용하는 에너지(energy)는 뉴턴이 제안한 운동 법칙(Newton's law of motion)을 이용해 아래처럼 정의한다.

                       (1)

여기서 $E_{BA}$는 A 지점을 기준으로 측정한 B 지점의 에너지이며 A, B 지점의 에너지는 $U_A, U_B$로 표현한다. 식 (1)에 정의한 에너지의 단위는 J[줄, joule]이다. 식 (1)을 이용하면 에너지를 쉽게 정의할 수 있다. 힘($\bar F$)이 있는 상황에서 어떤 물체를 A 지점에서 B 지점으로 움직이기 위해[$d\bar l$] 필요한 일($E_{BA}$)이 에너지이다. 에너지를 수학적으로 표현하면 힘 $\bar F$와 위치 변화 $d \bar l$의 내적(inner product)을 선 적분(line integral)하기이다. 이 정의는 개념적으로 어렵기 때문에, 쉽게 에너지를 이해하려면 에너지와 일(work)의 특성을 구분할 필요가 있다. 힘이 작용하는 방향[식 (1)에서  $\bar F$의 방향]으로 움직이면[혹은 $\bar F$와 $d \bar l$의 방향이 동일하면] 일을 한다고 한다. 예를 들어 언덕에서 돌을 굴리면 중력(gravity)이 작용하는 방향으로 돌이 굴러가므로 일을 한다는 의미이다. 에너지라는 개념은 일이 생기는 원인을 설명하기 위해 존재한다. 그래서, $U_A, U_B$와 같은 에너지를 위치 혹은 포텐셜 에너지(potential energy)라 한다. 일을 했다는 말은 위치 에너지가 높은 곳에서 낮은 곳으로 움직였음을 의미한다. 이 개념은 직관적으로 생각해도 충분히 의미 있는 정의이다.

식 (1)에 들어있는 힘(force) $\bar F$가 운동과 관련되면 식 (1)의 에너지는 운동 에너지(kinetic energy) $E_k$와 연결된다. 식 (2)에 있는 힘의 정의로부터 에너지 관계식을 유도한다.

                       (2)

                       (3)

여기서 $d(m \bar v)$ = $dm \bar v + m d \bar v$, $d(\bar v \cdot \bar v)$ = $d \bar v \cdot \bar v + \bar v \cdot d \bar v$ = $2 \bar v \cdot d \bar v$, $dm$의 속도는 0이라 가정한다. [그림 1]처럼 미소 질량 $dm$이 속도 $\bar u$를 가지면, 식 (3)은 달라져야 한다.

[그림 1] 질량 증가의 일반적 모형화(출처: wikipedia.org) 

[그림 1]의 조건에서 운동량 변화를 고려해서 식 (3)을 다음처럼 바꾼다.

                       (4)

여기서 $d \bar p$ = $(\bar v - \bar u)dm + m d \bar v$이다. 식 (4)에 의해 에너지가 변화되기 위한 두 가지 조건을 이해할 수 있다. 바로 질량이나 속도의 변화가 있어야 한다. 위치가 바뀌더라도 질량이 변하는 경우는 드물기 때문에 질량은 상수[$dm$ = $0$]로 두고 식 (4)를 간략화한다.

                       (5)

여기서 $E_k$ = $\frac{1}{2} \bar p \cdot \bar v$라고 쓰기도 한다. 식 (5)의 좌변에 있는 에너지 관계식을 이용해 운동 에너지 $E_k$를 정의할 수 있다. 운동 에너지는 운동체가 가진 에너지이다. 식 (1)과 (5)를 연립해서 새로운 보존 법칙을 하나 만들 수 있다.

                       (6)

식 (6)에 의해 위치가 변하더라도 에너지의 총합은 동일하다. 이와 같이 에너지의 총합이 항상 보존되는 물리계의 특성은 에너지 보존 법칙(law of conservation of energy)이라 한다. 더 자세하게 식 (6)을 보면, 위치 에너지 $U$와 운동 에너지 $E_k$의 합[$E_{\rm mech}$ = $U + E_k$]인 역학적 에너지(mechanical energy) $E_{\rm mech}$가 일정해서 역학적 에너지 보존 법칙(law of conservation of mechanical energy)이라고도 한다.

에너지와 유사하면서도 실무에서 많이 사용하는 개념은 일률(일率, power) $P$이다. 일률은 일 $W$의 시간 미분이다.

                        (7)

에너지가 지금까지 쌓은 일의 총합이라면, 일률 $P$는 현재 시점에서 소비되는 에너지 혹은 행해지는 일 $W$의 비율[혹은 일의 기울기]이다. 그래서, 일률을 보면 현재 소비되는 일 $W$의 특성을 알 수 있다. 일률 정의를 식 (1)에 대입하면 다음 관계를 얻을 수 있다.

                       (8)

                        (9)

에너지는 물리적인 높이와 관계있으므로 [그림 2]와 같이 공을 이용하여 높이 재는 방법을 고려해 에너지 개념을 이해한다.

