파데 근사식(Padé Approximant)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "파데 근사식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 테일러 급수

2. 다항 함수 보간

[그림 1] 파데 근사(Padé approximation)로 $\cos(x)$를 근사(출처: wikipedia.org)

임의의 함수를 성공적으로 근사할 수 있는 다항 함수 보간(polynomial interpolation)을 유리 함수(rational function) 관점으로 더 발전시킨 수식이 파데 근사식(Padé approximant)이다[1], [2]. 파데 근사식을 만드는 수학적 과정은 파데 근사(Padé approximation)로 구분지어 부른다. 먼저 계층수 혹은 계수(order) $[m/n]$으로 표현한 파데 근사식 $R_{m/n}(x)$를 목표 함수 $f(x)$에 대해 정의한다.

                       (1)

여기서 $b_0$ = $1$, $m \ge 0$, $n \ge 1$이다.[∵ $n$ = $0$이면 다항 함수 근사가 되므로] 파데 근사식 $R_{m/n}(x)$에 등장하는 계수를 결정하기 위해, 계산이 쉬운 $x$ = $0$의 미분값이 $f(x)$와 동일하도록 만든다.

             (2)

그러면 파데 근사식 $R_{m/n}(x)$는 계층수 $m+n$인 고계 미분(higher-order differentiation)까지 목표 함수 $f(x)$와 같기 때문에, $R_{m/n}(x)$는 $f(x)$에 가까우면서도 상당히 부드럽게 변하는 근사식이 된다.

파데 근사식을 구체적으로 얻기 위해, 목표 함수 $f(x)$를 매클로린 급수(Maclaurin series)로 표현하고 식 (2)의 조건에 따라 다음 항등식을 만든다.

                  (3)

여기서 $c_k$는 매클로린 급수의 계수이다. 식 (3)을 이용해 다항 함수 $P_m(x)$와 $f(x)Q_n(x)$의 차수(degree)별 계수를 맞춤으로써 계수 $a_i$와 $b_j$를 결정한다.

                  (4a)

                  (4b)

우선 식 (4b)에 크라메르의 규칙(Cramer's rule)을 적용해서 $b_j$를 유도한다. 이렇게 구한 $b_j$를 식 (1)에 적용해서 분모 다항 함수 $Q_n(x)$를 행렬식(determinant)으로 수식화한다.

                  (5a)

여기서 $b_0$ = $1$; $C_{11}$는 식 (5a)에 나온 행렬 구조에 대한 1행 1열의 여인자(cofactor) 혹은 식 (4b)에 나온 연립 일차 방정식의 계수 $c_k$로 만든 행렬의 행렬식이다. 식 (4b)에서 얻은 $b_j$를 식 (4a)에 대입해서 분자 다항 함수 $P_m(x)$도 계산한다.

                  (5b)

색인 $j$에 대해 $n \le m$ 및 $j > n$일 때 $b_j$ = $0$으로 두면, 식 (5b)의 실질적 합산은 $j$ = $0$부터 $n$까지만 실행된다. 그러면 $P_m(x)$의 표현식은 식 (5a)와 같은 형태로 기술될 수 있다.

             (5c)

또다른 $n > m$인 경우는 식 (5c)의 우측열에서 합산의 시작점이 끝점보다 커지므로, 이런 합산을 0으로 다시 정의하면 식 (5c)는 $n > m$에도 성립한다. 최종적으로 식 (5a)와 (5c)를 나눔으로써 매클로린 급수의 계수 $c_k$만으로 공식화한 파데 근사식을 증명할 수 있다.

                       (6)

이변수(two variables)에 적용한 파데 근사식은 구체적으로 치점 근사식(Chisholm Approximant)으로 명명한다. 영국 켄트 대학교(University of Kent)의 치점Roy Chisholm(1926–2015) 교수는 파데 근사식을 이변수로 일반화했다. 그외 다변수(multiple variables)에 대한 파데 근사식은 이 분야에 큰 기여를 한 켄트 대학교의 그레이브스-모리스Peter Graves-Morris(1941–) 교수가 살던 도시 이름을 따서 캔터베리 근사식(Canterbury approximant)으로 부르기도 한다[1]. 그레이브스-모리스는 치점이 뽑은 유능한 강사 중의 한 명이었다.

[참고문헌]

[1] G. A. Baker and P. Graves-Morris, Padé Approximants, 2nd ed., Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1996.

[2] P. S. Petrov, M. Ehrhardt, A. G. Tyshchenko, and P. N. Petrov, "Wide-angle mode parabolic equations for the modelling of horizontal refraction in underwater acoustics and their numerical solution on unbounded domains," J. Sound Vib., vol. 484, Oct. 2020, art. ID 115526.