비오–사바르 법칙으로 패러데이 법칙 증명(Proof of Faraday's Law Using Biot–Savart Law)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "패러데이 법칙 증명"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 전압

2. 자기장

3. 로렌츠 힘

4. 패러데이의 전자기유도 법칙

식 (1)에 있는 로렌츠 힘 공식(Lorentz force)을 이용하면 어렴풋하게 이 공식이 패러데이 법칙(Faraday's law)인 식 (2)와 관련되어 있음을 볼 수 있다.

                          (1)

                                   (2)

여기서 로렌츠 힘 공식은 비오–사바르 법칙(Biot–Savart law)을 이용하여 증명 가능하다.

[그림 1] 로렌츠 힘 공식에 따른 입자의 회전 특성(출처: wikipedia.org)

예를 들어 [그림 1]의 상황을 고려한다. 전하($q$)가 자속 밀도($\bar B$)가 있는 영역을 움직이면 식 (1)에 의해 힘을 받게 된다. 그래서, [그림 1]처럼 로렌츠 힘을 받아 전하가 회전하게 된다. 전하가 연속적으로 움직이면 전류($I$)가 형성되고 이 전류가 다시 비오–사바르 법칙에 따라 새로운 자속 밀도[그림 1에서 회전하는 전류가 만드는 자속 밀도]를 만든다. 새로 형성된 자속 밀도의 방향은 걸어준 자속 밀도($\bar B$)와 정확히 반대이다. 즉, 걸어준 자속 밀도($\bar B$)를 감소시키는 방향으로 새로운 자속 밀도가 형성되게 된다. 이와 같은 방식으로 비오–사바르 법칙과 패러데이 법칙이 서로 연관되어 있다. 이 개념을 이용해서 패러데이 법칙을 증명한 방법이 [1]에 소개되어 있다. 증명을 위해 자기력($\bar F_m$)이 만드는 일($W$)을 먼저 계산한다.

                         (3)

여기서 $d \bar r$은 자기력($\bar F_m$) 방향으로 움직인 거리 미분소이며 $d \bar l$은 전류($I$)가 흐르는 방향의 선 미분소이다.

                                   (4)

식 (4)의 자속 정의를 이용하면 식 (3)은 아래처럼 표현된다.

                         (5)

식 (5)에서 (-) 부호가 생긴 이유는 식 (4)에 있는 면적 벡터($d \bar a$) 방향이 식 (3)에 있는 면적 벡터($d \bar r \times d \bar l$)와 반대 방향이 되기 때문이다.[∵ 자속($\Phi$)을 정의하기 위한 면적 벡터($d \bar a$)의 방향은 자속 밀도와 동일하게 정의하기 때문이다. 혹은 $I$ 혹은 $q$가 만드는 자속 밀도의 방향은 $d \bar l \times \hat R$이기 때문에 $d \bar r \times d \bar l$과는 반대 방향이다.] 더 쉽게 이야기하면, 자기력에 의해 새롭게 생성된 자속 밀도[그림 1에서 회전하는 전류가 만드는 자속 밀도]는 가해준 자속 밀도($\bar B$)와 반대로 생겨서 $d\bar a$의 방향을 $\bar B$와 반대로 정한다. 원통 좌표계(circular cylindrical coordinate system) 관점으로 보기 위해 [그림 1]에서 $q > 0$인 경우를 생각한다. 자속 밀도($\bar B$)가 $\hat z$방향으로 생기면, 전하는 $- \hat \phi$방향으로 돌기 때문에 $d \bar l$은 $- \hat \phi$방향으로 생긴다. 그러면 자기력은 $-\hat \rho$방향이므로 $d \bar r$은 $-\hat \rho$방향이다. 이 경우 식 (3)의 면적 벡터($d \bar r \times d \bar l$)는 $\hat z$방향이 된다. 하지만, 움직이는 전하 $q$가 만드는 새로운 자속 밀도는 $-\hat z$방향이므로 $d \bar a$의 방향은 $-\hat z$가 된다. 즉, $d \bar r \times d \bar l$과 $d \bar a$의 방향은 서로 반대이다.

또한, 일($W$)은 전압($V$)과 전류($I$) 관점에서 식 (6)으로도 표현된다.

                                   (6)

따라서 식 (3)과 (6)을 연립해서 패러데이 법칙인 식 (2)를 만들어낸다. 이런 방식으로 패러데이 법칙의 증명이 가능하지만, 일 미분소인 $dW$가 0이 되는 경우는 식 (3)과 (6)을 이용해서 식 (2)를 증명할 수 없다. 예를 들어 $I$ = $0$이면, 식 (2)가 성립하지 않아도 식 (3)과 (6)은 동일하게 된다.

[참고문헌]
[1] A. Nussbaum, "Faraday's law paradoxes," Phys. Educ., vol. 7, no. 4, pp. 231–232, 1972.