[그림 2] 공을 이용하여 높이 재기

우리가 높이[$h$ = $B - A$]를 재려면 두 지점[A와 B]을 관측해야 한다. 빨간색 화살표는 중력(重力, gravity)이 작용하는 방향과 반대 방향[벡터 $\hat a$의 반대 방향]으로 높이 재기를 보여준다. 초록색 화살표는 중력 방향[벡터 $\hat a$]으로 높이 재기이다. 중력 방향으로 움직이려면 공을 떨어뜨리면 되고 중력 반대 방향은 공을 던지면 된다. 높이 재기는 사실 위치 에너지(potential energy) 재기이므로, 힘[여기서는 중력]이 작용하는 방향을 고려하여 선 적분으로 정의한다. 먼저 빨간색 화살표부터 본다. 공을 던져서 높이 재기는 중력의 반대 방향[$-$ 부호]으로 높이 재기이다. 그러면 높이를 구하기 위한 최종 결과식은 끝점[공이 올라간 위치, $z$ = $B$] $-$ 시작점[공을 던진 위치, $z$ = $A$]이 되어야 한다. 다음으로 초록색 화살표를 고려한다. 중력 방향[$+$ 부호]으로 재기 때문에, 최종 높이는 시작점[공을 놓은 위치, $z$ = $B$] $-$ 끝점[공이 떨어진 위치, $z$ = $A$]이 된다. 더 쉽게 설명하면 공을 던질 때[작용하는 힘과 반대 방향, $-$ 부호] 높이를 어떻게 재는가? 당연히 낮은 높이[시작점]에서 높은 높이[끝점]로 가기 때문에, 끝점 $-$ 시작점으로 정의해야 한다. 공을 떨어뜨릴 때[작용하는 힘과 같은 방향, $+$ 부호]는 높은 높이[시작점]에서 낮은 높이[끝점]로 가기 때문에, 시작점 $-$ 끝점으로 정의해야 한다. 즉, 높이를 잴 때 작용하는 힘의 방향에 따라 시작점과 끝점을 어떻게 빼주어야[끝점 $-$ 시작점 혹은 시작점 $-$ 끝점] 적절한 높이가 되는지가 결정된다. 이 개념을 에너지에 적용하면 식 (10)이 된다.

                           (10)

높이와 관계된 에너지를 재려면 A에서 B로 혹은 B에서 A로 선 적분을 할 수 있다. 선 적분 경로에 따라 에너지 정의 부호는 ($+$) 혹은 ($-$)로 정확히 집어넣어야 한다. 에너지 정의에 ($-$) 부호가 있으면, 힘이 작용하는 방향과 반대 방향[그림 2의 빨간색 화살표]으로 물리적인 높이를 쟀다는 뜻이다.[혹은 A 지점에서 공을 위로 던져 높이를 재면 당연히 $B - A$로 높이를 계산해야 한다.] ($+$) 부호가 있으면, 힘의 방향과 동일한 방향[그림 2의 초록색 화살표]으로 물리적인 높이를 정의한다.[혹은 B 지점에서 공을 떨어뜨려 높이를 재면 당연히 $B - A$로 높이를 계산해야 한다.] 변위에 대한 미분소[$d \bar l$]를 포함한 에너지의 원래 정의식인 식 (1)을 힘에 대한 미분소[$d \bar F$]로 약간 비틀 수도 있다. 내적의 미분 공식을 이용하면 식 (11)처럼 표현할 수 있다.

                             (11)

식 (1)과 (11)을 고려해 변위에 대한 미분소[$d \bar l$]와 힘에 대한 미분소[$d \bar F$]의 정의를 비교하면, ($-$) 부호만큼 차이가 난다. 따라서 에너지 정의는 어떤 방식으로든 다양하게 할 수 있지만, 에너지의 기본 정의는 항상 식 (1)이라는 규칙만 기억하면 대부분의 문제를 에너지 관점으로 풀 수 있다.

우리가 파동(wave)을 고려한다면, 식 (3)은 바뀌어야 한다. 파동의 속도는 일정하기 때문에 식 (1)의 에너지 적분에서 속도를 상수로 생각할 수 있다. 예를 들어, 줄의 파동 속도와 전자파의 속도는 매질의 특성에만 관계된다. 따라서 파동의 에너지는 다음 관계가 성립해야 한다.

                           (12)

식 (5)와 (12)를 서로 비교하면, 상수 $1/2$만큼 에너지 식이 차이난다. 비례 상수가 다른 결과는 속도의 고정 유무에 달려있다. 특히 파동이 전자파인 경우는 속력 $v$가 진공 중의 광속(speed of light in vacuum)인 $c$로 고정되므로 전자파의 에너지는 $E$ = $pc$가 된다. 여기서 $p$는 전자파의 운동량이다. 다른 관점으로 특수 상대성 이론(special theory of relativity)에 따라 $v$ = $c$에서 속력 변화는 불가능[$dv$ = $0$]하기 때문에, 식 (3)에서 에너지 변화 $dE$는 오로지 질량 변화 $dm$에 기인한다. 그러면 임의 속력에 따른 에너지는 다음 관계를 만족한다.

                             (13)

여기서 $m_0$은 물체가 멈춘 때에 측정한 정지 질량(rest mass)이다. 식 (13)에 의해 운동 에너지를 0에서 $E_k$로 높이면 그만큼 질량이 증가해야 한다. 이는 질량–에너지 등가(mass–energy equivalence)의 초보적인 증명이다.